Tem razão. Na minha solução esse caso não está contado. Desculpe :) Abraços, Salhab
Il giorno mer 7 nov 2018 alle ore 16:58 Paulo Rodrigues <teor...@gmail.com> ha scritto: > Marcelo, quando quebramos um bloco de 8 em dois de 4, cada bloco não tem > letras repetidas, mas não obrigatoriamente tem todas as letras. Por exemplo, > > A B A C D C D B. > > Acho que com o seu raciocínio dá para obter uma desigualdade. > > Paulo Rodrigues > 85-9760-7812 > > > Em qua, 7 de nov de 2018 às 16:27, Marcelo Salhab Brogliato < > msbro...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Paulo, boa tarde. >> >> Pensei da seguinte forma: tentar uma recursão na quantidade de cada uma >> das letras. Assim, a quantidade de formas de montar um gabarito sem ter >> duas letras consecutivas iguais seria f(15). >> Como a propriedade de não ter letras iguais se aplica para qualquer >> subconjunto do gabarito, podemos quebrar em dois pedaços que nenhum dos >> pedaços terá letras iguais. Então, pensei no seguinte: >> >> f(1) é o número de formas de montar um gabarito escolhendo 1x cada uma >> das letras (A, B, C, D). Logo, f(1) = 4! >> Podemos formar f(2) juntando 2x f(1), mas só temos que evitar que última >> letra do primeiro f(1) seja diferente da primeira letra do segundo f(1). >> Por simetria, f(1) termina f(1)/4 vezes em cada letra. E também f(1) inicia >> f(1)/4 vezes em cada letra. >> Assim, separamos em 4 casos bem parecidos. No primeiro caso, temos f(1)/4 >> combinações que terminam com A, e vamos juntar com 3 * f(1)/4 combinações >> que não começam com A. Isso é: (f(1)/4) * (3*f(1)/4). Os outros 3 casos são >> iguais e só temos que somar tudo. Assim, fica: >> >> f(2) = 4 * (f(1)/4) * (3*f(1)/4) = 3/4 * f(1) * f(1) = 3/4 * 4! * 4! = 432 >> >> Com os mesmos argumentos, podemos generalizar: f(n+1) = 4 * (f(n)/4) * >> (3*f(1)/4) = 3/4*f(n)*f(1) >> >> f(2) = 3/4 * f(1) * f(1) = 432 >> f(3) = 3/4 * f(2) * f(1) = 3/4 * 3/4 * f(1) * f(1) * f(1) = (3/4)^2 * >> f(1)^3 >> f(4) = 3/4 * f(3) * f(1) = (3/4)^3 * f(1)^4 >> >> Generalizando, f(n) = (3/4)^(n-1) * f(1)^n = 4/3 [ 3/4 * f(1) ]^n >> >> Logo, f(15) = 4/3 * (3/4 * 4!)^15 = 4/3 * 18^15 >> >> Agora é só dividir pelo total, que o Claudio Buffara já calculou: >> 60!/(15!)^4. >> >> Assim, a probabilidade seria: 4/3 * 18^15 * (15!)^4 / 60! >> >> Fazendo no computador, fica 3.1611849689983148e-15. Ou eu errei feio, ou >> é bem improvável, hein? Hehe ;) >> >> Abraços, >> Salhab >> >> >> Il giorno mer 7 nov 2018 alle ore 15:28 Paulo Rodrigues < >> teor...@gmail.com> ha scritto: >> >>> Muito obrigado pelos avanços. >>> >>> Se der pra calcular o valor exato melhor, mas se desse pra estimar essa >>> probabilidade, eu ficaria satisfeito. Depois explico o contexto prático do >>> problema. >>> >>> >>> Paulo Rodrigues >>> >>> >>> >>> Em qua, 7 de nov de 2018 às 13:49, Bruno Visnadi < >>> brunovisnadida...