Re: O Jogo Vida
Ola Bernardo e
demais colegas da Lista,
Saudacoes Cordiais a Todos !
Muito boa a sua replica ! Se voce nao sabe, o espirito solidario e
cooperativo e a producao de Open Software e uma atitude tipicamente Hacker
... Sim, HACKER ! Dennis Rithie ( Criador do Unix e da Linguagem C ), Bjarne
Stroustrup ( Criador do C++ ), Linus Trovalds ( Criador do Kernel do Linux )
e Tannenbaum ( Criador do Minix ) sao HACKER'S
David Mitinick e todos estes simplorios que destroem sistemas ou pertubam a
harmonia das coisas sao CRACKER'S. A midia - que, em geral, nao busca a
verdade - e que confunde as coisas e divulga erros.
Voce claramente escreveu pensando em C, nao em C++ : fica portanto mais
dificil pensar nos objetos e metodos.E um fonte procedural. No seu programa
ve-se facilmente a preocupacao com a modularizacao e a identacao. Estas sao
atitudes de programacao positivas.
Em fidelidade ao espirito hacker vou colaborar contigo, tornando seu codigo
mais flexivel ...
Voce define : int Tabuleiro[10][10]. os 10's nao estao justificados. Logo,
sao aquilo que chamamos numeros magicos. Voce pode fazer :
///
// Atribua a L e C dois valores naturais quaisquer, maiores que um
///
#define NUM_DE_LIN L
#define NUM_DE_COL C
int Tabuleiro[NUM_DE_LIN-1][NUM_DE_COL-1];
Com isso voce da liberdade a quem for usar seu programa de escolher um
tabuleiro com as dimensoes que desejar (limitas pela resolucao do monitor de
video), numformato retangular qualquer.
Para que voce possa implentar quaisquer regras e nao so as de Conway, (uma
promessa que eu fiz) voce precisa separar alhos de bugalhos. A funcao
abaixo, recebe as coordenadas X e Y de uma casa do tabuleiro e devolve o
numero de casas vizinhas ocupadas :
int vizinhas_ocupadas(int X,int Y)
{
int lin,col;
int ocupadas=0;
for(lin=X-1;lin=X+1;lin++)
for(col=Y-1;col=Y+1;col++)
if((lin!=X || col!=Y))
if(lin=0 linNUM_DE_LIN col=0 colNUM_DE_COL)
ocupadas += Tabuleiro[lin][col];
return(ocupadas);
}
Agora, o valor retornado pela funcao acima pode ser passado para uma funcao
que ocupa ou desocupa as casas ao criterio do usuario do seu programa. Para
ver como fazer isso, previamente defina:
#define CVO_0 1
#define CVO_1 1
#define CVO_2 0
#define CVO_3 2
#define CVO_4 1
#define CVO_5 1
#define CVO_6 1
#define CVO_7 1
#define CVO_8 1
As constantes CVO_n significam Casas Vizinhas Ocupada e n. Assim, CVO_1
significa O QUE FAZER QUANDO O NUMERO DE CASAS VIZINHAS OCUPADAS POR 1(UM).
Se CVO_n for zero (#define CVO_n 0) significa que nada se fara a casa. Se
CVO_n for um (#define CVO_n 1) significa que a casa sera desocupada.
Finalmente, se CVO_n for dois (#define CVO_n 2) significa que a casa sera
ocupada.
Conforme voce pode verificar, as definicoes acima sao AS REGRAS DE CONWAY,
mas voce estara dando ao usuario a liberdade para que ele experiencie as
regras que desejar.
Bom, como implementar isso ?
Tendo recebido da funcao vizinhas_ocupadas o numero de casas vizinhas em
torna da casa de coordenadas X e Y que estao ocupadas, passamos as mesmas
coordenadas X,Y e o valor de retorno a funcao abaixo :
void aplica_regras(int ocupadas, int X, int Y)
{
switch(ocupadas)
{ case 0 : if(CVO_0)
Tabuleiro[X][Y]=CVO_0 - 1;
break;
case 1 : if(CVO_1)
Tabuleiro[X][Y]=CVO_1 - 1;
break;
case 2 : if(CVO_2)
Tabuleiro[X][Y]=CVO_2 - 1;
break;
case 3 : if(CVO_3)
Tabuleiro[X][Y]=CVO_3 - 1;
break;
case 4 : if(CVO_4)
Tabuleiro[X][Y]=CVO_4 - 1;
break;
case 5 : if(CVO_5)
Tabuleiro[X][Y]=CVO_5 - 1;
break;
case 6 : if(CVO_6)
Tabuleiro[X][Y]=CVO_6 - 1;
break;
case 7 : if(CVO_7)
Tabuleiro[X][Y]=CVO_7 - 1;
break;
case 8 : if(CVO_8)
Tabuleiro[X][Y]=CVO_8 - 1;
break;
};
}
Estou supondo que voce sabe que em C a avaliacao e semi-booleana ( 0=falso,
diferente de zero=verdadeiro) e que a variavel Tabuleiro e global. Bom, aqui
fica cumprido o que falei, qual seja, de que e possivel fazer um programa
que implementa QUAISQUER REGRAS e nao so as REGRAS DE CONWAY, bastando para
tanto modificar os valores das constantes CVO_n definidas no
pre-processamento.
Na proxima mensagem vou falar sobre um fenomeno interantissimo que observei
e que nao vi citado na literatura e que tem profundas implicacoes sobre o
jogo. E possivel implementa-lo sem maiores problemas.
Caro Bernardo, que tal um jogo tridimenssional ? imagine um cubo, divida
suas arestas em partes iguais. Selecione um cubinho dentro dele. Esse
cubinho esta em relacao com 6 outros cubos, pelas faces; com 12, pelas
arestas e com 8 pelos vertices. Seria uma versao tridimenssional do jogo de
Conway ! Como ficariam as regras ? E a exposicao ?
Um abraco a Todos,
Um abraco ao Bernardo
Paulo Santa Rita
7,1618,16062001
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O Verdadeiro Hacker
uma home page não chega nem perto de torná-lo um hacker. A Web está repleta de home pages. A maioria delas é inútil, porcaria sem conteúdo -- porcaria muito bem apresentada, note bem, mas porcaria mesmo assim (mais sobre esse assunto em The HTML Hell Page). (Inglês) Para valer a pena, sua página deve ter conteúdo -- deve ser interessante e/ou útil para outros hackers. E isso nos leva ao próximo assunto... :. Status na Cultura Hacker Como a maioria das culturas sem economia monetária, a do hacker se baseia em reputação. Você está tentando resolver problemas interessantes, mas quão interessantes eles são, e se suas soluções são realmente boas, é algo que somente seus iguais ou superiores tecnicamente são normalmente capazes de julgar. Conseqüentemente, quando você joga o jogo do hacker, você aprende a marcar pontos principalmente pelo que outros hackers pensam da sua habilidade (por isso você não é hacker até que outros hackers lhe chamem assim). Esse fato é obscurecido pela imagem solitária que se faz do trabalho do hacker; e também por um tabu hacker-cultural que é contra admitir que o ego ou a aprovação externa estão envolvidas na motivação de alguém. Especificamente, a cultura hacker é o que os antropologistas chamam de cultura de doação. Você ganha status e reputação não por dominar outras pessoas, nem por ser bonito, nem por ter coisas que as pessoas querem, mas sim por doar coisas. Especificamente, por doar seu tempo, sua criatividade, e os resultados de sua habilidade. Um abraco a todos Paulo Santa Rita 7,1644,16062001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: O Jogo Vida
Ola Bruno e
demais colegas da lista,
Saudacoes Cordiais !
Num programa bonito, cheio de floreios e bordados, as casas do jogos
seriam os pixeis graficos ou conjuntos convenientes deles ( pois um pixel
pode ser muito pequeno, quase invisivel ! )
Sejam (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn) as coordenadas dos pontos que definem o
estado inicial, vale dizer, as casas que o usuario quer que estejam ocupadas
num primeiro momento. Os numeros :
Xmim = MIN{x1,x2,...,xn}
Xmax = MAX{x1,x2,...,xn}
Ymin = MIN{y1,y2,...,yn}
Ymax = MAX{y1,y2,...,yn}
definem um retangulo de vertices
(Xmin-1,Ymin-1),(Xmax+1,Ymin-1),(Xmin-1,Ymax+1),(Xmax+1,Ymin-1) no interior
do qual as regras podem ser aplicadas. Como a maioria dos Monitores sao de
memoria mapeada, fica tudo mais facil assim.
Um abraco
Paulo Santa Rita
7,1700,16062001
From: Bruno Woltzenlogel Paleo [EMAIL PROTECTED]
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Subject: Re: O Jogo Vida
Date: Fri, 16 Jun 2000 16:24:20 -0300
Qual seria o jeito mais fácil de fazer um programa para jogar o vida num
plano infinito e não apenas num tabuleiro limitado?
Até mais...
