Usualmente (por exemplo, em todos os livros de teoria dos números que eu
conheço), quando falamos em número de divisores de um número, estamos
falando apenas dos divisores positivos.
Se 1 = d_1 < ... < d_r = n (r = ND(m)) são os divisores (positivos) de m,
então:
d_1 * ... * d_r = (m/d_1)*...*(m/d_r) ==> (d_1 * ... * d_r)^2 = m^r ==> d_1
* ... * d_r = m^(r/2) = m^(N(D(m)/2).
***
Agora, sejam m e n inteiros positivos tais que m^ND(m) = n^ND(n).
Então m e n têm os mesmos fatores primos (pelo TFA) e podemos escrever:
m = p_1^x_1 * ... * p_k^x_k
e
n = p_1^y_1 * ... * p_k^y_k.
m^ND(m) = n^ND(n) ==>
para cada j (1<=j<=k), x_j*ND(m) = y_j*ND(n) ==>
x_j/y_j = ND(n)/ND(m) = constante (para m e n dados)
Se, para algum i (1<=i<=k), x_i < y_i (digamos), então para todo j
(1<=j<=k), valerá x_j < y_j, já que x_j/y_j é constante, independentemente
de j.
Logo,
m = p_1^x_1*...*p_k^x^k < p_1^y_1*...*p_k^y_k = n
e
ND(m) =(1+x_1)*...*(1+x_k) < (1+y_1)*...(1+y_k) = ND(n),
e, portanto,
m^ND(m) < n^ND(n) ==> contradição.
Da mesma forma, eliminamos a hipótese de que x_i > y_i para algum i
(1<=i<=k).
Logo, só pode ser x_j = y_j para 1<=j<=k e, portanto, m = n.
Não tentei, mas imagino que o item (2) possa ser demonstrado de forma
análoga.
[]s,
Claudio.
On Wed, Aug 22, 2018 at 4:02 PM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote:
> Boa tarde!
>
> Anderson Torres,
>
> Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
>
> Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de
> divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que
> n é par.
> Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número de
> divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
> Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é
> ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
> pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
> ND+(m) par.
> Se di<raiz(m), existirá um dj >raiz(m) de modo que di.dj=m.
> Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
> todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
> m/dj, que não foi contato, absurdo,
> Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
> Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
> divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
> Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos,
> pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==>
> O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você.
> Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
>
> Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
> (-m)^(ND(m)/2).
> Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
>> <artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>> >
>> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
>> >
>> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m = n.
>> >
>> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de
>> n.
>> >
>> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se m
>> e n, são iguais.
>> >
>> > Artur Costa Steiner
>>
>> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
>> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
>>
>> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
>>
>> >
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>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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acredita-se estar livre de perigo.
