Sauda,c~oes, oi Bernardo,
Bom, o que dizer? Muito obrigado, Bernardo!!
> > Continuo sem saber como calcular a equação que fornece
> > os pontos extremos (max e min) da curva
Agora sei. :) Pelo menos usando o WAlpha.
>Se eu entendi o problema, você quer achar
>o(s) ponto(s) desta curva com a maior ordenada possível.
Exato. No intervalo 0 <x<10.
> Agora, note que P(x(t),y(t)) = 0 em todos os pontos da curva, logo
> para todos os t da sua parametrização. Daí:
> dP/dx(x(t), y(t))*dx/dt + dP/dy(x(t), y(t))*dy/dt = 0.
Comentário fundamental para a continuação.
> Agora, você tem que achar as soluções do sistema {P(x,y) = 0,
> dP/dx(x,y) = 0}. No seu caso particular, dP/dx é de grau 2, logo você
> pode escrever y em função de x, e substituir na equação de grau 3...
No decorrer do pensamento vi que era por aí. Mas as contas
se anunciavam pesadas.
>Os tais discriminantes são o "caso particular" do resolvente
>de um polinômio e de sua derivada.
Bom, pode estar resumido mas estou satisfeito.
Já "sei" o que são discriminantes neste contexto.
E o melhor, o WA me dá eles. Coloquei o polinômio
que dá a curva CC e ele me retornou a equação
que já me haviam enviado. Daí calculei os pontos
extremos da curva. Problema resolvido.
>O fator que sobra deve ser o polinômio de grau 4 que
>passaram pra você.
Exato.
Com isso o problema de construir o triângulo ABC dados
<A,a+b,h_a> está resolvido e discutido. O caso numérico
estudado é cos A=11/14 e a+b=10.
Se h_a > y_max o problema não tem solução;
se h_a=y_max um só triângulo satisfaz;
se 0 < h_a < y_max dois triângulos satisfazem.
Deixo um problema com vocês: achar o lugar geométrico
do vértice A dados o ângulo do vértice A e a diferença
a-b. Seria a (nova) curva CC.
Abs,
Luís
> Date: Sat, 5 Oct 2013 01:25:40 -0300
> Subject: Re: [obm-l] funcao implicita e geogebra
> From: bernardo...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> 2013/10/4 Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com>:
> > Sauda,c~oes,
> Oi Luís,
>
> > Continuo sem saber como calcular a equação que fornece
> > os pontos extremos (max e min) da curva mas talvez a
> > teoria se encontre nos livros que tratam das Curvas Algébricas Planas.
> Exato, mas não necessariamente desta forma.
>
> Você tem uma equação implícita P(x,y) = 0, onde P é um polinômio (de
> grau 3) nas duas variáveis. Se eu entendi o problema, você quer achar
> o(s) ponto(s) desta curva com a maior ordenada possível.
>
> Para começar, pense que a curva definida pela equação P(x,y) = 0 é
> bonitinha (sem pontos duplos, sem singularidades, etc). Assim, imagine
> uma parametrização local da curva: (x(t), y(t)). Assim, pontos de
> máximo (e mínimo, ou de inflexão) são dados por dy/dt = 0.
>
> Agora, note que P(x(t),y(t)) = 0 em todos os pontos da curva, logo
> para todos os t da sua parametrização. Daí:
> dP/dx(x(t), y(t))*dx/dt + dP/dy(x(t), y(t))*dy/dt = 0.
>
> Se dy/dt = 0, temos então que dP/dx(x(t), y(t)) * dx/dt = 0. Como a
> curva é lisa (e sem singularidades, pontos duplos, etc, etc), dx/dt
> não pode ser = 0. Daí, os pontos de máximo também satisfazem uma
> equação suplementar, dP/dx(x,y) = 0.
>
> Agora, você tem que achar as soluções do sistema {P(x,y) = 0,
> dP/dx(x,y) = 0}. No seu caso particular, dP/dx é de grau 2, logo você
> pode escrever y em função de x, e substituir na equação de grau 3...
