Olá Pedro,
A noção de norma é a extensão natural da noção de "módulo" definida para os
números reais (ou distância até a origem). Dado um espaço vetorial V sobre
o corpo R (dos números reais) uma norma é uma aplicação || . ||:V --> R que
goza das seguintes propriedades:
N1) ||v|| >0, se v é diferente de zero e ||v||=0 se, e somente se, v=0.
N2) ||a.v||=|a|.||v||, para todo a real e v pertencente a V.
N3) ||u+v|| < ou = ||u||+||v||, para quaisquer u e v em V.
Note que:
em N2) é conveniente usarmos duas barras para a norma de v para não
confundirmos com as barras simples em |a|, que significam apenas o módulo
do número real a. Mas isso é apenas uma opção do autor. Se usássemos apenas
barras simples para representar a norma de um vetor teríamos em N2)
|a.v|=|a|.|v|, o que não seria conveniente pois estaríamos usando a mesma
notação para duas coisas diferentes, a saber: |a| para o módulo do número
real a e |v| para a norma do vetor v, por isso é conveniente usar duas
barras para a norma de um vetor. No caso específico dos números complexos
geralmente utiliza-se barras simples para representar a sua norma, que é
|z|=(a^2+b^2)^{1/2}, quando z=a+b.i.
Note que se z=a+b.i, então ||z||=a^2+b^2 não é (no sentido da definição
acima) uma norma no R-espaço vetorial dos números complexos pois N3) não
seria satisfeita nesse caso, por exemplo
z=3+4.i e w=4+3.i teríamos ||z||=3^2+4^2=25 e ||w||=4^2+3^2=25
z+w=7+7.i ==> ||z+w||=7^2+7^2=98
ou seja, nesse caso ||z+w||>||z||+||w||.
Assim não é correto dizer que a aplicação || . || : C --> R dada por
||z||=a^2+b+2, quando z=a+b.i não é uma norma no R-espaço vetorial C dos
números complexos.
Resumindo colocamos duas barras para não confundir com o módulo dos números
reais e ||z||=a^2+b+2 não é uma norma nesse sentido. (Nesse sentido o FME
não está correto em chamar isso de norma)
Obs. Por outro lado num outro contexto (na Teoria algébrica dos números),
define-se a norma de um número complexo a+b.i por N(a+b.i)=a^2+b^2, como
faz o FME, mas nesse novo contexto, apesar do mesmo nome "norma" isso não é
uma norma no sentido que definimos no início. (Nesse sentido o FME está
correto, apesar de que esse não é o contexto a que ele se refere na ocasião
em que ele define o que ele chama de norma.
Espero ter ajudado, Cgomes.
Em 10 de agosto de 2016 20:08, Pedro Henrique <[email protected]>
escreveu:
> Boa noite,
> Estava eu ontem lendo um livro de Álgebra Linear e me deparei com uma
> definição que me causou grandes intrigas, o livro definia norma de um vetor
> bidimensional como sendo ||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2). Automaticamente me
> lembrei de minhas aulas de números complexos. Peguei o livro Fundamentos da
> Matemática Elementar e fui em busca da definição de módulo, que por sinal
> era a mesma de norma do livro de Álgebra, |z| = sqrt(a^2 + b^2), e para a
> minha surpresa, o FME definia norma como sendo (a^2 + b^2) - sem a raiz
> quadrada -. Então, qual seria a diferença de módulo e norma de um vetor? Já
> vi em alguns lugares que eles são a mesma coisa, mas se são a mesma coisa,
> pq um é definido com somente um traço na vertical de cada lado |z| enquanto
> o outro possui dois ||v||?
> Desde já agradeço a ajuda.
>
> Obs: O livro de Álgebra é a 3 edição do livro de Howard Anton, traduzido
> da Drexel University.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
