2015-09-08 22:24 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
<israelmchrisost...@gmail.com>:
> Já vi uma maneira mais simples é só definir A_n=((2n)!/n!)^{1/n} e usar que
> (A_n+1)^{n+1}/(A_n)^{n}=A_n(A_n+1/A_n)^{n+1} e observar que lim
> (A_n+1/A_n)^{n+1} =1, essa é uma boa técnica ehehehe
É. Se eu entendi direito, você "substituiu o teste da raiz pelo teste
da razão". Mais explicitamente, se a_n é uma seqüência de números
reais positivos, então se existir o limite a_{n+1} / a_n (quando n ->
infinito), então também existe o limite (a_n)^{1/n} e eles são iguais.
(Acho que você esqueceu de dizer que o lado ESQUERDO da sua equação
tende a 4 quando n -> infinito)
> Em 8 de setembro de 2015 21:42, Israel Meireles Chrisostomo
> <israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>> Acho que pensei numa forma mais simples
Tem uma outra forma "bem simples". Enfim, super-mágica, mas como eu
estou usando números de Catalan de montão, esses truques acabam
aparecendo. Seja C_n = binom(2n,n). Considere a função 1/raiz(1 - z).
Pelo binômio de Newton, a série de potências dela é
1/raiz(1 - z) = soma (-1)^n (2n+1)!/(4^n n! n!) z^n = soma (-1)^n
(2n+1) C_n/4^n z^n = soma a_n z^n
Como o raio de convergência desta função é 1, sabemos (pelo critério
de Hadamard) que o limite |a_n|^{1/n} é igual a 1. Daí, basta ver que
tem um (2n+1) "sobrando" (mas cuja raiz n-ésima tende a 1) para obter
(C_n)^{1/n} / 4 -> 1.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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