Em 21 de abril de 2018 10:28, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu: > Por exemplo, Pitágoras pode ser demonstrado por áreas e por semelhança. > Ceva também.
As demos de Pitágoras que conheço costumam usar recorta-e-cola. Conheço uma muito boa que usa áreas e semelhança. Basicamente, substitua os quadrados nos lados por triângulos retângulos semelhantes ao próprio. Ceva? Bem, eu já vi Menelaus com áreas, devo dizer. > E nos elementos de Euclides, a proposição 3 do livro VI (essencialmente o > teorema de Tales) sai por áreas (apesar de depender da teria das proporções > de Eudoxo, descrita no livro V). > > De fato, minha conjectura deveria ser: dados os axiomas dos números reais, > áreas e semelhança são equivalentes. > Novamente, não lembro de nenhum tratamento sistemático/axiomático de áreas. Ainda não consigo imaginar um Cavalieri com semelhanças. > Abs > > Enviado do meu iPhone > > Em 21 de abr de 2018, à(s) 08:12, Anderson Torres > <[email protected]> escreveu: > >> Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara >> <[email protected]> escreveu: >>> Considere o seguinte problema (fácil): >>> No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e K o pé da >>> altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à reta suporte de AC e K à >>> reta suporte de AB). >>> Prove que AB*CK = AC*BH. >>> >>> Solução 1: >>> 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH >>> >>> Solução 2: >>> Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = 1 reto e >>> A >>> comum). >>> Logo, AB/AC = BH/CK. >>> Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH. >>> >>> Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de área >>> e de >>> semelhança são equivalentes? >>> Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via considerações >>> de >>> área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)? >>> >> >> Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de >> figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o caso >> LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois >> triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais". >> >> Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso. >> >> Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao PrincÃpio de >> Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :) >> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