Bruno Woltzenlogel Paleo
_
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Re: RES: Desafio: De Tabela p/ Função
Ola Bruno, Em verdade, sua questao tem inumeras resposta ... assim, voce nao deve procurar A FUNCAO : deve procurar UMA FUNCAO ! De forma generica, voce tem um conjunto de pares ordenados : (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),...,(xn,yn) E deseja encontrar uma funcao que passe por eles. Existe alguma forma direta de encontrar uma funcao? Sim, existe uma enormidade de formas. Vou mostra aqui uma delas: Tome a funcao : H(x)=y1 + K1*(x-x1) + K2*(x -x1)*(x -x2) + K3*(x - x1)*(x-x2)*(x -x3) + ... Kn-1*(x-x1)*(x-x2)*...*(x-xn-1) Veja que para x=x1 temos que H(x1)=Y1, como queremos. Para x=x2, fica : H(x2)=y1 + K1(x2 -x1) mas sabemos que deve ser : H(x2)=y2. Logo : y2=y1+K1(x2-x1) logo : K1=(y2 -y1)/(x2-x1) Se fossem dois pares paravamos aqui. Se forem tres pares, faca : H(x3)= y1 + k1*(x-x1) + k2(x -x1)(x-x2) ja conhecemos k1. Basta encontrar K2, substituindo x por x3 e fazendo H(x3)=y3. E assim sucessivamente para uma quantidade N de pares. Entendeu ? Assim voce nao fica limitado a advinhar a funcao. Um abraco Paulo Santa Rita 7,2230,16062001 From: Bruno Schroeder [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: Desafio: De Tabela p/ Função Date: Sat, 16 Jun 2001 19:15:41 -0700 Fala Fred (só te chamo assim pois estamos na obm) sua fórmula para y num funciona muito bem, cara veja: n= 1 y= 2 y deveria ser 1,5 ... ou n=5, y = 0 (deveria ser y = 0,5) tenta botar y= (5-n)/2 para n ímpar e y= (4-n)/2 para n par. Isso supondo que para n= 6 ou 7, y= -1; n= 8 ou 9, y = -2 , ... e que para n = -1 ou -2, y = 3 ... (vc disse que n é inteiro...) Acrodito que nào me espressei bem ... tudo pertençe aos inteiros, significa uma função Z-Z. A divisão também é definida como feita p/ números inteiros apenas, logo n=1, 1/2=0 com resto 1, sacou e o resto eu desprezo fico com zero! aó subtrai dois e faz o módulo. Portanto vale y=|(x/2)-2|. Quanto a x, talvez tenha alguma coisa a ver com sen(a.n.pi/b) + 4 como vc falou pois seno pode valer 1, 0 e -1 e a função 5, 4 e 3 , o problema é que no ciclo trigonométrico, entre os valores 1 e -1 do seno sempre tem um valor zero, enquanto na sua sequência, que repete dois a dois os valores para piorar, ele teria que valer 0, 1 , -1, 0, 1, -1, i.e., entre o valor +1 e o -1, falta sempre um valor zero... Essa eu nem tenho idéia. :) Exatamente, tem esse problema! Quando eu fiz n/3 eu estava tentando fazer uma contração horizontal ... vou dormir e amanhã penso sobre isso, talvez possa-se, por ser tudo definido nos inteiros acontecer o que queremos, que é dar uma alongada em pi/2 e 3pi/2, para que 1 e 2 e p/ que 3 e 4 tenham o mesmo valor pulando o que seria o pi = 4 no meio deles. Não sei o resultado de por um polinomio de grau maior que um dentro do seno mas intuo, não sei por que, que seja por aí quando vejo o gráfico. abraços, fred Abração, ainda esperando sulução, Bruno Schroeder [EMAIL PROTECTED] icq: 4785206 Criptografe seus e-mails: http://download.cryptoex.com/ Minha Chave Pública OpenPGP: http://www.keyserver.de:11371/pks/lookup?op=getsearch=0x7182FE62 - Original Message - From: Bruno Schroeder [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 16, 2001 5:17 AM Subject: Desafio: De Tabela p/ Função Amigos, Tenho uma tabela que queria transformar em duas funções, é um desafio interessante. n=0 x=4 y=2 n=1 x=5 y=2 n=2 x=5 y=1 n=3 x=3 y=1 n=4 x=3 y=0 n=5 x=4 y=0 Para y em função de n eu consegui: y=abs((n/2)-2) = |(n/2)-2| O domínio e a imagem são os Inteiros. Porém não consigo fazer x em função de n. Notem que p/ n=2 e n=3, os valores podem ser trocados sem alterar em nada a função, visto que em ambos os valores y=1. Para resolver eu tentei botar os pontos no plano cartesiano e buscar uma função que se aproxime, a que eu achei foi: x=sen(n/3)+4, domínio inteiros, porém acho que está errada. Alguém pode me ajudar a achar x(n), por favor? Amplexos, Bruno Schroeder [EMAIL PROTECTED] icq: 4785206 Criptografe seus e-mails: http://download.cryptoex.com/ Minha Chave Pública OpenPGP: http://www.keyserver.de:11371/pks/lookup?op=getsearch=0x7182FE62 BrunoSchroeder.vcf _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Algebra e Cálculo Tensoriais
Ola Bruno e Colegas da Lista, Saudacoes a Todos ! Para voce ter uma ideia legal de Calculo Tensorial ( que voce sem saber ja estuda ) voce precisa, previamente, saber alguma coisa de algebra e algebra linear. Eu comece a ver algebra em dois livros : Introducao a algebra Adilson Goncalves Colecao projeto Euclides - IMPA Topicos de Algebra I herstein Editora da USP Voce ja deve conhecer a parte elementar da algebra linear. Uma boa introducao e : Algebra Linear Kunze e Hoffman Uma introducao legal ao calculo tensorial e : Calculo Tensorial LPM Maia Com essas introducoes ( garanto, sao boas ! ) voce pode ler o livro de gravitacao do Weeler, muito bom. O calculo tensorial e bem apreciado na fisica porque, conforme voce deve saber, as leis da fisica sao invariantes em relacao a dois ( ou mais ) sistemas inerciais. E isto que justifica o uso de vetores ( que sao tensores ) na Fisica : e a maneira matematica de garantir esta invariancia das leis da fisica em relacao aos sistemas inerciais de observacao ! As coordenadas ( medidas das grandezas ) podem mudar, mas nao mudam as relacoes entre elas ( as leis ). E isso. Vou te dar uma sugestao : consiga ler o capitulo 3 ( fenomeno e representacao ) do livro : O Circulo do Tempo Mario Novello Editora Campus Se puder, leia o livro todo. Nao vai te exigir conhecimento previo algum e vai te clarificar para entender melhor o livro do Weeler sobre gravitacao que mencionei acima bem como te dar uma ideia legal dos usos da matematica na Fisica. E isso maluco ! Um grande abraco pra voce um abraco a todos Paulo Santa Rita 5,1518,14062001 From: Bruno Woltzenlogel Paleo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Algebra e Cálculo Tensoriais Date: Wed, 14 Jun 2000 13:13:37 -0300 Olá, Gostaria de receber sugestoes de livros sobre algebra tensorial e calculo tensorial. E também: Alguem poderia me explicar o que exatamente significa dizer que um escalar é invariante com relação a uma mudança de coordenadas? O que é essa invariancia? Poderia mostrar exemplos dessa invariancia? Até mais... Bruno Woltzenlogel Paleo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: O Jogo Vida
Ola Hugo, Neste ultimo domingo eu fiz uma versao ( em C ) bem simples deste jogo, mas que permite aplicar QUAISQUER REGRAS ( de um certo tipo ) e nao so as de Conway. Falta compilar e tirar algum bug que possa existir. Vou divulgar os fontes aqui na lista. Pensando sobre o jogo, descobri tambem um fato interessante que vou falar. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1701,04062001 From: [EMAIL PROTECTED] (Hugo Iver Vasconcelos Goncalves) Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: O Jogo Vida Date: Mon, 4 Jun 2001 16:30:20 -0300 Estou meio atrasado no papo mas aí vai uma dica: assistam ao filme O 13º Andar, pelo q entendi da conversa acho q esse filme, apesar de superficial, tem um pouco a ver com esse jogo... -Mensagem Original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 30 de Maio de 2001 15:19 Assunto: O Jogo Vida Ola Pessoal, O Jogo Vida e tambem conhecido por Jogo de Conway, pois foi este Matematico que divulgou o jogo, descoberto originalmente por Stanislaw Ulam e John Von Newman, em Los Alamos. Muito provavelmente o Jogo tem esse nome inusitado porque ele foi a motivacao original para os estudos em Vida Artificial. O jogo e assim : 1) Voce coloca num tabuleiro de xadrex quantas pedras quiser nas posicoes que quiser. 2) Estabelece um conjunto de regras de iteracoes 3) Repete indefinidamente as regras e verifica o que acontece. Conway estabeleceu inicialmente as seguintes regras : 1) Se das casas vizinhas de uma casa exatamente 3 estiverem ocupadas por pedras, a casa deve ser ocupada, isto e : se ele estiver desocupada, deve ser ocupada por uma pedra; se estiver ocupada, deixa-se ela como esta. 2) Se das casas vizinhas de uma casa exatamente 2 estiverem ocupadas por pedras, deixa-se a casa como esta, isto e: se ela estiver desocupada, fica desocupada; se estiver ocupada, fica ocupada. 3) Em qualquer outro caso, a casa deve ser desocupada. Apos escolhermos a configuracao inicial que desejarmos, isto e, apos colocarmos quantas pedras quisermos nas posicoes que quisermos, aplicamos as regras : surgira dai uma nova configuracao. Aplicamos as regras pela segunda vez : surgira uma nova configuracao. E assim sucessivamente. O interessante do jogo e que nao obstante a rigidez e simplicidade das regras, as figuras que surgem surpreendentes ... Existe uma estrutura disposicao de pedras no tabuleiro ) que permanece invariante em sua forma, independente de quantas iteracoes efetuarmos. Esta estrutura e chamada Asa delta. Existem os Construtores, em cujas colisoes sao geradas asas deltas invariantes etc, etc E interessante perceber que o tabuleiro tem casas de canto, com tres casas vizinhas; casas laterais, com 5 casas vizinhas e casas de centro, com 8 casas vizinhas. O Jogo vida e interessante porque e uma palida simulacao de nosso universo, pelo ponto de vista mecanico ... de fato : supondo fixas as leis naturais, podemos imaginar que elas forjariam um contexto no qual surgiria a Vida ? O jogo de Conawy SUGERE que sim ... Conway e Von Newman (Hoje Conway e titular da catedra Von Newman, em Princeton )mostraram que, atendidas algumas condicoes iniciais, o jogo vida pode CRIAR ESTRUTURAS ESTAVEIS COM PODER DE REPRODUCAO !!! Assim, atendidas determinadas condicoes, leis naturais fixas ( as regras de Conway ) nao sao obstaculos ao aparecimento da riqueza e plasticidade daquilo que chamamos Vida ! Indiretamente estes resultados reforcaram a Tese de Oparin. Este jogo ja foi discutido aqui na Lista, pelo Prof Nicolau. Todavia, desde a epoca de sua prelecao ate hoje, muitas outras pessoas se cadastraram, podendo portanto nao estarem a par deste empolgante tema : eis a razao de eu estar falando isso agora ! Eu faco uma proposta. Considerando que : 1) Muitas pessoas aqui sabem programar computadores. 2) Fazer um programa do jogo vida, na forma simples e original como Conway o abordou, e facil. 3) Podemos imaginar o tabuleiro de xadrex como uma matriz 8 por 8 4) Uma casa desocupada pode ser representada por zero. A ocupada, por um. 5) numeramos as linhas de cima para baixo, de zero ate sete. As colunas, da esquerda para a direita, tambem de zero ate sete. 6) Pascal todo mundo sabe, pois estuda-se em todas faculdades. A linguagem C e um Pascal melhorado. Vamos fazer em C o jogo vida ? A estruturacao do Programa e Simples : 1) Modulo de entrada de dados : recebe ate 64 pares ordenados. Cada par ordenado informado indica que a matriz 8 por 8 deve receber um 1 naquela posicao. Exemplo : 0,0 1,1 3,4 7,7 8,8 (posicao que nao existe e que indica que queremos parar de entra com pares ordenados ) a matriz TABULEIRO[7][7] SERA ZERADA EM TODAS AS SUAS POSICOES EXCETO EM TABULEIRO[1][1], TABULEIRO[3][4] E TABULEIRO[7][7]. Nestas posicoes recebera um
Re: Olimpíada Brasileira (retificacao)
Ola Favors, Quem falou que qualquer aluno de 6 e 7 serie poderia resolver foi eu. Se interpretou isso como humilhacao, esta enganado. Eu venho de origens muito humildes e sei bem o significado destas coisas, de forma que JAMAIS faria ou farei isso com qualquer pessoa e, particularmente, com os colegas desta lista, que, A TODOS, prezo muito. Mas as palavras sao pobres e muitas vezes mascaram o significado daquilo que queremos transmitir. Ai surgem as mas interpretacoes, como a sua. Eu fui ma interpretado, por voce ! Independe disso, fiz uma contribuicao, esclarecendo como se pode resolver a questao com minimos conhecimentos. Voce pode mostrar uma maneira mais simples de resolve-la ? Nao sei em que ano se ensina as eq. do 2 grau. Mas sei que e antes do 2 grau, possivelmente na 6 ou 7 series. Os alunos desta lista estudam mais que o habitual ( e trivial ) ensinado nas escolas, de forma que a maioria sabe, bem antes da escola ensinar estas coisas. A minha ideia era justamente estimular estes alunos a investirem na questao, fazendo-os verem que com fe em si proprios e a devida dedicacao, todos os obstaculos podem ser vencidos. E isso : Nao o que ja esta criado e que se estancou, mas sim o que se cria e se transforma, possui vida e existe realmente ! Goeth Um abraco Paulo Santa Rita 5,0825,31052001 From: flavors9 [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Olimpíada Brasileira (retificacao) Date: Wed, 30 May 2001 18:04:11 -0300 Caros colegas. Eu como amante da matemática, faço parte da lista, mas por falta de tempo, não me dedico o suficiente. Estando então um pouco desatualizado, gostaria de perguntar aos participantes o seguinte: 1) Por que não procuramos um meio de socializar nossa matemática? 2) Por que afrontamos os menos treinados com declarações tipo podendo qualquer aluno de 6 ou 7 serie resolve-la? 3) Qual é o colégio no Brasil que ensina resolução de equações do segundo grau com artifícios e macetes na sexta ou sétima série? Desculpem-me, mas humilhação não é uma coisa importante! Cleber _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Olimpíada Brasileira
