Oi, Vanderlei. Para facilitar a notação, eu serei Zé Roberto. :D
Intuitivamente: como você desconfiou, p não pode ser isso tudo. Para eu ganhar, tenho que rolar um 6, **ou** rolar outra coisa e "praticamente" começar o jogo de novo. Isto daria a estimativa: p = 1/6 + 5/6 . 1/2 = 7/12 Mas esta estimativa está errada pois, o jogo "recomeçaria" a partir de 1, 2, 3, 4 ou 5, dando uma pequena vantagem para Umberto! Ou seja, sem fazer muita conta afirmo que: p = 1/6 + 5/6 . Prob(Eu ganhar a partir de um 1,2,3,4,5 simples) < 1/6 + 5/12 = 7/12. ---///--- Se entendi o que você pensou: para Umberto ganhar, temos que NÃO ROLAR 6 agora (prob=5/6), **e** depois "começar o jogo do zero" (prob=3/6). Então Umberto ganharia com probabilidade q=5/6.3/6=5/12 (acho que você devia usar 5/6; e não entendi o p extra). Era isso? Mas mesmo assim não funciona, pelo mesmo motivo da minha estimativa do p estar furada: não rolando 6, o jogo não "começaria do zero"; Umberto teria uma pequena vantagem (pois rolamos 1, 3 ou 5 com mais chance do que 2 ou 4). Em suma, o que conseguimos concluir daqui eh que q > 5/12, ou seja p<7/12, que nem acima! ---///--- Vamos calcular p, definido como" p = probabilidade de eu vencer sendo que os dois últimos números foram iguais e pares E vamos inventar: b = probabilidade de eu vencer sendo que o último número foi par, mas o penúltimo foi diferente do último. Agora, na situação do problema (terminando em x-6-6, com x<>6), a partir daqui temos duas possibilidades: -- Se o próximo número for 6 (prob = 1/6), ganhei. -- Se o próximo número for 2 ou 4 (prob = 2/6), passamos para uma nova situação onde eu tenho probabilidade b de vencer. -- Se o próximo número for 1, 3 ou 5 (prob=3/6), passamos para uma nova situação onde eu tenho probabilidade 1-b de vencer. Assim, p = 1/6 + (2/6)b + (3/6)(1-b) = 2/3 - b/6. Por outro lado, a partir de uma situação do tipo "b" -- (digamos, para fixar ideias, sequência terminando em ....-2-4), temos as seguintes possibilidades: -- Se o próximo número for 4 (prob = 1/6), passo a ter probabilidade p de ganhar; -- Se for 2 ou 6 (prob = 2/6), passo a ter probabilidade b de ganhar. -- Se for 1, 3 ou 5 (prob = 3/6), passo a ter probabilidade 1-b de ganhar. Assim, b = (1/6)p + 2/6b + 3/6(1-b), ou seja, p=7b+3. Juntando as duas coisas, achei p=25/43.... Hein, sério?? ---///--- Vamos resolver de outro jeito mais "adulto", para ver o PODER DAS MATRIZES... :D :D: Depois de alguns lançamentos, o jogo tem 6 estados possíveis dependendo apenas dos 3 últimos lançamentos: E1: ...y-y-y com y par (eu ganhei! pare o jogo!) E2: ...x-y-y com x<>y e y par (estou quase ganhando!) E3: ...x-y com x<>y e y par (tenho pequena vantagem) E4: ...x-y com x<>y e y ímpar (tenho pequena desvantagem) E5: ...x-y-y com x<>y e y í mpar (estou quase perdendo!) E6: ...y-y-y com y ímpar (perdi! vire a mesa!) A matriz M de transição entre esses estados: 1 1/6 0 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 2/6 2/6 3/6 3/6 0 0 3/6 3/6 2/6 2/6 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 0 1/6 1 Pois bem, M^k.v (onde v=e_2=[0; 1; 0; 0; 0; 0]) seria a distribuição de probabilidade dos estados, começando de e_2 (situação do problema), daqui a k jogadas. Ou seja, a gente quer determinar