Este problema já apareceu aqui na lista, mas acho que ninguém resolveu a contento. Então vou dar meu palpite.
Seja M o ínfimo positivo de g(x), isto é, g(x)>=M>0 para todo x real. ---///--- Espírito da demonstração: a) Se y for positiva e estiver descendo, a EDO faz y descer cada vez mais rápido, e ela VAI cortar o eixo. b) Se y for positiva e estiver subindo, fica sempre acima de um certa cota N. Então y' vai descer à taxa de pelo menos (M.N), e vai acabar ficando negativa; então recaímos no caso (a). c) Se y for negativa, é análogo. ---///--- Agora, vamos fazer mais formalmente: LEMA 1: Se y(a)>0, então y admite uma raiz em (a,+Inf). Dem.: Suponha, por contradição, que não há tal raiz. Vamos analisar o comportamento de y(x), y'(x) e y''(x) RESTRITAS AO INTERVALO [a,+Inf) (por abuso de notação, vou continuar chamando as restrições de y, y' e y''). Ou seja, todas as afirmações se referem apenas ao intervalo [a,+Inf). Para começar, por continuidade, teríamos y(x)>0, e consequentemente y''(x)=-g(x)y(x)<0. Ou seja, y(x) seria uma função côncava. Se fosse y´(c)<0 para algum c>=a, isto já daria uma contradição. Afinal, a reta tangente a y(x) em (c,y(c)) cortaria o eixo à direita de c, e como y é côncava seu gráfico está ABAIXO desta reta tangente, então o gráfico de y(x) também deveria cortar o eixo, absurdo. Ou seja, devemos ter y´(x)>=0 para todo x>=a. Mas, neste caso, temos y(x) não-decrescente a partir de a, isto é, y(x)>=N>0 (onde N=y(a)). Portanto y´´(x)=-g(x).y(x) <= -M.N, e então y´(x) <= y(a) - MN.(x-a), que vai ficar negativo para x suficientemente grande. Isto contradiz o fato de que y´(x)>=0 visto acima! LEMA 2: Se y(a)<0, então y admite uma raiz b>a. Análogo ao Lema 1, basta trocar crescente por decrescente e côncava por convexa. Conclusões: A) y tem pelo menos uma raiz. De fato, se y(0)=0, então 0 é raiz. Senão, pelos lemas anteriores há alguma raiz em (0,+Inf). B) y tem infinitas raízes. De fato, suponha o oposto. Então y teria uma raiz máxima, digamos, Z. Mas y(Z+2015) seria positivo ou negativo, e pelos LEMAS, haveria uma raiz ainda maior, absurdo. Abraço, Ralph. 2015-02-10 14:24 GMT-02:00 Amanda Merryl <sc...@hotmail.com>: > Mostre que, se g de R em R é contÃnua e seu Ãnfimo em R é positivo, em > toda solução da EDO > > y'' + gy = 0 > > tem uma infinidade de zeros. > > Obrigada. > > Amanda > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