Ola Fabio Arruda, Ola Colegas da Lista, Cordiais Saudacoes a Todos ! A questao que eu propus - retirada das olimpiadas russas - foi : Mostre que a equacao x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz tem infinitas solucoes (x,y,z) formadas somente por numeros inteiros. Eu nao disse que ela SOMENTE TEM SOLUCOES INTEIRAS, EM NUMERO INFINITO. E uma questao que me pareceu interessante porque nao exige nenhum conhecimento sofisticado algum, podendo qualquer aluno de 6 ou 7 serie resolve-la. Para ajudar, dou a sugestao : 1) Coloque a equacao como x^2 - 2yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e uma equacao do 2 grau em x. 2) Encontre uma solucao para a equacao do 2 em x acima ( ex: (1,1,1)) 3) Mostre que esse fato implica na existencia de uma outra raiz inteira para a equacao 4) Encontre essa outra raiz. Isto fornece uma segunta solucao 5) Verifique que q equacao e simetrica nas 3 variaveis. Muodifique as variaveis. 6) O processo acima pode ser repetido infinitamente ... Voce(s) depois pode(m) querer estudar (como eu fiz ) a equacao : x^2 + y^2 + z^2 = Kxyz. 1) Existem infinitos K para os quais a equacao correspondente tem infinitas solucoes inteiras ? 2) Se sim a pergunta 1), e possivel caracterizar estes K ? Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1108,30052001 Em tempo : Alguem conhece a demonstracao de Euler de que 26 e o unico numero natural que esta entre um quadrado perfeito e um cubo perfeito ? From: Fábio Arruda de Lima [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Olimpíada Brasileira Date: Tue, 29 May 2001 20:55:03 -0300 Galera estava viajando e cuidando do dinheiro de vocês. Vou começar pelas extremidades. Lembro-me da última questão deixada pelo Paulo Santa Rita. Prove que x^2+y^2+z^2=3*x*y*z possui apenas solução inteira e são infinitas. Antes de entrar no mérito da questão, gostaria de comentar um assunto recente desta lista, referente ao conteúdo programático da OMB. Parece-me que as Olimpíadas dos outros regioes: URSS, USA, Hungria, Asiática,...exigem muito mais conhecimento matemático que a nossa. Vejo que a OBM, na forma como está, mede apenas criatividade (que é uma inspiração de momento). Entendo que se exige pouco conhecimento matemático na OBM. Acho também que ela privilegia o aluno mais treinado, justamente porque os assuntos não são ensinados no segundo grau. Resolver problemas de matemática está intimamente relacionado a qual o tamanho da caixa de ferramentas (conjunto de técnicas) que cada um possui, o resto é inspiração. A conjugação de técnicas permite resolver a grande maioria dos problemas. Acho que poderíamos fazer um mesclado entre as duas coisas: conhecimento e criativadade. Voltando a questao. Usaremos uma técnica muito conhecida na Informática:dividir para conquistar. Assim, vamos separar o conjunto dos inteiros em positivos e negativos. Em seguida, tomamos apenas a parte positiva, a qual pode ser dividida em pares e impares. Assim, nós dividimos o nosso raio de ação, atuando apenas em pequenas partes do conjunto total (inteiros). Agora, veremos o comportamento da soma dentro do próprio conjunto: Com dois números: par+par=par impar+impar=par par+impar=impar+par=impar Com três números: par+par+par=par par+impar+par=impar impar+impar+par=par impar+impar+impar=impar Assim, podemos testar as variáveis x,y e z, em termos de pares e impares e continuar a solução. Tentem é um bom exercício... Obrigado pela atenção Fábio Arruda _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Olimpíada Brasileira (retificacao)
Ola Pessoal, Escrever com pressa sempre nos leva a cometer erros. Retificando o item de numero 1) : 1) Coloque a equacao na forma x^2 - 3yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e uma equacao do 2 grau em x. Como (1,1,1) e solucao, supondo y e z constantes, entao : x^2 - 3x + 2 = 0 tera a solucao x=1. Isto implica a solucao x=2, ou seja, o trio (2,1,1) tambem e solucao da equacao original em tres variaveis. Como a equacao e simetrica, (1,2,1) e (1,1,2) tambem sao solucoes. Fixando qualquer uma delas e olhando para equacao original em tres variaveis como uma equacao do 2 grau em y ou z surgira um outro trio, por simetria saira um outro, por simetria um outro, por simetria um outro e assim vai ... From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Olimpíada Brasileira Date: Wed, 30 May 2001 14:10:32 Ola Fabio Arruda, Ola Colegas da Lista, Cordiais Saudacoes a Todos ! A questao que eu propus - retirada das olimpiadas russas - foi : Mostre que a equacao x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz tem infinitas solucoes (x,y,z) formadas somente por numeros inteiros. Eu nao disse que ela SOMENTE TEM SOLUCOES INTEIRAS, EM NUMERO INFINITO. E uma questao que me pareceu interessante porque nao exige nenhum conhecimento sofisticado algum, podendo qualquer aluno de 6 ou 7 serie resolve-la. Para ajudar, dou a sugestao : 1) Coloque a equacao como x^2 - 2yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e uma equacao do 2 grau em x. 2) Encontre uma solucao para a equacao do 2 em x acima ( ex: (1,1,1)) 3) Mostre que esse fato implica na existencia de uma outra raiz inteira para a equacao 4) Encontre essa outra raiz. Isto fornece uma segunta solucao 5) Verifique que q equacao e simetrica nas 3 variaveis. Muodifique as variaveis. 6) O processo acima pode ser repetido infinitamente ... Voce(s) depois pode(m) querer estudar (como eu fiz ) a equacao : x^2 + y^2 + z^2 = Kxyz. 1) Existem infinitos K para os quais a equacao correspondente tem infinitas solucoes inteiras ? 2) Se sim a pergunta 1), e possivel caracterizar estes K ? Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1108,30052001 Em tempo : Alguem conhece a demonstracao de Euler de que 26 e o unico numero natural que esta entre um quadrado perfeito e um cubo perfeito ? From: Fábio Arruda de Lima [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Olimpíada Brasileira Date: Tue, 29 May 2001 20:55:03 -0300 Galera estava viajando e cuidando do dinheiro de vocês. Vou começar pelas extremidades. Lembro-me da última questão deixada pelo Paulo Santa Rita. Prove que x^2+y^2+z^2=3*x*y*z possui apenas solução inteira e são infinitas. Antes de entrar no mérito da questão, gostaria de comentar um assunto recente desta lista, referente ao conteúdo programático da OMB. Parece-me que as Olimpíadas dos outros regioes: URSS, USA, Hungria, Asiática,...exigem muito mais conhecimento matemático que a nossa. Vejo que a OBM, na forma como está, mede apenas criatividade (que é uma inspiração de momento). Entendo que se exige pouco conhecimento matemático na OBM. Acho também que ela privilegia o aluno mais treinado, justamente porque os assuntos não são ensinados no segundo grau. Resolver problemas de matemática está intimamente relacionado a qual o tamanho da caixa de ferramentas (conjunto de técnicas) que cada um possui, o resto é inspiração. A conjugação de técnicas permite resolver a grande maioria dos problemas. Acho que poderíamos fazer um mesclado entre as duas coisas: conhecimento e criativadade. Voltando a questao. Usaremos uma técnica muito conhecida na Informática:dividir para conquistar. Assim, vamos separar o conjunto dos inteiros em positivos e negativos. Em seguida, tomamos apenas a parte positiva, a qual pode ser dividida em pares e impares. Assim, nós dividimos o nosso raio de ação, atuando apenas em pequenas partes do conjunto total (inteiros). Agora, veremos o comportamento da soma dentro do próprio conjunto: Com dois números: par+par=par impar+impar=par par+impar=impar+par=impar Com três números: par+par+par=par par+impar+par=impar impar+impar+par=par impar+impar+impar=impar Assim, podemos testar as variáveis x,y e z, em termos de pares e impares e continuar a solução. Tentem é um bom exercício... Obrigado pela atenção Fábio Arruda _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
O Jogo Vida
Ola Pessoal, O Jogo Vida e tambem conhecido por Jogo de Conway, pois foi este Matematico que divulgou o jogo, descoberto originalmente por Stanislaw Ulam e John Von Newman, em Los Alamos. Muito provavelmente o Jogo tem esse nome inusitado porque ele foi a motivacao original para os estudos em Vida Artificial. O jogo e assim : 1) Voce coloca num tabuleiro de xadrex quantas pedras quiser nas posicoes que quiser. 2) Estabelece um conjunto de regras de iteracoes 3) Repete indefinidamente as regras e verifica o que acontece. Conway estabeleceu inicialmente as seguintes regras : 1) Se das casas vizinhas de uma casa exatamente 3 estiverem ocupadas por pedras, a casa deve ser ocupada, isto e : se ele estiver desocupada, deve ser ocupada por uma pedra; se estiver ocupada, deixa-se ela como esta. 2) Se das casas vizinhas de uma casa exatamente 2 estiverem ocupadas por pedras, deixa-se a casa como esta, isto e: se ela estiver desocupada, fica desocupada; se estiver ocupada, fica ocupada. 3) Em qualquer outro caso, a casa deve ser desocupada. Apos escolhermos a configuracao inicial que desejarmos, isto e, apos colocarmos quantas pedras quisermos nas posicoes que quisermos, aplicamos as regras : surgira dai uma nova configuracao. Aplicamos as regras pela segunda vez : surgira uma nova configuracao. E assim sucessivamente. O interessante do jogo e que nao obstante a rigidez e simplicidade das regras, as figuras que surgem surpreendentes ... Existe uma estrutura ( disposicao de pedras no tabuleiro ) que permanece invariante em sua forma, independente de quantas iteracoes efetuarmos. Esta estrutura e chamada Asa delta. Existem os Construtores, em cujas colisoes sao geradas asas deltas invariantes etc, etc E interessante perceber que o tabuleiro tem casas de canto, com tres casas vizinhas; casas laterais, com 5 casas vizinhas e casas de centro, com 8 casas vizinhas. O Jogo vida e interessante porque e uma palida simulacao de nosso universo, pelo ponto de vista mecanico ... de fato : supondo fixas as leis naturais, podemos imaginar que elas forjariam um contexto no qual surgiria a Vida ? O jogo de Conawy SUGERE que sim ... Conway e Von Newman (Hoje Conway e titular da catedra Von Newman, em Princeton )mostraram que, atendidas algumas condicoes iniciais, o jogo vida pode CRIAR ESTRUTURAS ESTAVEIS COM PODER DE REPRODUCAO !!! Assim, atendidas determinadas condicoes, leis naturais fixas ( as regras de Conway ) nao sao obstaculos ao aparecimento da riqueza e plasticidade daquilo que chamamos Vida ! Indiretamente estes resultados reforcaram a Tese de Oparin. Este jogo ja foi discutido aqui na Lista, pelo Prof Nicolau. Todavia, desde a epoca de sua prelecao ate hoje, muitas outras pessoas se cadastraram, podendo portanto nao estarem a par deste empolgante tema : eis a razao de eu estar falando isso agora ! Eu faco uma proposta. Considerando que : 1) Muitas pessoas aqui sabem programar computadores. 2) Fazer um programa do jogo vida, na forma simples e original como Conway o abordou, e facil. 3) Podemos imaginar o tabuleiro de xadrex como uma matriz 8 por 8 4) Uma casa desocupada pode ser representada por zero. A ocupada, por um. 5) numeramos as linhas de cima para baixo, de zero ate sete. As colunas, da esquerda para a direita, tambem de zero ate sete. 6) Pascal todo mundo sabe, pois estuda-se em todas faculdades. A linguagem C e um Pascal melhorado. Vamos fazer em C o jogo vida ? A estruturacao do Programa e Simples : 1) Modulo de entrada de dados : recebe ate 64 pares ordenados. Cada par ordenado informado indica que a matriz 8 por 8 deve receber um 1 naquela posicao. Exemplo : 0,0 1,1 3,4 7,7 8,8 (posicao que nao existe e que indica que queremos parar de entra com pares ordenados ) a matriz TABULEIRO[7][7] SERA ZERADA EM TODAS AS SUAS POSICOES EXCETO EM TABULEIRO[1][1], TABULEIRO[3][4] E TABULEIRO[7][7]. Nestas posicoes recebera um. 2) Modulo de processamento : recebe a matriz do modulo 1) e aplica as regras de Conway. 3) modulo de exposicao : expoe a matriz na tela de video, apos o modulo anterior e augarda uma resposta. Se a resposta for zero, o jogo para. Se for N, aplica as regras de Conway N vezes e torna a exibir a matriz. Um exemplo de exposicao : 00011100 1000 Bom. Fica a proposta. Quem faz ? Eu ajudo e faco em C qualquer rotina que esteja mais complicada. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1219,30052001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: O Jogo Vida
