Por outro lado existem funções (necessariamente descontínuas) de R em R que
satisfazem essa equação funcional. Vou tentar
descrever uma delas.
Seja a=LambertW(1)~0,5671432904... a solução real de e^(-x)=x, como o Ralph
mencionou. Vou escrever g(x)=e^(-x).
Queremos f(f(x))=g(x). Vamos definir recursivamente g^n(x) por g^0(x)=x,
g^(n+1)(x)=g(g^n(x)). Vou usar o seguinte fato,
que deixo como exercício: para todo y real diferente de a existe um único x
em (-infinito,0] e um único n natural tais que y=g^n(x).
Definimos f(x) para x em (-infinito,-1] como f(x)=-(x+1)/x (assim f leva
(-infinito,-1] em (-1,0]), e definimos f em (-1,0] para
termos f(f(x))=g(x) se x está em (-infinito,-1], ou seja, f(y)=e^(1/(y+1))
para y em (-1,0]. A partir daí, se y=g^n(x) com n
natural e x em (-infinito,0], definimos f(y)=g^n(f(x)).Finalmente definimos
f(a)=a.
Abraços,
Gugu
On Sat, Sep 23, 2023 at 9:32 PM Ralph Costa Teixeira <ralp...@gmail.com>
wrote:
> P.S.: Existe um argumento simples para mostrar que NÃO existe *f:R->R*
> *contínua* com f(f(x))=g(x) que serve para qualquer g estritamente
> decrescente (como esta g(x)=e^(-x)). Funciona assim:
>
> i) f teria que ser bijetiva. Afinal, f(a)=f(b) implica f(f(a))=f(f(b)) e,
> daqui (g bijetiva) vem a=b.
> ii) Mas f bijetiva continua em R implica f (estritamente) monótona!
> iiia) se f (estritamente) crescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
> crescente;
> iiib) se f (estritamente) decrescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
> crescente de novo!
>
> Ralph.
>
> On Sat, Sep 23, 2023 at 9:03 PM Ralph Costa Teixeira <ralp...@gmail.com>
> wrote:
>
>> Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a
>> onde a=LambertW(1)~0,56714... (a raiz de e^(-x)=x). ;D ;D ;D
>>
>> Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela
>> ser contínua, pelo menos?
>>
>>
>> On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com> wrote:
>>
>>> Saudações,
>>>
>>> Existe tal f? Se sim, qual seria?
>>>
>>> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail,
>>> tal f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube.
>>>
>>> LuÃs
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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