Se a questão tivesse um intervalo explícito [a,b] e diferenciável em todo ponto (a,b) exceto possivelmente num ponto c em (a,b) tal que lim f '(x) = L, x-> c, o que eu fiz estaria correto?
2018-04-23 14:11 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: > Como f é contínua em 0, então, pela regra de L'Hopital, > > lim x --> 0+ (f(x) - f0))/(x - 0) = lim x --> 0+ f'(x) = L > > Pela definição de derivada lateral, o limite do primeiro membro é a > derivada à direita de 0. É só o que podemos concluir do enunciado. Nada > garante que a derivada à esquerda de 0 sequer exista. > > Artur Costa Steiner > > Em Dom, 22 de abr de 2018 22:45, Igor Caetano Diniz < > icaetanodi...@gmail.com> escreveu: > >> Boa noite, >> Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei corretamente >> na maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2). >> Aí vai: >> Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis: >> >> Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e diferenciável >> em todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f ' >> (0) existe e é igual a L. >> >> O que pensei em fazer: >> >> Pensei em duas maneiras. >> 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a >> esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L. >> Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h) >> ]/2h = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h] >> >> Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e >> portanto, é L >> >> 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0 >> com lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto >> que isso é verdade e não sei provar >> >> Abraços >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