Ola Mane, Tudo Legal ? Voce esta absolutamente certo. Nao e pedantismo. E uma chave primaria de um banco de dados proprio. E que recebo muitos e-mail´s e as pessoas que me contactam muitas vezes eu nao as conheco e elas, nao raro, se referem a mensagens minhas que nem sempre lembro. Ai eu criei a chave que voce descobriu. Com isso rapidamente posso recuperar alguma solucao ou informacao, pois os e-mail vao para um Banco de Dados relacional. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1627,30052001 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: O Jogo Vida Date: 30 May 2001 18:55:54 - Boa tarde: Chute: 4,155,30052001 4=quarta-feira 1533=15hs33min. 30052001=30/05/2001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: O Jogo Vida
Ola Prof Nicolau e Colegas da Lista, Saudacoes ! Com o maior prazer vou verificar isto, nao por se tratar de um pedido de nosso moderador, mas por ser o pedido de um VERDADEIRO MATEMATICO que todos nos ( ou a maioria ) admiramos e que, alem de tudo e sobretudo, E UM CARA MUITO LEGAL. Prof Nicolau, aquilo la embaixo - 4,1533,30052001 - e uma chave primaria de um BD relacional. O primeiro numero e: 1-domingo,2- segunda, 3-terca...7-sabado os 4 digitos seguintes sao a hora os 8 seguintes sao a data. Um abraco Prof Nicolau, Um abraco a Todos. Paulo Santa Rita 4,1642,30052001 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: O Jogo Vida Date: Wed, 30 May 2001 15:46:22 -0300 (BRT) On Wed, 30 May 2001, Paulo Santa Rita wrote: Ola Prof Nicolau e demais colegas da Lista : Saudacoes ! Eu tenho anotado, em casa, o lugar onde li sobre este jogo. Alem dos aspectos estritamente matematicos o livro fala sobre a historia do jogo e cita Ulam e Von Newman. Se nao me falha a memoria : Eu vou verificar se foi realmente assim ou se fiz alguma confusao com Ulam e Von Newman. Todavia, se eu estiver certo : Ulam e Von Newman trabalhavam juntos em Los Alamos, no projeto de construcao da Bomba ( Que uso Mediocre da Matematica ! ). Ulam gostava de jogos de computador, que na epoca dele eram uma grande novidade. 1) Ulam descobriu o jogo ( em um tabuleiro ) e mostrou a Von Newman 2) Ulam convenceu a Von Newman a aproveitar a estrutura do Jogo para realizar o seu objetivo ( objetivo de Von Newman ) de criar uma maquina que gerasse filhos, isto e, uma maquina que gerasse copias de si propria. 3) Conway ficou sabendo e descobriu as asas deltas e os construtores 4) Von Newman descobriu as demais estruturas (mais duas) com as quais o seu projeto de uma maquina que se auto-reproduzisse seria factivel. 5) Conway divulgou o jogo. 6) Conway aperfeicoou o jogo, dando a sua configuracao atual Você poderia verificar estas informações e dar uma fonte, svp? O pouco que sei sobre esse jogo aprendi depois que o Prof Nicolau falou sobre ele aqui e eu me interessei e pesquisei sobre o tema. O tabuleiro com numero infinito de casas e uma contribuicao posterior de Conway, pois so num ambiente infinito assim o projeto de von newman e factivel. Originalmente era um tabuleiro de xadrex. Eu tambem acho interessante o projeto que propus ( e por isso propus), nao obstante existirem programas-fontes prontos disponiveis na internet, pois isso e equivalente as solucoes de questoes matematicas que apresentamos aqui, pois as solucoes ja existem, muitos conhecem e nem por isso nos privamos do prazer de nelas pensar e apresentar nossas proprias versoes, por ser isso instrutivo. Ok, também acho interessante em muitas ocasiões refazer as coisas. Um abraco Prof Nicolau, um abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1533,30052001 []s, N. PS: O que significa '4,1533,30052001'? _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Resultado interessante
Ola Pessoal, O fato abaixo, trazido a Lista pelo nosso estimado colega Luis Lopes, é realmente interessante ... aproveito o ensejo para registrar que John Conway ( Catedra John Von Newman - Universidade de Princeton ) tem um livro legal ( deve ter muitos outros, que eu não conheço ). É o Livro dos Números. Alguem prova o fato ? In fact ANY non-equilateral triangle whose angles are rational numbers of degrees must have at least one irrational side. John Conway _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: En: 3-4-5 triangles
Ola Luis Lopes e Colegas da Lista, Nos, alunos-membros desta Lista de discussao de Problemas de Matematica, podemos nos inscrever nesta lista da auql John Conway é um dos membros ? Ou e uma lista só pra Professores ou Pos-Graduados ? Jonh Conway parece ser um cara legal ... Ele divulgou o jogo Vida - já discutido nesta nossa lista - e publicou um livro, O Livro dos Numeros, que trata de muitos temas que rotineiramente discutimos aqui. Em particular, neste livro, ele aborda a formula de Falhauber e os numeros figurados. Para quem nao sabe e a titulo de exemplificacao, os numeros da forma 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,... sao chamados numeros triangulares; os da forma 1, 4, 9, 16, ... numeros quadrados, etc. Essas designacoes derivam do fato de voce poder representar estes numeros atraves destas figuras, usando conjuntos de pontos geometricos. Fermat mostrou, entre outras coisas : 1) Um numero e triangular ou e a soma de, no maximo, tres numeros triangulares. Eles mostrou tambem teoremas relativos aos demais numeros figurados. No Livro do Conway e no do Huntley tais temas são abordados. Aqui na nossa lista ja foram publicadas mensagens (Luis Lopes publicou algumas, eu publiquei outras ) que poderiam servir para aperfeicoar o Livro dos Numeros do Conway. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1600,15052001 From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: En: 3-4-5 triangles Date: Tue, 15 May 2001 15:31:48 -0300 Sauda,c~oes, Resultado realmente interessante. Este John Conway é mesmo o professor de Princeton? Que lista é essa onde ele escreve? []s, N. E aí vai a informação sobre o John Conway. Send an email with content subscribe geometry-college and without subject to [EMAIL PROTECTED] [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: John Conway [EMAIL PROTECTED] Para: Ben Saucer [EMAIL PROTECTED] Cc: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 14 de Maio de 2001 19:08 Assunto: Re: 3-4-5 triangles On Mon, 14 May 2001, Ben Saucer wrote: At 08:32 AM 5/14/2001, you wrote: I was wondering if anyone knew the answer to the following question. If a triangle has sides of 3, 4, and 5, must it be a 30-60-90 triangle? Thanks. Nope. A 30-60-90 triangle has sides 1, 1/2, and sqrt(3)/2. In fact ANY non-equilateral triangle whose angles are rational numbers of degrees must have at least one irrational side. John Conway _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: A importancia dos Mestres
Ola Prof Jose Paulo, Poxa, quanto tempo ! E com sincera alegria que recebi esta sua mensagem ! Mas, realmente, deve estar ocorrendo algum problema aqui na maquina que trabalho, pois faz um tempao que nao vejo mensagens do Sr, do Prof Wagner e do Prof Nicolau. Por isso que eu reclamei a presenca de voces. Eu vou verificar o que esta ocorrendo. Um grande abraco Paulo Santa Rita 5,1059,10052001 From: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: A importancia dos Mestres Date: Wed, 9 May 2001 19:58:28 -0300 Caro Paulo. Obrigado pelas suas palavras, mas eu tenho escrito para a lista. Ontem mesmo, mandei um sobre o somatorio de n/2^n. JP - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 09, 2001 2:08 PM Subject: A importancia dos Mestres Ola Pessoal, Nao sei se voces perceberam, mas os Prof que comumente orientam a Nossa Lista estao sumidos ... Faz bastante tempo que nao vemos uma mensagem matematica dos Prof´s Nicolau, Wagner,Jose Paulo, Ralph, Morgado, Gustavo Tamm e muitos outros ... Estes nossos Mestres trazem, com suas mensagens, as centelhas que ativam o nosso interesse. Eles conhecem questoes interessantes que congregam os interesses de quase todos ... A presenca deles e suas opinioes sao fundamentais : sem elas, parece ate o sol se pos e que so nos resta dormir ... O que esta havendo ? Onde estao nossos orientadores ? O Prof Nicolau falou sobre o Problema 3N+1, O prof Ralph propos a questao sobre campeonatos, Prof Jose Paulo falou sobre os numeros de jacobi, Prof Wagner sobre a reta de Euler etc etc. Eu realmente sinto falta desses Mestres Legais, verdaeiro amigos que nos esclarecem e nos incentivam ! Mudando de assunto : Ontem, na hora do almoco, fui visitar uma livraria. La encontrei alguns livros de um autor chamado Luis Lopes. Nao sei se o Luis Lopes, colega nosso desta lista e o mesmo Luis Lopes autor dos Livros. O certo e que os Livros tem uma virtude inegavel : uma extensa lista de exercicios nao-triviais. Para quem quer se preparar para vestibulares, concursos e olimpiadas, os livros me pareceram muito bons. Vale a pena compra-los ( para quem puder ). O tempo era curto e nao pude ver a parte teorica. Alguns livros estao em frances. Como o frances e facil de ler, nao acho que isto constitui um problema. Ainda nesta vertente, todos sabem que existe uma colecao : Fundamentos de Matematica Elementar, MUITO BOA PARA INICIANTES. Para quem quer se aprofundar, nao. Por que os Professores desta Lista nao se reunem e lancam uma colecao : APROFUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR ? isto implica em deixar o trivial para OS FUNDAMENTOS e, quem quiser se aprofundar, compra OS APROFUNDAMENTOS. E apenas uma ideia. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1108,09052001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Desigualdade Wagner
Ola Pessoal, E verdade que : EM QUALQUER TRIANGULO, O SEMI-PERIMETRO NUNCA E MENOR QUE A SOMA DOS PRODUTOS DE CADA LADO PELO COSSENO DO ANGULO OPOSTO. Para ver isso, seja ABC um triangulo qualquer, imaginado como se BC fosse a base ( B a esquerda, C a direita ) e A o vertice. 1) Prolongando CA a partir de A, no sentido de C para A, de um segmento AD igual AB. 2) Prolongando BA a partir de A, no sentido de B para A, de um segmento AE igual a AC 3) Ligando D com E Os triangulo ABC e ADE sao iguais (caso LAL), pois : 1) AD = AB (por construcao) 2) AE = AC (por construcao) 3) Angulo BAC = Angulo DAE (opostos pelo vertice) Segue que DE=BC. Trancando por A uma paralela a BC. Seja r esta paralela. Agora, seja F o pe da perpendicular a r tracado por D. Seja G o pe da perpendicular a r tracada por E. Entao, claramente : DE = AD*cos(DAF) + AE*cos(EAG) Mas : 1)DE = BC = a 2)AD = AB = c 3)AE = AC = b 4)Angulo DAF = Angulo ACB ( Angulos Correspondentes ) = Ang C 5)Angulo EAG = Angulo ABC ( Angulos Correspondentes ) = Ang B Portando : a = c*cos(C) + b*cos(B) Repetindo construcoes e raciocinios semelhantes para os demais vertices, chegaremos a : b = a*cos(A) + c*cos(C) c = b*cos(B) + a*cos(A) Somando estas tres desigualdades : a + b + c = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) 2p = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) Portanto : DESIGUALDADE WAGNER : p = a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) Eu acho que a melhor maneira de homenagear e demonstrar gratidao para um Grande Mestre e mostrando que, com ele, aprendemos alguma coisa ... A desigualdade acima e simples, bem como a sua demonstracao, mas e uma sincera homenagem aquele que muito me (nos) ensinou : Prof EDUARDO WAGNER. ( Wagner - me permita chama-lo assim agora, Prof - voce provou que NEM TODAS AS ESTRELAS ESTAO MAPEADAS ... ) Um abraco a Todos, Um abraco especial ao Prof Eduardo Wagner Paulo Santa Rita 5,1141,10052001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: A importancia dos Mestres
Ola Pessoal, Por que sera que a Maquina, alimentada com tres bolinhas, nao pode cuspir a sequencia 312 ? Com quatro bolinhas ela pode cuspir a sequencia 4213 ? De maneira geral, com N bolinhas ela pode cuspir uma sequencia x1x2x3x4x5...xn tal uma bolinha de numero P pode ser seguida por uma bolinha de numero Q tal que P - Q 1 ? Um abraco Paulo Santa Rita 5,2142,10052001 Uma máquina engole bolinhas numeradas 1, 2, ..., n nesta ordem. Dentro da máquina as bolinhas ficam empilhadas, a última que entrou em cima. A qualquer momento a máquina pode cuspir a bolinha que está no topo de sua pilha interna (desde que a pilha não esteja vazia). Seja a_n o número de seqüências diferentes que podem ser cuspidas. Calcule a_n. Exemplo: Para n = 3 temos a_n = 5: ececec - 123 eceecc - 132 eeccec - 213 eececc - 231 eeeccc - 321 onde 'e' e 'c' significam respectivamente 'engole' e 'cospe' Os primeiros valores são 1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796. Este problema tem uma resposta simples que pode ser obtida de muitas formas diferentes. []s, N. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Sobre o Problema 3N+1
