Boa tarde! (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1 (ii) ab+bc+ac=1
de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2) = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2) 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii) de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv) (iii) e (iv) ==> 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) ==> abc= a+ b +c (v) É fácil observar que a=b=c=0 atende (v) Seja y=abc e z = a+ b+ c a > 0, b>0 e c>0 e (ii) ==> 0<a<1, 0<b<1 e c0<c<1. ==> ab<1, bc < 1 e ac<1. δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1 Logo y cresce a uma taxa menor z para 0<a<1, 0<b<1 e c0<c<1 e como para a=b=c =0 : y=z ==> y < z para 0<a<1, 0<b<1 e c0<c<1. É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma desigualdade Sds, PJMS Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo < [email protected]> escreveu: > Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo existe > em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se > souberem, me digam qual > Prove que o sistema não possui soluções reais positivas: > a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1 > ab+bc+ac=1 > Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado: > Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2 > Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam > qual. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
