2015-03-13 23:47 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <[email protected]>: > Alguém pode me dar uma idéia de como provar que > lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n=e^x > > Estava pensando em usar que lim n →∞ x/ncot(x/n)=1 e substituir no limite > obtendo o seguinte: > lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n= lim n →∞ ( 1+x/n)^n=e^x > Mas não sei se posso fazer isso, pq o limite está dentro da expressão que > está elevado a n.
Pois é, não pode. Imagine que a_n -> 1 quando n -> ∞ , que é a única coisa que você provou. Nada garante que lim (a_n + x/n)^n convirja, quanto mais para e^x. Os 3 casos clássicos são (sem demonstração, mas é fácil de fazer as contas): - a_n = 1 + 1/raiz(n), que vai divergir - a_n = 1 + (-1)^n/n, que vai oscilar entre e^(x+1) e e^(x-1) - a_n = 1 + 1/n^2, que vai convergir para e^x Em termos "vagos", tudo depende da velocidade com que a_n tende a 1. > Se possível, me sugiram uma solução sem usar derivadas(L'Hospital) e por > favor, > me respondam se eu posso fazer isso. Pois é, não tem como não usar derivadas. Pode ser com L'Hôpital (que vai dar muitas contas), pode ser de outras formas (expansões em séries de Taylor truncadas, que aparentemente é um nome que só é conhecido na França http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité), mas você precisa de mais informação do que apenas o limite dos a_n. Só para aplicar no seu caso: x/n * cot(x/n) = y * cot(y) com y -> 0 = y / tg(y) = y / (y + O(y^3)) = 1 + O(y^2) = 1 + O( (x/n)^2 ) E daí temos (1 + x/n + O( (x/n)^2 ))^n = exp(x) * (1 + O( (x/n)^2 ))^n -> exp(x) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