Ola Rui e Colegas da Lista, Tudo Legal ? Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser, nos podemos trabalhar nele juntos. Consegui o seguinte : 1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando a cada um uma sequencia finita de numeros naturais. 2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que S^p(N)=1 3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada. Aqui eu parei. Minha intuicao : Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e mostrar que isto e impossivel. Como fazer esta prova : Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ). Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (pi)^2/6 agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1 - 1/3 + 1/5 ... ). É o teorema das colunas generalizado. posso portanto pensar em encontrar o valor de : 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... A partir daqui surge a funcao : F(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral : F(z) = 1 + 1/2^z + 1/3^z + ... E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. ) Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nenhuma mensagem sua anteriormente. Se assim for, seja bem vindo. Eu sou abandonante ( realmente : abandonante = abandonando ) de Engenharia migrando para Matematica. Se voce quer discutir Matematica, sem frescura e estrelismos, vai ser legal a nossa correspondencia. Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 4,0944,09052001 From: Rui Viana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 Oi Paulo, Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma formulacao bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma pensada nele. A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum as demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore que comeca no 1 e vai descendo assim : 1 2 4 8 16 325 6410 . Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando material relativo ao problema, ideias, solucoes.. []'s Rui Viana From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Sobre o Problema 3N+1 Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47 Ola Pessoal ! Pelo que me lembro, o problema 3N+1 foi apresentado a esta lista pelo Prof Nicolau. Este problema tambem e conhecido como problema de Siracura, dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue : Seja F:N - N uma funcao, tal que F(n) = 3n+1, se n e impar F(n) = n/2, se n e par. Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)..., isto e, F^p(n) e a composicao de F com ela mesma p vezes, entao : CONJECTURA : Para todo n natural, existe um p natural tal que F^p(n)=1. Este conjectura, pelo que sei, esta em aberto. Muitos Matematicos de Escol tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ... Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar alguns aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao ! O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum n impar aplicarmos F(n)=3n+1 e o resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2 ira nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia 2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE ou SORVEDOURO, de forma que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira : CONJECTURA1 : Para todo n natural, existe um p natural tal que F^p(n)=2^r, r um natural qualquer. Quais sao os numeros tais que F(n) = 2^r ? PROPOSICAO : Se F(n)=2^r entao r e par e n e da forma (4^s - 1)/3. Suponha um natural n da forma n=(4^s - 1)/3. Ele e evidentemente impar e, portanto, F(n)=3n+1=4^s=2^(2s
Re: Sobre o Problema 3N+1 (Complemento)
Oi Rui, Estou complementando minha mendagem anterior : O seu interesse pela questao despertou novamente o meu interesse por ela. Se voce estiver realmente interessado em aborda-la comigo, posso te remeter uma exposicao detalhada dos resultados a que chequei e que mariei na mensagem anterior. Voce da uma olhada e me envia suas impressoes. Conforme ja disse, a minha ideia foi MAPEAR os numeros que, com certeza, atendem a Conjectura de Siracura, associando a cada um uma sequencia conveniente e determinando, atraves desta sequencia, o expoente p de S^p(N)= 1. So a titulo de exemplificacao : a N=(4^s - 1)/3 esta associada a sequecia s. Qual o expoente p tal que S^p(N)=1 ? Claramente : 2s + 1. Pois vamos aplicar S na forma 3N+1 a N (Pois N e impar ). Isso ira gerar: 2^(2s). Aplicando S na forma N/2, 2s vezes chegaremos a S^p(N)=1 com p=2s+1 Nos numeros da forma (2^q)*((4^s - 1)/3) o expoente p e: q+2s+1 e a este numero estara associado a sequencia (s,q). Como voce ve, o que fiz foi estudar a arvore que voce percebeu, acompanhando seu comportamento. Isso nos leva a associar a cada numero que atende a conjectura de siracura uma sequencia finita N=(x1,x2, ...,xn) e, com esta sequencia, podemos nao so descobrir o numero que esta associado a ela como o expoente que devemos associar a p para que S^p(N). Este numero chamei de p(N). A extensao da sequencia permite definir uma distancia entre o numero que ela representa e o famigerado SORVEDOURO ou BLACK HOLE. Este mapeamento nos livra de trabalhar com os imensos numeros que estao associados a este problema e saber tudo que precisamos : qual o numero e qual o expoente. Se algum numero N e tal que nao existe p tal que S^p(N)=1 entao a aplicacao de S em N ira gerar uma sequencia infinita ... ! É possivel isso ? Me parece ser fundamental estudar as propriedades graficas (topologicas) da figura ( voce chama de arvore ) par provarmos algo neste sentido ... A ideia e associar a cada familia bem caracterizada de numeros uma linha. Assim : A familia (4^s - 1)/3, que e a beira do sorvedouro, é uma linha na qual para cada s associamos um ponto. As familias (2^q)*((4^s -1)/3) sao linhas orientadas que vem do infinito e terminam ( ponta da seta ) em (4^s - 1)/3. E assim sucessivamente. Se despirmos esta figura de inconsistencias e ela for um modelo real para o problema, as propriedades desta figura ( cruzamento de linhas, etc ) pode fornecer o que falta par completar a prova. O QUE EU ACHO QUE ME FALTA E FAZER UMA REPRSENTACAO GRAFICA LEGAL DESTA FIGURA, PARA ESTUDA-LA EM SEPARADO. aqui esta uma sintese da ideia em que mais investi. Mas percebi uma outra linha de ataque : 1) definir com precisao ( baseado na funcao S ) o conceito de SORVEDOURO. 2) Mostrar que nao pode haver mais de um SORVEDOURO. Mas eu acredito muito na primeira ideia e nao tirei as implicacoes imediatas ( Nao defini ) desta segunda ideia. Não investi nela. E muito provavel que voce saiba coisas que eu nao sei e, reciprocamente, eu saiba coisas que voce nao sabe. A uniao deste saberes ( ou ignorancias ?) pode nos levar a solucao. O que voce acha ? Eu penso, numa primeira aproximacao ( pois nunca fiz isso antes !), que para duas pessoas investigarem juntas deve haver alguns principios : 1)Cada um deve levar a serio o trabalho do outro 2)Um nao pode querer parecer melhor que o outro 3)Ninguem pode se melindrar por ser corrigido 4)Ninguem pode se melindrar em corrigir. 5)Cordialidade e camaradagem nao fazem mal a niguem O que voce acha ? Acrescenta alguma coisa ? e entao, vmaos trabalhar ? Um grande abraco pra voce ! Do seu colega e, quica, futuro amigo Paulo Santa Rita 4,1042,09052001 From: Rui Viana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 Oi Paulo, Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma formulacao bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma pensada nele. A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum as demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore que comeca no 1 e vai descendo assim : 1 2 4 8 16 325 6410 . Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando material relativo ao problema, ideias, solucoes.. []'s Rui Viana From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject
Re: Sobre o Problema 3N+1
esta desigualdade de DESIGUALDADE WAGNER. Um abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1800,09052001 From: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Date: Wed, 9 May 2001 17:17:03 -0300 Seria interessante que vcs compartilhassem idéias e descobertas na lista, para que possamos todos contribuir... - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 12:45 Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Ola Rui e Colegas da Lista, Tudo Legal ? Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser, nos podemos trabalhar nele juntos. Consegui o seguinte : 1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando a cada um uma sequencia finita de numeros naturais. 2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que S^p(N)=1 3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada. Aqui eu parei. Minha intuicao : Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e mostrar que isto e impossivel. Como fazer esta prova : Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ). Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (pi)^2/6 agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1 - 1/3 + 1/5 ... ). É o teorema das colunas generalizado. posso portanto pensar em encontrar o valor de : 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... A partir daqui surge a funcao : F(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral : F(z) = 1 + 1/2^z + 1/3^z + ... E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. ) Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nenhuma mensagem sua anteriormente. Se assim for, seja bem vindo. Eu sou abandonante ( realmente : abandonante = abandonando ) de Engenharia migrando para Matematica. Se voce quer discutir Matematica, sem frescura e estrelismos, vai ser legal a nossa correspondencia. Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 4,0944,09052001 From: Rui Viana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 Oi Paulo, Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma formulacao bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma pensada nele. A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum as demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore que comeca no 1 e vai descendo assim : 1 2 4 8 16 325 6410 . Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando material relativo ao problema, ideias, solucoes.. []'s Rui Viana From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Sobre o Problema 3N+1 Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47 Ola Pessoal ! Pelo que me lembro, o problema 3N+1 foi apresentado a esta lista pelo Prof Nicolau. Este problema tambem e conhecido como problema de Siracura, dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue : Seja F:N - N uma funcao, tal que F(n) = 3n+1, se n e impar F(n) = n/2, se n e par. Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)..., isto e, F^p(n) e a composicao de F com ela mesma p vezes, entao : CONJECTURA : Para todo n natural, existe um p natural tal que F^p(n)=1. Este conjectura, pelo que sei, esta em aberto. Muitos Matematicos de Escol tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ... Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar alguns aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao ! O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum
Re: equações de recorrência
Ola Pessoal,
Saudacoes !
Complementando a mensagem do colega Luis Lopes, e possivel provar facilmente
que se
(A1, A2, A3, A4, ... )
e uma Progressao Aritmetica qualquer de ordem 2 e representarmos por
BINOM(N,P) o numero binomial de numerador N e denominador P, isto e, se
BINOM(N,P)= N!/(P!*(N-P)!), entao :
O termo generico An da progressao sera :
An = A1*BINOM(N-1,0) + (A2-A1)*BINOM(N -1,1) + (A3-2*A2+A1)*BINOM(N-1,2)
Aplicando o Teorema das colunas, chegamos facilmente a formula da soma :
Sn = A1*BINOM(N,1)+ (A2-A1)*BINOM(N,2) + (A3-2*A2+A1)*BINOM(N,3)
Se a progressao for de ordem 3, sera :
An = A1*BINOM(N-1,0) + (A2-A1)*BINOM(N -1,1) + (A3-2*A2+A1)*BINOM(N-1,2)
+ (A4-3*A3+3*A2-A1)*BINOM(N-1,3)
Aplicando o Teorema das colunas, chegamos facilmente a formula da soma :
Sn = A1*BINOM(N,1)+ (A2-A1)*BINOM(N,2) + (A3-2*A2+A1)*BINOM(N,3)
+ (A4-3*A3+3*A2-A1)*BINOM(N,4)
E interessante perceber que a progressao aritmetica de 1 ordem, que sao
aquelas que todos nos vemos em todos os livros, tambem permitem serem
representada assim :
An = A1*BINOM(N-1,0) + (A2-A1)*BINOM(N-1,1)
Sn = A1*BINOM(N,1)+ (A2-A1)*BINOM(N,2)
Mas a maioria dos estudantes esta mais acostumado com as formulas :
An=A1 + (N-1)*Re Sn=( N*(A1 + An))/2
As formulas binomiais me parecem ser melhores porque permitem uma
interpretação dos coeficientes em termos dos termos iniciais da sequencia e
tambem permitem representarem as sequencias como produtos vetorias. Para ver
isso, seja o termo geral de uma PA de 1 ordem :
An= A1*BINOM(N-1,0) + (A2-A1)*BINOM(N-1,1)
Podemos coloca-lo como PRODUTO ESCALAR assim :
An = (A1,A2-A1)*( BINOM(N-1,0),BINOM(N-1,1) )
O vetor (A1,A2-A1) pode ser chamado VETOR CARACTERISTICO da sequencia. A
comparacao entre os vetores caracteristicos de sequencias distintas nos
permitem inferir propriedades de dificil percepcao com o trato canonica com
a qual sao apresentadas estas sequencias...
