Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos lá:
Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 se, e somente se, [3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim sucessivamente escrevi a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e assim sai fácil, só não consegui escrever a prova desse lema. Mas com ele sai bem facil, pois se (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2), logo (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja, a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), ....., a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]..., e como a_1=3, está provado. Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema. Lema: Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1. Douglas Oliveira Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: > Solução muito boa. > > Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" <gtos...@icloud.com> > escreveu: > >> Tira ln, esse produto vai ser: >> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M >> >> Bora escrever M de outro jeito: >> >> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ... >> >> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1) >> >> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n >> >> M<ln2 + Sum{n>=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2) >> >> Para achar L considere: >> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+... >> >> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+... >> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1 >> E entao >> M< 3ln(2)-1 < ln(3) >> >> E o produto pedido inicialmente eh menor que 3 >> >> >> >> >> >> >> >> >> Sent from my iPad >> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >> > >> > Como posso fazer essa daqui: >> > >> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 >> > >> > Grande abraço a todos >> > >> > DouglasOliveira >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.