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Uma maneira mais simples de colocar os As é imaginar que cada A é uma >>>> peça que ocupa 2 espaços, e adicionar um 61º espaço para que seja possível >>>> colocar um A na casa 60. >>>> Então há 15 As e sobram 61-30 = 31 espaços, e há C(46, 15) maneiras de >>>> colocar os As. >>>> >>>> Em qua, 7 de nov de 2018 às 12:13, Claudio Buffara < >>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>>> Fiz mais um pequeno progresso. >>>>> >>>>> Resolvi um sub-problema. >>>>> De quantas formas é possível colocar 15 As nas 60 posições de modo que >>>>> 2 As não ocupem posições adjacentes. >>>>> >>>>> Há 4 casos (exaustivos e mutuamente exclusivos) a considerar: >>>>> 1) A primeira e a última posição são ocupadas por As: >>>>> Nesse caso, uma vez colocados todos os As, sobrarão, entre eles, 14 >>>>> "espaços" com comprimentos variados. >>>>> Chamando de x(k) o comprimento do k-ésimo espaço, teremos as condições: >>>>> x(k) >= 1, para 1 <= k <= 14. >>>>> e >>>>> x(1) + x(2) + ... + x(14) = 45 (*) >>>>> Logo, o número de maneiras de colocar os As neste caso é igual ao >>>>> número de soluções inteiras positivas de (*): C(44,13) >>>>> >>>>> 2) Um A ocupa a primeira posição mas a última posição está vazia. >>>>> A equação, neste caso, é: >>>>> x(1) + x(2) + ... + x(15) = 45 com todos os x(k) >= 1 ==> C(44,14). >>>>> >>>>> 3) Um A ocupa a última posição mas a primeira está vazia: >>>>> Por simetria, C(44,14) >>>>> >>>>> 4) A primeira e a última posições estão vazias: >>>>> A equação é x(1) + ... + x(16) = 45 (x(k) >= 1) ==> C(44,15). >>>>> >>>>> Logo, o número de maneiras de colocar 15 As em 60 posições de modo que >>>>> não fiquem dois As adjacentes é igual a: >>>>> C(44,13) + 2*C(44,14) + C(44,15) >>>>> >>>>> Infelizmente, isso abre um monte de sub-casos chatos pra colocação dos >>>>> Bs, de modo que não sei se é um caminho promissor. Provavelmente não. >>>>> >>>>> []s, >>>>> Claudio. >>>>> >>>>> >>>>> On Tue, Nov 6, 2018 at 4:01 PM Claudio Buffara < >>>>> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >>>>> >>>>>> O número de casos possíveis é C(60,15)*C(45,15)*C(30,15)*C(15,15) = >>>>>> 60!/(15!)^4 >>>>>> (das 60 posições da sequencia, escolhe 15 para colocar os As; das 45 >>>>>> restantes, escolhe mais 15 pra colocar os Bs; etc...) >>>>>> >>>>>> O número de casos favoráveis é mais chatinho. >>>>>> Eu sugiro olhar prum caso menor pra ver se aparece algum padrão. >>>>>> Por exemplo, 8 questões, com 2 respostas A, 2 B, 2 C e 2 D. >>>>>> Esse sai por inclusão-exclusão, mas com uma expressão meio feia e que >>>>>> não me parece o melhor caminho pro caso do problema. >>>>>> Talvez dê pra achar alguma recorrência ou função geradora. >>>>>> >>>>>> []s, >>>>>> Claudio. >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> On Tue, Nov 6, 2018 at 1:04 PM Paulo Rodrigues <teor...@gmail.com> >>>>>> wrote: >>>>>> >>>>>>> Pessoal, alguém pode dar uma mão na seguinte situação: >>>>>>> >>>>>>> Um gabarito é formado por uma sequência de 60 letras A, B, C e D >>>>>>> sendo 15 de cada tipo. >>>>>>> Qual a probabilidade de não existirem duas letras iguais vizinhas? >>>>>>> >>>>>>> Paulo Rodrigues >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