O estudante ganha tambem porque tem formulas prontas para abordar questoes
que, de sorte, consomem tempo. Exemplificando :
Quanto vale :
S = 2^2 + 5^2 + 8^2 + 11^2 + ... + 149^2 ?
Claramente e uma PA de 2 ordem ( se elevarmos a N todos os termos de uma PA
de ordem K teremos uma PA de ordem N*K ), pois e uma PA de primeira ordem
(2,5,8, ... ) com todos os seus termos elevados a 2. O termo 149 e o
50-esimo termo, logo :
S50=(2^2)*BINOM(50,1)+(5^2 - 2^2)*BINOM(50,2)+(8^2-2*(5^2)+2^2)BINOM(50,3)
S50=4*BINOM(50,1) + 19*BINOM(50,2) + 18*BINOM(50,3)
Agora, tenta calcular a soma acima usando os tecnicas tradicionais ...
Finalmente, uma outra vantagem desta maneira de ver as coisas e que voce nao
fica limitado a sequencias de ordem inteira positiva. So a titulo de
exemplificacao, a famosa sequencia harmonica e, em verdade, uma progressao
aritmetica de ordem -1. Para ver isso, note que :
1 - 1/2 + 1/3 -1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 CONVERGE ! Converge para Logaritmo
neperiano de 2.
Bom, esse tema de series e sequencias e muitissimo interessante, mas eu nao
acho que se possa abordar isso de forma consistente e responsavel sem se
considerar o Triangulo Pascalino e as Formulas do Tio Euler.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,1515,08052001
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: equações de recorrência
Date: Tue, 8 May 2001 14:06:02 -0300
Sauda,c~oes,
Um livro motivador deste assunto - Recorrências - é o Progressões e Mat.
Financeira
do Morgado, Wagner e Zani, publicado pelo IMPA.
Falo também um pouco sobre isso nos meus livros de Progressão e Indução.
Para as aplicações nas Progressões Aritméticas de ordem k, podemos achar o
termo geral seguindo o exemplo do Fábio. Mas tem uma fórmula que facilita
bastante este cálculo.
Seja determinar o termo geral - a_i - da seqüência
6; 11;35;98;220; (não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
dois)
5,24,63,122 .(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
dois) Delta a_i
19, 39,59...(PA de 3ª ordem com razão r=20)Delta^2 a_i
20, 20,20,.
Delta^3 a_i
Como é PA de 3ª ordem, vem (a notação assusta mas o exemplo vai
esclarecer):
a_i = a_1 + Delta a_1 binom{i-1}{1} + Delta^2 a_1 binom{i-1}{2} + Delta^3
a_1 binom{i-1}{3}
a_i = 6 + 5(i-1) + 19(i-1)(i-2)/2 + 20(i-1)(i-2)(i-3)/6
Calculando a_5, resulta:
a_5 = 6 + 5*4 + 19*4*3/2 + 20*4*3*2/6 = 220.
E lembrando que podemos calcular a_0, vem:
a_0 = 6 - 5 + 19 - 20 = 0
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Fábio Arruda de Lima [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Sexta-feira, 4 de Maio de 2001 10:02
Assunto: Re: equações de recorrência
Caro Henrique,
complementando o que o Eric colocou, diria que uma recorrência linear de
K-ésima ordem terá como função característica um polinômio de grau de K.
Seria interessante você procurar um livro específico sobre o assunto.
Certamente, tem no IMPA e nas edições da SBM.
Por exemplo, a(n+3) + a(n+2) + a(n+1) + a(n)=0 terá como termo
Sobre o Problema 3N+1
ideia melhor ? 3) Alguem quer criticar ? OBS : Eu nao vou ficar chateado se alguem quiser criticar e dizer que e uma ideia de Mongo, Jaba ou coisa parecida. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1110,07052001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Poderiam me ajudar tambem?
Ola Eric e Colegas da Lista, Saudacoes Cordiais a Todos ! Eu nao acompanhei meticulosamente sua exposicao, mas acredito que voce quer dizer que x(1)=X1, vale dizer : X(1) e X com um indice 1. Se for assim, a sua solucao satisfaz as condicoes de simetria exigidas pelo problema e, portanto, e uma solucao. O problema nao pede esclarecimentos sobre a quantidade de solucoes, o que e uma pena. A sua solucao e inteligente, pois toma as partes candidatas evidentes : em X e Y, a liner; em XY a bilinear, etc. Voce deve ter percebido que delineou uma solucao geral para o caso de um polinomio a N variaveis. Percebe ? Fugindo um pouco ao tema, considero ser valido registrar o seguinte : 1) Aqui e uma LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS DE MATEMATICA, isto e, nos estamos aqui prioritariamente para APRESENTAR E DISCUTIR problemas de matematica. 2) O estimado Prof Nicolau, talvez em resposta a uma proposta de divisao da lista, publicamente ampliou o escopo original da lista, manifestando-se no sentido de nao se importar se apresentarmos e discutirmos problemas de FISICA E COMPUTACAO. Ele mesmo, exemplificando, ja apresentou programas ( em C, sobre problema 3N+1 ) e discutiu FISICA. 3) Os itens acima ( sobretudo o 1 ) e a essencia desta lista, de forma que usa-la seguidamente em outro sentido significa e implica em descaracteriza-la e, talvez, enfraquece-la. Me parece, portanto, que deve ser uma preocupacao de todos nos manter e amplificar estes objetivos iniciais, aprimorando a qualidade das questoes que abordamos ... Aquilo que publicamos esta na REDE, de forma que seguidamente serve de referencia a outros colegas estudantes. Neste sentido e notavel e digno de nota a solidariedade e presteza com que duvidas nao-matematicas, tais como orientacoes em tecnicas de estudo e procura de livros sao atendidas ... Isto mostra que a NOSSA LISTA, alem de qualidade cientifica, indubitavelmente tem um publico de boa formacao moral. E muito bonito ver tudo isso ! O problema abaixo caiu em uma Olimpiada Russa : Prove que a equacao : a^2 + b^2 + c^2 = 3abc tem uma infinidade de solucoes (a,b,c) todas formadas por numeros inteiros nao-negativos. Um abraco amigo a Todos Paulo Santa Rita 1,1146,06052001 From: Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Obm-L [EMAIL PROTECTED] Subject: Poderiam me ajudar tambem? Date: Sun, 6 May 2001 10:38:39 -0300 Saudacoes Acho que consegui responder algumas de minhas proprias duvidas, mas nao tenho certeza das respostas. Gostaria que alguem que tenha conhecimento desse assunto me dissesse se estou certo ou errado. Uma aplicacao quadrilinear seria uma aplicacao linear com respeito a cada uma das 4 variaveis. Por exemplo, se B eh quadrilinear entao B(x+x',y,z,w)=B(x,y,z,w)+B(x',y,z,w) B(x,y+y',z,w)=B(x,y,z,w)+B(x,y',z,w) B(x,y,z+z',w)=B(x,y,z,w)+B(x,y,z',w) B(x,y,z,w+w')=B(x,y,z,w)+B(x,y,z,w') B(ax,y,z,w)=aB(x,y,z,w) B(x,ay,z,w)=aB(x,y,z,w) B(x,y,az,w)=aB(x,y,z,w) B(x,y,z,aw)=aB(x,y,z,w) Uma aplicacao simetrica seria uma aplicacao em que podemos permutar as variaveis sem alterar o valor, isto eh, se B:E^3-F eh simetrica, entao: B(x,y,z)=B(x,z,y)=B(y,x,z)=B(y,z,x)=B(z,x,y)=B(z,y,x) Lembrando o problema que propus Seja a funcao polinomial p: R^3 em R: p(x,y,z)=7x^4+3x^2yz+8y^3-z^3+10xy-3x+2z+1, para todo(x,y,z) de R^3.Determine uma aplicacao quadrilinear simetrica B4: R^3xR^3xR^3xR^3 em R, uma trilinear B3, uma bilinear B2, uma linear B1 e um numero real B0 de R, de modo que: p(v)=B4(v,v,v,v)+B3(v,v,v)+B2(v,v)+B1(v)+B0, para todo v=(x,y,z) de R^3 Acho que uma solucao pode ser esta: sejam v1=(x(1),y(1),z(1)) v2=(x(2),y(2),z(2)) v3=(x(3),y(3),z(3)) v4=(x(4),y(4),z(4)) B4(v1,v2,v3,v4)= 7x(1)x(2)x(3)x(4) + (1/4)(x(1)x(2)y(3)z(4) + x(1)x(2)z(3)y(4) + x(1)y(2)x(3)z(4) + x(1)z(2)x(3)y(4) + x(1)y(2)z(3)x(4) + x(1)z(2)y(3)x(4) + y(1)x(2)x(3)z(4) + z(1)x(2)x(3)y(4) + y(1)x(2)z(3)x(4) + z(1)x(2)y(3)x(4) + y(1)z(2)x(3)x(4) + z(1)y(2)x(3)x(4)) Neste caso, B4 eh (seria) quadrilinear simetrica e se v=(x,y,z), entao B4(v,v,v,v)=7x^4+3x^2yz Alem disso B3(v1,v2,v3)=8y(1)y(2)y(3) - z(1)z(2)z(3) eh trilinear simetrica e B3(v,v,v)=8y^3-z^3; B2(v1,v2) = 5x(1)y(2) + 5x(2)y(1) eh bilinear simetrica e B2(v,v)= 10xy B1(v1) = -3x(1) + 2z(1) eh linear e B(v) = -3x + 2z tomando B0=1 temos: B4(v,v,v,v)+B3(v,v,v)+B2(v,v)+B1(v)+B0= 7x^4+3x^2yz+8y^3-z^3+10xy-3x+2z+1=p(x,y,z), para todos x,y,z em R. Gostaria de saber se a solucao estah correta. Grato. Eric. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Aprendendo mat. sem perder o resto
Ola Gustavo e Colegas da Lista, Saudações a todos ! A sua preocupaçao é procedente... dar exclusividade a uma( algumas ) matéria(s), negligenciando as outras, pode ser a causa de um fracasso futuro. Evidentemente que o tempo e a atenção dispensada a cada Matéria deve ser proporcional ao peso que ela tenha no vestibular que voce vai prestar. Todavia, me parece ser dificil ( talvez impossível ) esclarecer com rigor o conceito de aprofundamento e tabelar tecnicar uniformes de exercitá-lo ... Talvez a profundidade tenha duas dimensoes ou aspectos : 1)Profundo e aquele que com poucos recursos ou conhecimentos obtem grandes resultados. ( talvez esse seja o genial ) 2)Profundo e aquele que sabe detalhes que poucos sabem e que portanto pode resolver com maior prontidao as questoes justamente por ter estes conhecimentos pouco divulgados ( talvez esse seja o erudito ) O aprofundamento 1) voce obtem fazendo muitos exercicios nao triviais e e fruto sobretudo de uma vivencia mental e interna dos conceitos basicos que voce aprendeu. O aprofundamento 2) voce obtem fazendo pesquisas e leituras adicionais. Alguem ja disse que o Conhecimento e uma sintese harmoniosa destas coisas ... Qualquer delas isolada e apenas Informação... Entao, divida o tempo proporcionalmente ao peso das materias; enumere os itens a ser estudado em cada uma e APROFUNDE os seus conhecimentos nas que voce precisar. Um abraco pra voce, Boa Sorte ! Paulo Santa Rita 7,2000,05052001 Gustavo Martins gravada: Colegas: Estou no 3º ano do Ens. Médio e percebi que se eu desejo aprender *bem* a Matemática e outras matérias exatas, tenho que ter dedicação quase exclusiva, ficando com pouquíssimo tempo para estudar os outros assuntos (biologia, geografia, etc). Porém, se eu tiver que fazer isso, posso me dar mal. Creio que alguns já passaram por esse problema e podem me dar algum tipo de sugestão para que eu possa aprender bem as matérias exatas e sobrar algum tempo para as outras. Qualquer ajuda serve. Atenciosamente,Gustavo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Aprendendo mat. sem perder o resto
