Bom dia! x, y Ɛ Z+ e xy | x^2 + y^2 +1 ==> x | x^2 + y^2 +1 (i) x | x^2 e (i) ==> x | y^2 + 1 (Combinação Z linear de x^2 + y^2 +1 e x^2) ==> Ǝ k Ɛ Z | kx = y^2 + 1 (ii) (ii) e por simetria da proposta ==> Ǝ m Ɛ Z | my = x^2 + 1 ==> y =( x^2 + 1)/m (iii) (ii) e (iii) ==> kx = (x^4 + 2x^2 +1)/m^2 ==> m^2k x = x^4 + 2x^2 +1 (iv) m^2k Ɛ Z (v), pois +, * e potênciação são fechadas em Z. (iv) e (v) ==> x | x^4 + 2x^2 +1 (vi) x | x^4 + 2x^2 (vii) (vi) e (vii) ==> x 1 ( Z combinação linear de x^4 + 2x^2 e x^4 + 2x^2 +1) ==> x = 1 e por simetria y =1
==> (1^2 + 1^2 + 1)/ 1*1 = 3 c.q.d. *nota: O símbolo | significa "divide" ou "tal que" a depender do contexto.* Saudações PJMS Em 14 de agosto de 2014 23:12, marcone augusto araújo borges < [email protected]> escreveu: > Sejam x e y inteiros positivos tais que xy divide x^2 + y^2 + 1 > Mostre que (x^2 + y^2 + 1)/xy = 3 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
