Usando Geometria: seja M o ponto medio de AB. Note que M eh fixo. O Teorema de Apolonio <https://en.wikipedia.org/wiki/Apollonius%27_theorem> diz que
PA^2+PB^2 = 2(PM^2+a^2) (obs: isso vale mesmo que P esteja na reta AB). Entao PM^2=k^2/2 - a^2 eh fixo. Assim, tipicamente o lugar geometrico de P eh um circulo de centro M e raio quadrado k^2/2 - a^2... Digo "tipicamente" porque temos que analisar se esse raio existe mesmo... Entao: a) Se k^2<2a^2, entao o L.G. serah vazio b) Se k^2=2a^2, entao o L.G. serah apenas o ponto M. c) Se k^2>2a^2, entao realmente dah aquele circulo que eu citei -- mas tecnicamente tem que ver se os pontos onde esse circulo corta a reta AB tambem servem, porque PAB nao seria tecnicamente um triangulo (resposta: sim, servem!). Usando Vetores: (uso <v,w> para produto interno) <P-A,P-A>+<P-B,P-B>=k^2 2<P,P>-2<P,A>-2<P,B>+<A,A>+<B,B>=k^2 <P,P>-<P,A+B>=(k^2-<A,A>-<B,B>)/2 Agora complete quadrados <P,P>-2<P,(A+B)/2>+<(A+B)/2,(A+B)/2> = (k^2 -<A,A>-<B,B>)/2+<(A+B)/2,(A+B)/2> <P - (A+B)/2 , P- (A+B)/2> = k^2/2 -<(A-B)/2,(A-B)/2> = k^2/2 - a^2 ||P - (A+B)/2|| ^ 2 = k^2/2 - a^2 Ou seja, a distancia de P a M=(A+B)/2 eh fixa e igual a k^2/2-a^2.... Abraco, Ralph. 2017-08-22 19:31 GMT-03:00 André Lauer <andre_la...@hotmail.com.br>: > Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema: > São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que > d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada. > Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