Ola Marcelo e colegas da Lista, Só uma observação : em nenhum momento na minha mensagem eu DEFINI genial e erudito. Me parece que a mensagem, ao usar talvez esse seja o genial, talvez esse seja o erudito, esta apenas sugerindo e, nao, definindo. Por outro lado, admita que sejam definicoes : é possivel ter ponto de vista sobre elas ? me parece que diante de uma definicao, nos a ACEITAMOS, nao a INTERPRETAMOS, logo, sobre ela, nao podemos ter ponto de vista. É verdade, todavia, que eu conheco muito pouco de Matematica e Ciencias Afins, de forma que sua brilhante intervenção enriqueceu estes meus poucos conhecimentos e de muitos outros ... Queria apenas prestar minha solidariedade com o colega, que vive uma circunstancia que eu tambem ja vivi. Penso que minha mensagem foi clara, neste sentido. Me parece, outrossim, que uma correção subjetiva deveria ser endereçada ao sujeito, não ao publico. Independente de tudo isso, agradeço os esclarecimentos e retificações que o colega fez e os acrescentarei aos meus (poucos) conhecimentos. Obrigado. Um abraço Paulo Santa Rita 7,2213,05052001 From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Aprendendo mat. sem perder o resto Date: Sat, 05 May 2001 23:50:51 - Olá, Desculpe mas discordo do seu ponto de vista em relação a sua definição erudito e genial. Com poucos conhecimentos conseguir levar a grandes resultados confere capacidade de criatividade, mas isso é momentâneo. O que conhece mais sempre leva vantagem em relação ao que conhece menos, isso sem dúvida é verdadeiro. A capacidade de resolver coisas aplicando pouco conhecimento, digamos assim, é algo sutil, é algo da própria idéia que se tem de um problema na hora de resolvê-lo. Esses que muito conhecimento tem provavelmente já fizeram várias soluções que necessitavam de pouco conhecimento (mas nem sempre os de pouco conhecimento resolvem todos os prolemas que os de muito conhecimento resolvem). Depende do ângulo focalizado pelo leitor do prolema: isso confere genialidade! Não o simples aspecto de resolver coisas utilizando pouco conhecimento, até pq existem coisas que talvez o pouco conhecimento não possa resolver, isso nos leva a pensar que o que mais conhecimento tem leva vantagem. Bom, Gustavo, o meu recado é esse: Saia em as matérias fundamentais em matemática, pois por elas as vezes podemos resolver problemas mais complexos. Qto a separação de matérias, estude todas, monte um horário, tente se organizar, como sua prioridade é matemática, penetre mais profundamente no assunto, separe tempos iguais para o esrtudo das materias, mas descole um tempo extra para estudar sempre um pouco a mais em matemática. essa é minha dica araços Marcelo From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Aprendendo mat. sem perder o resto Date: Sat, 05 May 2001 22:59:45 Ola Gustavo e Colegas da Lista, Saudações a todos ! A sua preocupaçao é procedente... dar exclusividade a uma( algumas ) matéria(s), negligenciando as outras, pode ser a causa de um fracasso futuro. Evidentemente que o tempo e a atenção dispensada a cada Matéria deve ser proporcional ao peso que ela tenha no vestibular que voce vai prestar. Todavia, me parece ser dificil ( talvez impossível ) esclarecer com rigor o conceito de aprofundamento e tabelar tecnicar uniformes de exercitá-lo ... Talvez a profundidade tenha duas dimensoes ou aspectos : 1)Profundo e aquele que com poucos recursos ou conhecimentos obtem grandes resultados. ( talvez esse seja o genial ) 2)Profundo e aquele que sabe detalhes que poucos sabem e que portanto pode resolver com maior prontidao as questoes justamente por ter estes conhecimentos pouco divulgados ( talvez esse seja o erudito ) O aprofundamento 1) voce obtem fazendo muitos exercicios nao triviais e e fruto sobretudo de uma vivencia mental e interna dos conceitos basicos que voce aprendeu. O aprofundamento 2) voce obtem fazendo pesquisas e leituras adicionais. Alguem ja disse que o Conhecimento e uma sintese harmoniosa destas coisas ... Qualquer delas isolada e apenas Informação... Entao, divida o tempo proporcionalmente ao peso das materias; enumere os itens a ser estudado em cada uma e APROFUNDE os seus conhecimentos nas que voce precisar. Um abraco pra voce, Boa Sorte ! Paulo Santa Rita 7,2000,05052001 Gustavo Martins gravada: Colegas: Estou no 3º ano do Ens. Médio e percebi que se eu desejo aprender *bem* a Matemática e outras matérias exatas, tenho que ter dedicação quase exclusiva, ficando com pouquíssimo tempo para estudar os outros assuntos (biologia, geografia, etc). Porém, se eu tiver que fazer isso, posso me dar mal. Creio que alguns já passaram por esse problema e podem me dar algum tipo de sugestão para que eu possa aprender bem as matérias exatas e sobrar algum tempo para as outras. Qualquer ajuda serve. Atenciosamente,Gustavo
Re: Alguém poderia me ajudar?
ola Marcelo e Colegas da Lista, Saudaçoes ! No Windows ( Eu nao gosto deste SO )use o ADOBE ACROBAT para ler e editar estes arquivos. Um abraço Paulo Santa Rita 7,2233,05052001 From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Alguém poderia me ajudar? Date: Sat, 05 May 2001 22:36:52 - Oi pessoal da lista, Eu tenho que enviar um monte de soluções de prolemas pela internet para uma HP acontece que as soluções só podem ser mandadas se forem arquivos .PS (postscript), como não sei editar asolutamente nada, alguém poderia me dizer como faço pra editar textos .ps? Quais os programas que eu preciso ter e como devo fazer para editar em ps? Agradeço as colaborações , se alguém souer, me ajude! Abraços Marcelo (obs.: não sei se tem alguma coisa a ver, mas eu uso o Windows 98 naum o Linux) _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Topologia
Ola Pessoal, Tudo Legal ? Realmente. O "problema das sete pontes" a que me referi mais conhecido como "o problema das sete pontes de Koenigsberb". Esta cidade cortada por um rio no qual h duas ilha que se ligam entre si e a cidade atraves de sete pontes. Dizem que os moradores locais se perguntavam se era possivel fazer um passeio de forma que cada ponte fosse transposta uma unica vez. O problema foi proposto a Leibniz, que no o resolveu. Euler o abordou, apresentando uma solucao e uma generalizacao consequente. Talvez seja por esta razo que se diz que um grafo (passeio) no qual existe um circuito que permite passar por todas as arestas uma unica vez um Grafo Euleriano. Existe tambem os Grafos com circuitos Hamiltonianos. Muitos problemas interessantes podem ser abordados atraves da representao por grafos. O pouco que sei sobre esta teoria dos grafos aprendi em : Aspectos Teoricos da Computao Coleo Projeto Euclides Claudio Luchesi e outros Este livro muito bom e no exige conhecimento previo algum em qualquer de suas 4 partes. Os exercicios so interessantes. l voces conhecero o Teorema de Ramsey e muitas outras coisas interessantissimas. Em minha mensagem original eu citei um problema, que inclusive foi usado na preparao da equipe hungara, que e : Considere um quadrados ABCD. Trace EF paralelo as bases horizontais AB e CD de forma que o quadrado fique dividido em dois retangulos iguais: ABEF e EFCD. 1) Usando um segmento vertical GH, GH=EC, divida o retangulo superior EFCD em dois retangulos iguais. 2) Usando dois segmentos verticais IJ e KL, ambos iguais a AE, divida o retangulo inferior em tres retangulos iguais. Surge uma figura com cinco regioes : duas em cima e tres embaixo. Mostre que e impossivel tracar um caminho (linha) de forma que cada aresta seja transposta uma unica vez. O unico "profundo conhecimento" que se exige para resolver esta questao e saber o que um numero par e o que um numero impar ! Como sugestao, separe uma regiao ( tringulo, por exemplo ) e procure descobrir, entrando e saindo da figura, usando uma linha continua, a relacao entre o numero de entrada e o numero de lados. Voce vai descobrir alguma coisa interessante. Volte a figura a presente o raciocinio belo e simples que prova a impossibilidade. Um Abrao Paulo Santa Rita 6,1039,20042001 From: Fbio Arruda de Lima [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Topologia Date: Thu, 19 Apr 2001 19:41:19 -0300 Ol, Sua interveno foi tima. Vou at um pouco mais. Este problema resolvvel por Teoria dos Grafos. Um Abrao. Fbio - Original Message - From: Antonio Neto [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 19, 2001 7:59 PM Subject: Re: Topologia Um problema que comumente dizem ser de topologia o famoso problemas das sete pontes. Proposto pelo genial Henri Poincar! http://yakumo72.tripod.com/ eh meu site totalmente dedicado ao Poincar. Receio que haja um entusiasmo exagerado nesta afirmativa. Nao quanto a genialidade de Poincare, mas a autoria do problema. Estou citando de memoria, pois estou no trabalho, mas as sete pontes ficavam em Koenigsberg, hoje Kaliningrado, e ao que eu saiba era um problema popular saber se o passeio podia ser realizado. Foi primeiramente resolvido por Euler, ate onde estou informado. Agradeo correcoes a alguma besteira. Abracos, olavo. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Parte inteira - insistente
Ola Luis Lopes, Villard e
demais colegas da Lista :
Saudacoes !
Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento
anterior.
Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
isso.
Antes gostaria de Citar um Livro :
A Divina Proporcao
(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
H.E. Huntley
Editora Universidade de Brasilia.
Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero de
ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para aticar
a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que
seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo
!
Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos
conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia :
Fn+2 = Fn+1 + Fn.
A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou
representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn.
Convencionando que #8220;RZ_2(5)#8221; representa a #8220;raiz quadrada
de cinco#8221;, o numero fi - que muitos chamam de #8220;numero de
ouro#8221; e que aqui sera representado por H #8211; pode ser expresso
como :
H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Da seque que : (#8211;1) / H = ( ( 1 -
RZ_2(5) ) / 2 )
Sabemos que Binet mostrou que :
Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM
Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto : LIM
Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H
1.
O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 +
1/5 + ... + 1/Fn + ... absolutamente convergente. Sendo seus termos
todos positivos ... ELA E CONVERGENTE !
Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ?
O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para #8220;n#8221; suficientemente
grande, a sequencia :
Gn, Gn+1, Gn+2, ...
Se comporta como uma PG infinita com razo menor que um. A titulo de
visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ... (
igualdade at a 6 casa apos o ponto decimal ! ).
Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser
somada como seque :
S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto e
:
S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 #8211; (1/H) ).
S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H #8211; 1) )*Gk
A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao.
O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa
conhecida. Assim, definimos a funcao :
S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H #8211; 1) )*Gk
No adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao infinito,
dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator constante
(H / ( H #8211; 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e
intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou
EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ?
MINHA IDEIA
Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO,
senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao desaparecer,
o que tornara as coisas mais faceis.
Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega
(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as
coisas e determinar K. E legal !
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1532,18042001
From: "Luis Lopes" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Parte inteira - insistente
Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300
Sauda,c~oes,
eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a srie
converge ( que o meu palpite ! ),
Testar a convergncia de uma srie uma coisa, achar a forma fechada (se),
outra. Escrevi para o prof. Rousseau sobre este problema por ach-lo
interessante etc e tal. Mas acho que o tiro saiu pela culatra. Vejam nossa
correspondncia.
