Seja um número da forma 1000..01 com n algarismos zeros, e multiplicarmos por um número na forma aaa.a com n+1 algarismos. Teremos como resultado aaaa...a com 2*(n+1) algarismos.
Portanto, 7777777 = 1001*777 logo A = 1001*777 ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) + 77777 o resto será o resto da divisão de 77777 por 1001, como 77777 = 77*1001 +700 podemos escrever A= 1001*(777 * ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77) +700 Como 0<700< 1001 ==> r = 700 Já q = 777*( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77 Que darão 166 777000 na sequência, seguidos de três algarismos zero e dois algarismos 7, ou seja, q =7770007777700000...77700000077 166 pois (995 - 5)/6+1 ou de outra maneira colando 777 em evidência q = 777* (100000100000...1000001000)*10^5 +77 A resposta deveria ter no final do número B a seguinte sequência de algarismos 100000 ao invés do algarismo 1 destacado em amarelo. ou então usar B da forma exposta e corrigir a potência de 10 em q de 5 para 8. q = 777*B*10^8 + 77 Saudações, PJMS Para achar o resto dava para usar mod., mas para o quociente creio que não. A = 7 + 7*10^1 + 7*10^2 +...+ 7*10^999 + 7*10^1000 Por soma da PG A = 7*(10^1001-1)/9 9A ≡ 7* (10^1001-1) (mod1001) como 10^6 ≡ 1 (mod 1001) temos que 9a ≡ 7*(10^5-1) (mod1001) como 9 | (10^5 -1) (| significa divide) pode-se: a ≡ 7*(11111) (mod1001) ==> a ≡ 700 (mod1001) se 9 não dividisse, como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Em 9 de junho de 2015 22:03, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Seja A = 777...77(1001 algarismos). Determine o quociente e o resto da > divisão de A por 1001 > > Eu achei o quociente 777000777000777000...00077 e resto 700 > o bloco 777000 reproduzido 111 vezes e mais 77 no final > Mas o gabarito dá quociente 777.B.10^5 + 77, sendo B = 1000001000001...1(166 > 1`s ) > Não entendi a resposta do gabarito. > Outra coisa: daria pra achar o resto usando congruência? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
