Bom, podemos mostrar que sen²x+sen²y+sen²z=1; x+y+z=pi/2 implicam que algum dos ângulos x, y, z é múltiplo de pi/2 (em particular, não serão todos positivos). Serve para o que você quer?
Em primeiro lugar, tome A=2x, B=2y e C=2z. Traduzimos tudo então para: (1-cosA)/2+(1-cosB)/2+(1-cosC)/2=1, isto é, cosA+cosB+cosC=1. A+B+C=pi E quero mostrar que A ou B ou C são múltiplos de pi, ou seja, que sinAsinBsinC=0. Oras, como A+B+C=pi, cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB. Jogando na primeira: sinA.sinB=1-cosA-cosB+cosAcosB=(1-cosA)(1-cosB) Se sinAsinB<>0, posso multiplicar isto por (1+cosA)(1+cosB)/(sinAsinB) dos dois lados: (1+cosA)(1+cosB)=sinA.sinB Igualando essas duas equações, tiro que cosA+cosB=0. Então cosC=1, portanto sinC=0. (Hmmm, que estranho... errei alguma conta?) ---///--- Suponho que sua primeira condição seja análoga, fazendo a=tanx, b=tany,c=tanz, acertei? Abraço, Ralph. 2015-07-03 16:01 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: > Boa tarde! > > (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1 > (ii) ab+bc+ac=1 > > de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2) > = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2) > > 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii) > > de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv) > > (iii) e (iv) ==> 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) ==> abc= a+ > b +c (v) > > É fácil observar que a=b=c=0 atende (v) > > Seja y=abc e z = a+ b+ c > > a > 0, b>0 e c>0 e (ii) ==> 0<a<1, 0<b<1 e c0<c<1. ==> ab<1, bc < 1 e ac<1. > > > δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e > > δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1 > > Logo y cresce a uma taxa menor z para 0<a<1, 0<b<1 e c0<c<1 e como para > a=b=c =0 : y=z ==> y < z para 0<a<1, 0<b<1 e c0<c<1. > > É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma > desigualdade > > Sds, > > PJMS > > > > > > > > > Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo >> existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se >> souberem, me digam qual >> Prove que o sistema não possui soluções reais positivas: >> a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1 >> ab+bc+ac=1 >> Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado: >> Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2 >> Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam >> qual. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
