Esse final é facil: dado que a area de cada triângulo é fixa igual a S/3 estão a distancia de P ao lado AB é fixo igual a 2S/AB = c, temos que P pertence a alguma das duas retas paralelas a AB que distam c de AB, na verdade na única reta que corta o triângulo ABC (chame essa reta de r1). De modo análogo temos que P pertence a única reta r2 paralela a AC, que dista b de AC e que corta o triângulo ABC. Daí P é a intercessão entre as retas r1 e r2, logo único. Como vimos que o baricentro satisfaz essa propriedade, então P só pode ser o baricentro mesmo.
Em ter, 22 de mai de 2018 11:40, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu: > De fato, nem notei isso... > Mas é sabido (e fica como um problema não muito difícil) que as 3 medianas > de um triângulo o decompõem em 6 triângulos de mesma área. > Logo, somando as áreas adequadas, concluímos que o baricentro P é tal que > as áreas de PAB, PBC e PCA são iguais. > > Mas cuidado com a lógica, pois o resultado de que precisamos é o recíproco > deste: se P é tal que as três áreas são iguais, então P é o baricentro. > Ou seja, é preciso mostrar que não há outros pontos com esta propriedade. > > []s, > Claudio. > > > 2018-05-22 10:47 GMT-03:00 Matheus Secco <[email protected]>: > >> Completando o trabalho do Claudio, não é dificil mostrar que P deve então >> ser o baricentro. >> >> Em Ter, 22 de mai de 2018 10:37, Claudio Buffara < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Sejam x, y, z as distâncias do ponto P, interior ao triângulo ABC, de >>> área S, aos lados BC (medida = a), AC (medida = b) e AB (medida = c). >>> >>> Sabemos que ax + by + cz = 2S = constante. >>> >>> Então, o problema é maximizar xyz dado que ax + by + cz = 2S. >>> >>> Pela desigualdade MG <= MA aplicada aos números positivos ax, by e cz, >>> temos que: >>> ax * by * cz <= ((ax + by + cz)/3)^3 ==> >>> abc*xyz <= (2S/3)^3 ==> >>> xyz <= (2S/3)^3/(abc), com igualdade sss ax = by = cz = 2S/3. >>> >>> Assim, o ponto P que maximiza o produto xyz é tal que as áreas dos >>> triângulos PAB, PBC e PCA são iguais. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> 2018-05-22 8:39 GMT-03:00 luciano rodrigues <[email protected]>: >>> >>>> Encontre o ponto dentro de um triângulo tal que o produto das >>>> distâncias dos lados desse triângulo ao ponto seja máximo. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> >>>> ========================================================================= >>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>> >>>> ========================================================================= >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
