Provar que não tem *mais* do que n raízes é elementar. Lema: Se P(x) é um polinômio de grau N, e 'a' é uma raíz de P(x), então P(x) = (x-a)*Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau N-1. Demonstração: Monte um sistema linear (N+1)xN para descobrir quais devem ser os coeficientes do polinômio Q em função de 'a' e dos coeficientes de P. Você vai descobrir que: q_{N-1} = p_N q_{N-2} = p_{N-1} + a*p_N ... q_0 = p_1 + a*p_2 + ... + a^{N-1}*p_N -a*q_0 = p_0 Usando o fato de que P(a)=0, ou seja, p_0 + a*p_1 + ... + a^N*p_N = 0, você vai descobrir que esse sistema tem exatamente 1 solução. Mais do que isso: observando bem, você repara que o coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao coeficiente do termo de maior grau de P.
Imagine agora que o polinômio P(x) de grau N tem N raízes distintas a_1, ..., a_N. Bom, então, para começar: P(x) = (x - a_1)*Q(x). Como a_2 também é raíz de P: 0 = P(a_2) = (a_2 - a_1)*Q(a_2) Como (a_2 - a_1) é diferente de zero (as raízes são distintas), segue que Q(a_2), ou seja, a_2 é raíz de Q(x), e portanto Q(x) pode ser fatorado em (x-a_2) vezes um polinômio R(x) de grau N-2, e portanto: P(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * R(x) Seguindo com esse raciocínio até o final, escrevemos: P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * A onde A, uma constante, é o polinômio de grau zero que sobrou. Como o coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao de P, e o de R é igual ao de Q, então o de R é igual ao de P. Continuando, descobrimos que a constante A é simplesmente o coeficiente do termo de maior grau do polinômio original P. Conclusão: se o polinômio P(x) = p_N*x^N + ... + p_1*x + p_0, tem N raízes distintas: a_1, ..., a_N, então ele pode ser fatorado da seguinte forma: P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * p_N. Bom, dado qualquer 'x' que não seja nenhuma das raízes a_1, ..., a_N, os fatores (x - a_j) serão todos não-nulos, e portanto P(x) será não-nulo, ou seja, 'x' não será uma raíz de P. Ou seja, se você encontrar N raízes distintas para um polinômio de grau N, essas raízes são as únicas. Le ven. 25 oct. 2019 à 20:55, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> a écrit : > > Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo > polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais? > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > > <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> > Livre > de vírus. www.avg.com > <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>. > <#m_8824745352040677824_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.