Em Ter, 27 de mar de 2018 13:50, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> Os problemas 1, 3 e 4 me parecem ser consequências da "rigidez" que a > diferenciabilidade complexa impõe às funções analíticas e que, pra mim, > está longe de ser algo intuitivo. > > Por exemplo, no problema 1, se g(z) = exp(z), então a conclusão decorre do > teorema de Liouville. > No caso geral, temos que lidar com os zeros de g e Liouville não se aplica > (pelo menos não diretamente). > No entanto, se g(z) = 0, então f(z) = 0 pela desigualdade |f(z)| <= |g(z)|. > Será que essa desigualdade garante que os zeros de g(z) são singularidades > removíveis de f(z)/g(z)? > Garante sjm, porque f/g é limitada (por 1) perto dos zeros de g. E isto garante que os zeros sejam singularidades removíveis > > No problema 2, fazendo w = 1/z, obtemos o polinômio w^(n+1) + 2w - 1 e o > problema passa a ser o de provar que este tem uma única raiz no interior de > D(0,1). > (também é preciso mostrar que P(z) não tem raízes com |z| = 1, mas isso é > relativamente simples: se P(z) = 0 e |z| = 1, então z^n(z-2) = 1 ==> |z-2| > = 1 ==> z = 1. Mas P(1) = -2 <> 0). > O teorema de Rouché diz que, se f e g forem analíticas no fecho de D(0,1) > e que se |g(w)| < |f(w)| para |w| = 1, então f e f+g têm o mesmo número de > raízes no interior de D(0,1). > Tomemos f(w) = 2w - 0,5 e g(w) = w^(n+1) - 0,5. > Então: > f(w) tem uma única raiz (igual a 0,25) no interior de D(0,1); > f(w) + g(w) = w^(n+1) + 2w - 1; > para |w| = 1, > |g(w)| = |w^(n+1) - 0,5| <= 1 + 0,5 = 1,5, com igualdade sss w for uma > raiz (n+1)-ésima de -1, > |f(w)| = |2w - 0,5| >= 2 - 0,5 = 1,5, com igualdade sss w = 1. > Como 1 não é uma raiz (n+1)-ésima de -1, teremos sempre a desigualdade > estrita |g(w)| < |f(w)| para |w| = 1. > Assim, as condições do teorema de Rouché são satisfeitas e, portanto, > w^(n+1) + 2w - 1 tem o mesmo número de raízes (a saber, 1) que 2w - 0,5 no > interior de D(0,1). > OK! E para determinar a integral em função do único zero em fora de D(0,1), podemos invocar o teorema das raízes interiores e exteriores. Como edta raiz é simples, o resíduo de 1/p nela é 1/p'(r) Artur > > []s, > Claudio. > > > > > > > > > 2018-03-21 16:32 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: > >> 1) Mostre que, se f e g são funções inteiras tais que |f(z)| <= |g(z)| >> para todo complexo z, então, também para todo z, f(z) = k g(z), onde k é >> uma constante complexa. >> >> 2) Mostre que o polinômio P(z) = z^n (z - 2) - 1, n inteiro positivo, tem >> exatamente n raízes (contando multiplicidades) no disco aberto D(0, 1). >> >> 3) Mostre que se f é inteira e injetora, então f é um mapeamento afim não >> constante (logo, f é bijetora) >> >> 4) Mostre que uma função inteira é uniformemente contínua no plano se, e >> somente se, for um mapeamento afim. >> >> Artur >> >> Enviado do meu iPad( >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
