esse problema e semlhante ao anterior.
2014-07-05 0:25 GMT-03:00 Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>: > Estou pensando em algo com o seguinte espirito (mas tem que examinar > todos os detalhes e ver se funciona mesmo)! > > 1. Suponha que f'(a) NAO EH L. Entao existe alguma sequencia (que, > passando uma subsequencia se necessario, pode ser tomada monotona -- > vou supor spdg decrescente) z_n -> a (com z_n <>a) tal que lim > (f(z_n)-f(a)) / (z_n-a) nao eh L. > 2. Se a sequencia dos numeros (f(z_n)-f(a))/(z_n-a) for ilimitada, > passe outra sub para que ele o limite dela seja +Inf ou -Inf; se for > limitada, ela tem que ter um ponto de acumulacao que nao eh L, entao > passe uma subsequencia para que o limite seja um numero A diferente de > L. > > Em suma, neste momento temos uma sequencia z_n->a decrescente tal que > lim (f(z_n)-f(a)) / (z_n-a) = A <> L. > > 3. Ideia: tome y_n=z_n. Agora, para CADA y_n fixo, vamos escolher x_n > MUITO PERTO de a, tal que f(x_n) esteja MUITO MUITO PERTO de f(a). > Assim, teremos algo do tipo > [f(y_n) - f(x_n)]/[y_n-x_n] ~~~ [f(y_n) - f(a)]/[y_n-a] ~~~ A, que > estaria **longe** de L. Pronto, isto seria uma contradicao frente aa > hipotese dada! > > Vejamos os detalhes, pelo menos no caso em que A eh finito: vou > denotar B_n=[f(y_n) - f(a)]/[y_n-a] e D=|A-L|>0. > i) Primeiro passe outra subsequencia de forma a garantir que |B_n - > A| < D/4. Isto eh para garantir que este negocio estah realmente longe > de L (e eh possivel porque o limite de B_n eh A quando n->Inf, entao > eh soh cortar o comeco da sequencia e deixar um rabo conveniente). > ii) Agora, para um y_n fixo, note que lim (x->a) (f(y_n) - f(x))/(y_n > - x) = B_n. Entao, para x suficientemente proximo de a, temos > |(f(y_n)-f(x)) / (y_n-x) - B_n |<D/4. > iii) Entao escolha um x_n de cada vez, indutivamente, sempre no > intervalo (x_(n-1),a) e satisfazendo (ii) (que simplesmente > determinava um intervalo em volta de a onde x_n tinha que estar). > iv) Pronto! A sequencia x_n eh crescente, e temos > > |[f(y_n) - f(x_n)]/[y_n-x_n] - L| > |A-L| - |B_n-A| - |[f(y_n) - > f(x_n)]/[y_n-x_n] - B_n| > D - D/4 - D/4 > D/2 > e portanto o limite desta fracao ali na esquerda nao serah L, absurdo. > > > (Agora falta fazer um raciocinio analogo no caso em que A=+-Inf! Mas > tenho certeza que sai, deve ateh ser mais facil do que esse que eu > fiz.) > > Abraco, Ralph. > > 2014-07-04 21:35 GMT-03:00 Merryl <sc...@hotmail.com>: > > Boa noite amigos > > > > Obrigada a todos pela ajuda naquele outro problema. > > > > Gostaria de ajuda com este aqui. Já pensei mas não consegui provar. > > > > Seja f:I --> R contínua no ponto a do intervalo aberto I. Suponhamos que > > para todas sequências (x_n) e (y_n) em I tais que > > > > (x_n) seja crescente e convirja para a > > > > (y_n) seja decrescente e convirja para a > > > > x_n < a < y_n para todo n > > > > exista um mesmo real L para o qual convirjam os quocientes ((f(y_n) - > > f(x_n))/(y_n - x_n)). > > > > Mostre que f é diferenciável em a e que f'(a) = L > > > > Eu tentei partir o quociente acima em duas partes, escrevendo-o como > > > > (f(y_n) - f(a))/(y_n - a) (y_n - a)/(y_n - x_n) - (f(x_n) - f(a))/(x_n - > a) > > (x_n - a)/(y_n - x_n) > > > > Mas como a hipótese é que f é só contínua em a, não se assume > > diferenciabilidade, isto não permite chegar a f'(a) = L. > > > > Obrigada > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
