Bom dia! Esse problema é lindo. O que me surpeende é que tem uma infinidade de classes de triângulos semelhantes e em todas os lados estão em PA.
A chave da solução está na dica do Carlos, do uso da lei dos senos no triângulo OAH. Mas a solução da segunda parte, pelo valor dos lados é um pouco pesada. Se rebater D em relação a AB e obter P1 e rebater D em relação a AC e obter P2. P1, P2, E e F serão colineares e o comprimento P1P2 será o perímetro do triângulo órtico. P1P2 = 2 . AD . senA = 2p' (pelo triângulo isósceles P1P2A de ângulo P1AP2 medindo 2A. O triângulo BDF é semelhante ao ABC, então DF = b. cosB = AD . cosB / senA. 2p'/DF = 2 senA . senC/cosB (i) cosB = 2cosACos C e cosB = -cos(180-B) ==> 2cosA.cosB = - cosA.cosB + senAsenB ==> senAsenB = 3/2 . cosB. Utilizando em (i) fica que 2p'/DF = 3 ==> os lados estão em PA. Mas sem a dica teria ficado no caminho. Sds, PJMS. Em 26 de outubro de 2014 16:04, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Valeu mestre Carlos!!! A boa saída trigonométrica!!!! > Gostei muito da solução. > Forte abraço!! > > > Em 25 de outubro de 2014 15:42, Carlos Victor <victorcar...@globo.com> > escreveu: > > Oi Douglas, >> >> Pense assim : >> >> 1) Mostre inicialmente que aplicando a lei dos senos para o triângulo >> OHA, encontramos >> >> cosB =2cosA.cosC., sabendo que AH = 2. OS, onde S é o ponto médio de CB. >> >> 2) Sabendo que os lados do triângulo órtico são dados por : >> >> Rsen2A, Rsen2B e Rsen2C e fazendo a semi-soma do primeiro com o último, e >> utilizando (1), >> >> conclua que esse triângulos tem as medidas dos lados em PA, ok ? >> >> Nota : R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo. ( confira as >> contas) >> >> >> Abraços >> >> Carlos Victor >> >> >> >> >> Em 24 de outubro de 2014 07:07, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Bom dia a todos, não vi solução para essa questão, >>> >>> Sejam H, O o ortocentro e o circuncentro do triÂngulo ABC. AD, BE e CF são >>> as alturas relativas aos vértices A, B e C. Suponha que OH seja >>> paralelo a AC. Mostre que os lados do triângulo DEF estão em progressão >>> aritmética. >>> >>> >>> Agradeço a ajuda!! >>> >>> Douglas Oliveira. >>> >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
