Vou dar um argumento semelhante ao do Ralph. Sendo w > 0 o inf g(x) em R, temos que g(x) >= w > 0 para todo x.
Suponhamos que y tenha um número finito de zeros. Existe então a tal que y não se anula em [a, oo). Como y é contínua (é pelo menos duas vezes diferenciável), y não muda de sinal em [a, oo), sendo portanto estritamente positiva ou estritamente negativa neste conjunto. Para evitar repetições, a partir deste ponto todas as funções citadas são entendidas como restritas a [a, oo). Suponhamos que y seja positiva. Então, gy é positiva, o que, pela EDO, implica que y'' seja negativa. Logo, y' é estritamente decrescente. Se y' assumir algum valor <= 0, então lim x --> oo y'(x) < 0 e, portanto, lim x --> oo y(x) = -oo, contrariando a hipótese de y é positiva. Asim, y' é estritamente positiva, do que deduzimos que y é positiva e estritamente crescente. Logo, para x > a temos que y(x) > y(a) > 0. Como g(x) > w > 0 para todo x, então para x > a temos que g(x) y(x) > w y(a) > 0. Da EDO, segue-se então que y''(x) < - w y(a) < 0 para x > a. Isto, por sua vez, implica que y'(x) e, portanto, y(x), tendam a -oo quando x --> oo. Logo, temos uma contradição que nos mostra que y ser positiva é uma hipótese insustentável. Pelo que vimos, temos então que y tem que ser estritamente negativa. Mas isto implica que - y seja estritamente positiva além de ser solução da EDO. Conforme mostramos, isto é uma contradição. Concluimos assim que y tem uma infinidade de zeros em R. Um problema interessante Artur Costa Steiner > Em 10/02/2015, às 14:24, Amanda Merryl <[email protected]> escreveu: > > Mostre que, se g de R em R é contÃnua e seu Ãnfimo em R é positivo, em > toda solução da EDO > > y'' + gy = 0 > > tem uma infinidade de zeros. > > Obrigada. > > Amanda > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
