2017-02-10 11:37 GMT-02:00 Rodrigo Costa <[email protected]>: > > Eu tenho uma sugestão... pode não ser muito elegante mas daria para usar a > aproximação de stirling para os termos em fatorial.
Muita gente consideraria isso "roubar". Eu sempre acho muito artificial um problema de fatoriais onde você não deixa usar Stirling: a maior parte dos problemas NASCEU de alguém que usou Stirling primeiro, e depois tentou descobrir uma demonstração (já sabendo o resultado certo!) "elementar" (mas obscura). > E mostrar que o limite de 2^(n!)/(2^n)! -> inf e (2^n)!/2^(n!) -> 0 para > n->inf com a aproximação. > > i.e. 2^(n!) > 2^(n)! para n>=5... Gostei da figura, e da técnica. Aliás, isso é bastante geral: se você não sabe qual é o maior número, manda um log que as coisas devem ficar claras. Ou dois logs. Ou mais... Aqui, dois bastam: log[ 2^(n!) ] = n! * log(2) log[ (2^n)! ] ~ 2^n * log(2^n) = 2^n * n * log(2) (tem um "termo de erro" que é - 2^n, mas isso é bem menor do que o termo anterior, e tem outros termos de erro também. A graça disso é fazer BEM rápido) Aqui, já dá para ver como apareceu o "passo mágico" da resposta do Gabriel: para comparar estes logs (aproximados), você tem que comparar n! e 2^n * n. Se você já souber fazer isso, ótimo. Se não, venha o segundo log: log[ n! ] ~ n * log(n) log[ 2^n * n ] = n*log(2) + log(n) E daí está na cara que n*log(n) é muito maior do que n*log(2) (que por sua vez é MUITO maior do que log(n)). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
