Eu li errado, temos que lim x --> 0 f' (x) = L. Assim, a Regra de l' Hopital conforme mostrei demonstra que, de fato, f'(c) = L.
Mas o que vc fez não mostra que f'(c) = L. Artur Costa Steiner Em Seg, 23 de abr de 2018 14:31, Igor Caetano Diniz <icaetanodi...@gmail.com> escreveu: > Se a questão tivesse um intervalo explícito [a,b] e diferenciável em todo > ponto (a,b) exceto possivelmente num ponto c em (a,b) tal que lim f '(x) = > L, x-> c, o que eu fiz estaria correto? > > 2018-04-23 14:11 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: > >> Como f é contínua em 0, então, pela regra de L'Hopital, >> >> lim x --> 0+ (f(x) - f0))/(x - 0) = lim x --> 0+ f'(x) = L >> >> Pela definição de derivada lateral, o limite do primeiro membro é a >> derivada à direita de 0. É só o que podemos concluir do enunciado. Nada >> garante que a derivada à esquerda de 0 sequer exista. >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em Dom, 22 de abr de 2018 22:45, Igor Caetano Diniz < >> icaetanodi...@gmail.com> escreveu: >> >>> Boa noite, >>> Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei >>> corretamente na maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na >>> maneira (2). >>> Aí vai: >>> Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis: >>> >>> Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e >>> diferenciável em todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, >>> prove que f ' (0) existe e é igual a L. >>> >>> O que pensei em fazer: >>> >>> Pensei em duas maneiras. >>> 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a >>> esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L. >>> Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h) >>> ]/2h = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h] >>> >>> Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e >>> portanto, é L >>> >>> 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0 >>> com lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto >>> que isso é verdade e não sei provar >>> >>> Abraços >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
