E como seria a demonstração desse limite por l'hospital?tem como fazer aí para eu ver?
Em 14 de março de 2015 14:13, Israel Meireles Chrisostomo < [email protected]> escreveu: > obrigado > > > Em 14 de março de 2015 08:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > [email protected]> escreveu: > > 2015-03-13 23:47 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo >> <[email protected]>: >> > Alguém pode me dar uma idéia de como provar que >> > lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n=e^x >> > >> > Estava pensando em usar que lim n →∞ x/ncot(x/n)=1 e substituir no >> limite >> > obtendo o seguinte: >> > lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n= lim n →∞ ( 1+x/n)^n=e^x >> > Mas não sei se posso fazer isso, pq o limite está dentro da expressão >> que >> > está elevado a n. >> >> Pois é, não pode. Imagine que a_n -> 1 quando n -> ∞ , que é a única >> coisa que você provou. >> Nada garante que lim (a_n + x/n)^n convirja, quanto mais para e^x. Os >> 3 casos clássicos são (sem demonstração, mas é fácil de fazer as >> contas): >> - a_n = 1 + 1/raiz(n), que vai divergir >> - a_n = 1 + (-1)^n/n, que vai oscilar entre e^(x+1) e e^(x-1) >> - a_n = 1 + 1/n^2, que vai convergir para e^x >> >> Em termos "vagos", tudo depende da velocidade com que a_n tende a 1. >> >> > Se possível, me sugiram uma solução sem usar derivadas(L'Hospital) e >> por favor, >> > me respondam se eu posso fazer isso. >> >> Pois é, não tem como não usar derivadas. Pode ser com L'Hôpital (que >> vai dar muitas contas), pode ser de outras formas (expansões em séries >> de Taylor truncadas, que aparentemente é um nome que só é conhecido na >> França http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité), mas você >> precisa de mais informação do que apenas o limite dos a_n. Só para >> aplicar no seu caso: >> >> x/n * cot(x/n) = y * cot(y) com y -> 0 = y / tg(y) = y / (y + O(y^3)) >> = 1 + O(y^2) = 1 + O( (x/n)^2 ) >> E daí temos (1 + x/n + O( (x/n)^2 ))^n = exp(x) * (1 + O( (x/n)^2 ))^n -> >> exp(x) >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
