É isso aí! Uma aplicação simples mas elegante da desigualdade triangular. E o ponto O não parece ser tão difícil de conjecturar. Afinal, o ponto de intersecção das diagonais talvez seja o “ponto notável” mais óbvio de um quadrilátero (certamente é o mais fácil de construir - duas aplicações da régua e nenhuma do compasso).
E quando, digamos, o vértice D tende ao vértice C do quadrilátero, o ponto O de intersecção das diagonais não tende ao ponto de Fermat do triângulo ABC pois este é o que tem a menor soma das distâncias aos vértices enquanto que O, no limite, minimiza a soma PA + PB + 2PC. Enviado do meu iPhone Em 11 de mar de 2018, à(s) 17:20, Douglas Oliveira de Lima <profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Seja o quadrilátero ABCD cujas diagonais são AC e BD, e O o ponto de > intersecção das diagonais. > Seja também um ponto P em seu interior e as distâncias PA, PB, PC, PD, > temos por desigualdade triângular > que PA+PC>=AC e PB+PD>=BD. Claramente vemos que o ponto P coincide com o > ponto O quando a soma das diagonais > coincide com a igualdade. Desta forma o ponto procurado é o encontro das > diagonais. > > > Forte abraço. > Douglas Oliveira. > > Em 10 de março de 2018 21:07, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> > escreveu: >> Aqui vai um bonitinho que eu nunca tinha visto: >> >> Dado um quadrilátero convexo, determine o ponto cuja soma das distâncias >> aos vértices do quadrilátero é mÃnima. >> >> Interessante que quando a distância entre dois vértices adjacentes dados >> tende a zero (e o quadrilátero “tende†a um triângulo), o ponto de >> mÃnimo não parece tender ao ponto de Fermat do triângulo (exceto quando o >> triângulo tem um ângulo >= 120 graus. >> >> Abs, >> Claudio. >> >> Enviado do meu iPhone >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