>
> Mas, em geral, existe uma teoria para achar as soluções de sistemas de
> equações simultâneas, que são os resolventes, cf
> http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant e
> http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_matrix, em particular a parte
> de aplicações a interseções do resultante. Essencialmente, eles
> "substituem" uma equação na outra, de forma algorítmica, e dão
> diretamente a equação que todas (e não metade, como seria o caso se
> você pegasse cada uma das soluções da eq do segundo grau) as abscissas
> possíveis y satisfazem. Os tais discriminantes são o "caso particular"
> do resolvente de um polinômio e de sua derivada. Note que isso envolve
> considerar P(x,y) como um polinômio em x cujos coeficientes são
> polinômios em y. Os livros de Curvas Algébricas em geral, vão falar
> deste parágrafo apenas (provar que a Resultante realmente faz a
> "eliminação" das variáveis, como calcular, como que os discriminantes
> têm a ver com resultantes).
>
> Exemplinho: Seja P(x,y) = (x^2 + x y^2 + x y + 2y + 2) = x^2 + (y^2 +
> y)*x + (2y + 1). Chame a = 1, b = (y^2 + y), c = (2y + 1). Nesse caso,
> o "discriminante" é o usual, ou seja, b^2 - 4*a*c = (y^4 + 2y^3 + y^2)
> - 8y - 4. As raízes disso dão os y máximos e mínimos locais.
> Dá pra ver tudo isso com o WolframAlpha
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29+%3D+0
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y^4+%2B+2y^3+%2B+y^2%29+-+8y+-+4+%3D+0
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29%2C+x%29
>
>
> Voltando ao seu problema, o WA dá o discriminante:
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28%28-s^2y%2Bx^2y%2By^3%29Cos[A]%2B%28-s^2x%2B2sx^2-x^3%2B2sy^2-xy^2%29Sin[A]%2C+x%29
>
> que é de grau 6 (como esperado de uma interseção de uma curva de grau
> 3 com uma curva de grau 2), mas que tem um fator y^2, que deve
> provavelmente ser excluído do problema (certamente, não é o ponto de
> máximo!). O fator que sobra deve ser o polinômio de grau 4 que
> passaram pra você.
>
> O mais chato é que o "desenho" da curva CC é meio "feio"
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-10%C2%B2+y+%2B+x%C2%B2+y+%2B+y%C2%B3%29+11+%2F+14+%2B+%28-10%C2%B2+x+%2B+2+%2810%29+x%C2%B2+-+x%C2%B3+%2B+2+%2810%29+y%C2%B2+-+x+y%C2%B2%29+5+sqrt%283%29+%2F+14+%3D+0+
> porque ela tem uma componente que vai pro infinito... Mas talvez seja
> ela que você quer ? Para ter uma única solução real?
>
> Além disso, o caso numérico, mais uma vez, dá
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant+%28+%28-10%C2%B2+y+%2B+x%C2%B2+y+%2B+y%C2%B3%29+11+%2F+14+%2B+%28-10%C2%B2+x+%2B+2+%2810%29+x%C2%B2+-+x%C2%B3+%2B+2+%2810%29+y%C2%B2+-+x+y%C2%B2%29+5+sqrt%283%29+%2F+14%2C+x%29
> para o discriminante. Como a gente já sabe que tem um fator y^2, tem
> no mínimo 4 soluções. De novo, o WA confirma a resposta:
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=-%284+%2849+sqrt%283%29+y^6%2B3300+y^5%2B17600+sqrt%283%29+y^4-247500+y^3-187500+sqrt%283%29+y^2%29%29%2F%2849+sqrt%283%29%29+%3D+0&dataset=
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> (tenho que aprender a botar contas do WA sem que ele faça as contas a
> cada vez, mas o problema é que o "Clip" fica apenas o resultado...)
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
