1a) Vou indicar os passos escrevendo os numeros em fila (lembre que o ultimo eh adjacente ao primeiro). Na posicao inicial, temos: 01000000...0000 Agora escolha trocar os 1s da esquerda para a direita, assim: 10100000...0000 11010000...0000 11101000...0000 ... 11111111...1010 11111111...1101 01111111...1110 onde no ultimo passo trocamos o ultimo 1, alterando portanto o 1 da esquerda que lhe eh adjacente. Neste momento, temos uma sequencia de 99 1s. Divida-os em 33 grupos de 3: 0/111/111/111/.../111/0 Agora escolha trocar os 1s do centro de cada grupo. Vai ficar tudo 0.
1b) Vamos rotular os 102 numeros em 3 grupos de 34, assim: ABCABCABCABC...ABC. Note que cada "passo" altera exatamente 1 numero do grupo A, 1 do grupo B e 1 do grupo C. Mais exatamente, considere a soma SA de todos os numeros do grupo A. A cada passo, exatamente um numero do tipo A vai trocar de 0 para 1 ou de 1 para 0. Assim, a soma SA aumenta ou diminui de 1 unidade exatamente. Em particular, a cada passo, se SA era par fica impar, e se era impar fica par. O mesmo vale para a soma SB dos numeros do grupo B, e a soma SC do grupo C. Mas na posicao inicial temos algo do tipo (SA,SB,SC)=(i,p,p) (onde i eh impar e p eh par, supondo s.p.d.g. que o 1 estah no grupo A). Como a cada passo as 3 paridades mudam, a paridade da terna (SA,SB,SC) vai alternar entre (i,p,p) e (p,i,i). Em particular, jamais serah (p,p,p), que eh o que deveriamos se os numeros fossem todos 0. Abraco, Ralph. 2015-05-06 18:37 GMT-03:00 Mórmon Santos <[email protected]>: > Dados n pontos em uma circunferência se escreve ao lado de um deles um 1 e > ao lado de cada um dos outros um 0. A operação permitida consiste em > escolher um ponto que tenha um 1 e trocar o número desse ponto e também os > números dos seus dois vizinhos, o da esquerda e o da direita (onde há 1 se > escreve 0 e onde há 0 se escreve > 1). a) Se n = 101, mostre que se pode conseguir, mediante uma sucessão de > operações permitidas, que cada um dos n pontos tenha escrito 0. > b) Se n = 102, mostre que é impossível obter todos 0. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