p onde lim(k->Inf) M^k.v = [p; 0; 0; 0; 0; 1-p]. Diagonalizei M usando o computador (que não liga para a elegância das simetrias.... :( ), deu M = PDP^(-1) onde P=[1 1 1 1 1 0 0 (1/(√5-3))(√5+3) (3/2)√5-(7/2) -(1/2)i√3-((13)/2) (1/2)i√3-((13)/2) 0 0 -2((√5)/(√5-3)) (5/2)-(3/2)√5 (7/2)i√3+(5/2) (5/2)-(7/2)i√3 0 0 -2((√5)/(√5-3)) (5/2)-(3/2)√5 -(7/2)i√3-(5/2) (7/2)i√3-(5/2) 0 0 (1/(√5-3))(√5+3) (3/2)√5-(7/2) (1/2)i√3+((13)/2) ((13)/2)-(1/2)i√3 0 -1 1 1 -1 -1 1] D = diag(1; 5/12- √5 /4; 5/12 +√5 /4; (-i√3-1)/12; (i√3-1)/12; 1] Q=P^(-1)= [1 ((25)/(43)) ((22)/(43)) ((21)/(43)) ((18)/(43)) 0 0 (1/(12))√5-(1/4) (7/(60))√5-(1/4) (7/(60))√5-(1/4) (1/(12))√5-(1/4) 0 0 -(1/(12))√5-(1/4) -(7/(60))√5-(1/4) -(7/(60))√5-(1/4) -(1/(12))√5-(1/4) 0 0 -(5/(516))i√3-(7/(172)) -((13)/(516))i√3-(1/(172)) ((13)/(516))i√3+(1/(172)) (5/(516))i√3+(7/(172)) 0 0 (5/(516))i√3-(7/(172)) ((13)/(516))i√3-(1/(172)) (1/(172))-((13)/(516))i√3 (7/(172))-(5/(516))i√3 0 1 1 1 1 1 1] Mas não olhe para tudo isso! Veja bem, M^k.v = P D^k P^(-1) e_2 = P D^k Q_2, onde Q_2 eh a segunda coluna de Q. Mas D^k vai para diag(1, 0, 0, 0, 0, 1) quando k->Inf, portanto ligamos apenas para Q(1,2)=25/43 e Q(1,6)=1. Queremos apenas a primeira coordenada de P . [25/43; 0; 0; 0; 0; 1], ou seja, p = 25/43 P(1,1) + 1 P(6,1) = 25/43. Ou seja: sério!! :D Abraco, Ralph. On Sat, Jul 25, 2020 at 2:03 PM Professor Vanderlei Nemitz < [email protected]> wrote: > Então meu raciocínio foi muito errado, pois pensei assim: > Seja p a probabilidade de Zé Roberto vender. Podemos considerar que o jogo > "começa" com Zé Roberto precisando obter um 6 para vencer. > Assim, a probabilidade de Humberto vencer é: > q = (3/6).(1/6).p, ou seja, p = 12q > Assim, p = 12/13 e q = 1/13 > > Prezado Cláudio, você pode explicar sua resolução? > > Muito obrigado! > > > > > > > Em sáb., 25 de jul. de 2020 às 13:43, Claudio Buffara < > [email protected]> escreveu: > >> Eu achei 5/7. >> >> On Sat, Jul 25, 2020 at 7:28 AM Professor Vanderlei Nemitz < >> [email protected]> wrote: >> >>> Bom dia! >>> O problema a seguir encontra-se em uma prova de desafios da PUC-RJ, >>> muito boas!!! >>> Acho que são organizadas pelo professor Nicolau Saldanha. >>> Encontrei uma resposta bem alta, mais de 90%. Será que está correto? >>> Muito obrigado! >>> >>> Zé Roberto e Umberto gostam de jogar par ou ímpar; Zé Roberto sempre >>> pede par e Umberto sempre pede íımpar. Eles gostam de inventar novas >>> maneiras de jogar. A última maneira que eles inventaram usa um dado comum, >>> com seis faces numeradas de 1 a 6. Eles jogam o dado várias vezes até que >>> um número saia três vezes seguidas; Zé Roberto ganha se este número for >>> par, Umberto ganha se for ímpar. Sábado de manhã o dado teve os resultados: >>> 5, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 4 e neste ponto Zé >>> Roberto se declarou vitorioso. Sábado de tarde o dado teve os resultados: >>> 6, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 6; neste momento o jogo foi interrompido pela queda de >>> um meteorito. Quando a situação se acalmou, eles concordaram em continuar >>> do ponto em que estavam. Qual é a probabilidade de que Zé Roberto seja o >>> vencedor? >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