===
Dear Luis:
Maybe the proposer had something in mind that I missed.
I would certainly be interested if he had some sort of exact
formula for the sum of the series. What I did to evaluate
\lfloor 50 * sum \rfloor was just based on expediency, so I
am pretty sure that there is a more satisfactory approach.
Cecil
Luis Lopes wrote:
Dear Cecil,
Many thanks. I thought the problem didn't have to resort to this
(Maple,numerical comparison etc) because he insisted on it. I thought it
was a "standard" exam problem. Sorry, it is a little disappointing. I will
forward your answer to the list. I do hope to have a feedback from the
"author" regarding his expectations, origin of this problem etc. Happy to
talk to you. Cheers, Luis
Re: Parte inteira - insistente
Ola Villard e
amigos da Lista !
Cordiais Saudacoes a Todos !
Dando continuidade a nosso papo : ACREDITO QUE SIM. Penso que ha um melhor
valor de K. Vou tentar explicar melhor as coisas
(Nao sei se isso acontece com todo mundo ou e uma infeliz particularidade
minha persolnalidae ... Ter ideias pra resolver questoes dificeis e , em
geral, facil. Dar uma feicao matematica a estas ideias tambem e, em geral,
facil. Mas, EXPLICAR IDEIAS, parece ser algo MUITO DIFICIL ... as vezes
penso que e porque as palavras sao pobres para explicarem aquilo que vemos
... as vezes penso que e porque eu realmente sou ruim nisso ... Eu
francamente e publicamente peco desculpas a todos os colegas, que muito
prezo, se, de alguma forma, fui ou/e estou sendo confuso : nao e intencional
!)
Seja A={A1, A2, A3, ...} uma sequencia de numeros e F={F1, F2, F3, ... } uma
sequencia de fatores. Suponhamos que :
LIM Fn = Q e que Fi Q se i e impar e Fi Q se i e par, isto e, a
sequencia F1, F2, ... converge para Q ( Q 1)mas os seus termos oscilam em
torno de Q, ora sendo maior, ora sendo menor, mas sempre se aproximando mais
e mais de Q.
Vamos agora construir a sequencia Ai*Fi ( * e o sinal de multiplicacao)
que chamaremos de Bi. Assim, Bi=Ai*Fi.
Considere agora a progressao geometrica Cn = Ck*(Q^n), onde Ck e algum dos
Ai ( pode ser A1, A100, A23, etc : nao sabemos ainda!).
A minha ideia e que : escolhendo um Ck conveniente, comparamos a evolucao
dele com os sucessivos Bi, para i = K.
Suponha que seja Ck=A7. Logo K=7. Entao os sucessivos valores da sequencia B
serao A7*F7, A8*F8, A9*F9, ...
Os sucessivos valores da sequencia B sao A7*Q, A7*Q^2, A7*Q^3, ...
Entao, nao obstante os valores da sequencia B sejam diferentes dos valores
da sequencia C, as somas no final se compensam, e teremos que o somatorio
infinito de B e igual ao somatorio infinito de C.
Na serie do colega Villard ocorre isso. A sequencia dos inversos dos numeros
de fibonaci sao gerados multiplicando-se cada termos anterior por um fator
que ora e menor que o numero fi, ora e maior que o numero fi , mas que se
aproximam mais e mais de Fi, convergindo para ele, portanto, se escolhermos
o ponto de partida conveniente e fixarmos o fator ( que e a PG infinita a
que me refiro abaixo ), a soma da PG infinita e a soma do Villard, no final,
serao iguais !
A minha ideia e determinar que condicoes devem satisfazer os fatores
variareis Fi para que exista um ponto de partida que que uma igualdade entre
as duas somas infinitas. A seguir, mostrar que estas condicoes sao
satisfeitas pela sequencia dos inversos dos numeros de fibonaci.
Se ninguem no Mundo nao fez isso e isto e um problema em aberto, este fato
deve ser irrelevante para nos ou mesmo estimulante, pois e uma amostra da
saudavel audacia e qualidade do que se discute em nossa lista ! Por outro
lado, se ninguem fez ou algum cara muito bom nao fez ( por exemplo: Euler,
Gauss, Newton ) isso nao significa que nao seja factivel : a ciencia parece
progredir justamente indo alem daquilo que nossos anteriores fizeram !
Em sintese : Esse papo pode nos levar longe !
Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao, nos termos abstratos que expus
acima e, havendo tempo, oportunamente vou publicar qualquer resultado
generico que conseguir.
Um Grande abrao a todos
Paulo Santa Rita
4,2337,18042001
From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Parte inteira - insistente
Date: Wed, 18 Apr 2001 21:13:33 -0300
Eu tentei achar o valor para o qual a sequncia converge e como no
consegui, fiz algumas contas pelo computador... calculei o somatio at
G(100), depois at G(1000). Os valores so muito parecidos...
aproximadamente 3,5988 Algum se habilita a achar o valor exato ?
E isso que voc falou de achar um "melhor" K, no sei se possvel no
pq para cada aproximao desejada, vai existir um K. Mas existe um desses
que a melhor aproximao de todas ???
Abraos,
Villard !
-Mensagem original-----
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 17:06
Assunto: Re: Parte inteira - insistente
Ola Luis Lopes, Villard e
demais colegas da Lista :
Saudacoes !
Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum
momento
anterior.
Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
isso.
Antes gostaria de Citar um Livro :
A Divina Proporcao
(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
H.E. Huntley
Editora Universidade de Brasilia.
Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero
de
ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibo
Re: Topologia
Ola Leonardo e Colegas da Lista, Saudaes ! O Livro "Espaos Metricos" da Coleo Projeto Euclides, do Prof Elon Lages Lima, - assumidamente pelo autor - uma introduo a Topologia. No livro h interessantissimos exercicios e voce comea a olhar o Calculo por uma nova perspectiva, com a introduo na noo geral e abstrata de distancia. Esse mesmo autor tem outro livro "Introduo a Topologia Geral", no sei de qual coleo, mas o livro me pareceu ser um aprofundamento do anterior... A topologia realmente um tema apaixonante... Voce pensa com o minimo possivel de construoes conceituais e artificialismos. At parece que ela quer falar sobre o que ha de mais basico e fundamental na matemtica ... Um outro livro que mostra resultados inesperadas e empolgantes : Aplicaes da Topologia a Anlise. da Coleo Projeto Euclides (Essa coleo parece ser muito boa !). O autor Chain Samuel Honig ou um outro nome parecido com esse. Um problema que comumente dizem ser de topologia o famoso problemas das sete pontes. Um outro, que no exige conhecimento algum, o seguinte : Seja ABCD um retangulo (Lado horizontal superior = CD). Sobre ABCD, tomando CD como base, construa um outro retangulo CDEF, identico a ABCD. Divida ABCD em TRES retangulos iguais, trancando dois segmentos verticais GH e IJ, de mesmo comprimento que qualquer dos lados verticais de ABCD. Divida CDEF em DOIS retangulos iguais, tracando um segmento vertical KL, de mesmo comprimento que qualquer dos lados verticais de CDEF. Surge uma figura formada por cinco regioes : duas em cima, tres embaixo. chamemos de ARESTA qualquer segmento ( vertical ou horizontal ) delimitado por letras ( os extremos so letras ) e no interior do qual no h outras letras. Mostre que : Partindo do exterior da figura no e possivel tracar uma linha que corte cada uma das arestas apenas uma vez. Um abrao a Todos Paulo Santa Rita 4,2322,17042001 From: "Leonardo Motta" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Topologia Date: Tue, 17 Apr 2001 21:28:46 -0300 Ola', Sera' q alguem poderia me indicar um livro bom para um primeiro contato com a Topologia? Um livro de introduo e panorama geral do assunto... Encontrei alguns livros bons desse tipo EM INGLS, mas sao muuito caros na Amazon.com. Alguma sugesto? []'s - Leonardo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Topologia
Ola Leonardo e Colegas da Lista, Saudaes ! O Livro "Espaos Metricos" da Coleo Projeto Euclides, do Prof Elon Lages Lima, - assumidamente pelo autor - uma introduo a Topologia. No livro h interessantissimos exercicios e voce comea a olhar o Calculo por uma nova perspectiva, com a introduo na noo geral e abstrata de distancia. Esse mesmo autor tem outro livro "Introduo a Topologia Geral", no sei de qual coleo, mas o livro me pareceu ser um aprofundamento do anterior... A topologia realmente um tema apaixonante... Voce pensa com o minimo possivel de construoes conceituais e artificialismos. At parece que ela quer falar sobre o que ha de mais basico e fundamental na matemtica ... Um outro livro que mostra resultados inesperadas e empolgantes : Aplicaes da Topologia a Anlise. da Coleo Projeto Euclides (Essa coleo parece ser muito boa !). O autor Chain Samuel Honig ou um outro nome parecido com esse. Um problema que comumente dizem ser de topologia o famoso problemas das sete pontes. Um outro, que no exige conhecimento algum, o seguinte : Seja ABCD um retangulo (Lado horizontal superior = CD). Sobre ABCD, tomando CD como base, construa um outro retangulo CDEF, identico a ABCD. Divida ABCD em TRES retangulos iguais, trancando dois segmentos verticais GH e IJ, de mesmo comprimento que qualquer dos lados verticais de ABCD. Divida CDEF em DOIS retangulos iguais, tracando um segmento vertical KL, de mesmo comprimento que qualquer dos lados verticais de CDEF. Surge uma figura formada por cinco regioes : duas em cima, tres embaixo. chamemos de ARESTA qualquer segmento ( vertical ou horizontal ) delimitado por letras ( os extremos so letras ) e no interior do qual no h outras letras. Mostre que : Partindo do exterior da figura no e possivel tracar uma linha que corte cada uma das arestas apenas uma vez. Um abrao a Todos Paulo Santa Rita 4,2322,17042001 From: "Leonardo Motta" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Topologia Date: Tue, 17 Apr 2001 21:28:46 -0300 Ola', Sera' q alguem poderia me indicar um livro bom para um primeiro contato com a Topologia? Um livro de introduo e panorama geral do assunto... Encontrei alguns livros bons desse tipo EM INGLS, mas sao muuito caros na Amazon.com. Alguma sugesto? []'s - Leonardo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Campeonato de ... Domino ?
Ola Colegas da Lista,
Saudacoes a Todos !
Outro dia, vendo algumas pessoas jogarem Domino, percebi que as regras deste
jogo, se devidamente modificadas, podem ser usadas na resolucao de alguns
problemas matematicos interessantes ...
Pensei pois que nao seria de todo desinteressante mostrar a voces um dos
resultados que consegui
Para que possamos ver como e possivel esta aplicacao, adotarei as seguintes
convencoes :
1) As pedras do jogo so sequencias literais, formadas com letras
#8220;A#8221;, #8220;B#8221; e #8220;C#8221;.
2) Todas as pedras do jogo devem ter a mesma quantidade de letras
3) Na composicao de uma pedra podemos repetir ou/e omitir uma ou mais
letras.
4) Cada pedra construida representa um numero, dado pela soma entre o triplo
de letras #8220;A#8221; e a quantidade de letras #8220;B#8221;
5) Em qualquer pedra a quantidade letras #8220;A#8221; no pode ser menor
que a quantidade de letras #8220;C#8221;.
Exemplo : A sequencia {AAABBC} e uma pedra. Ela representa o numero 3*3 + 2
= 11.
As pedras deste domino podem ser combinadas da seguinte maneira :
1) Superpondo uma letra #8220;B#8221; de uma nova pedra com uma letra
#8220;B#8221; de outra pedra, j existente.
2) Superpondo uma letra #8220;A#8221; de uma nova pedra com uma letra
#8220;C#8221; de outra pedra, j existente.
3) Superpondo uma letra #8220;C#8221; de uma nova pedra com uma letra
#8220;A#8221; de outra pedra, j existente.
Apos combinarem a quantidade de letras que toda pedra devera Ter, o jogo
segue da seguinte forma :
1) O primeiro jogador monta a primeira pedra. Esta pedra e chamada base. A
base e arbitraria, mas deve Ter, ao menos, duas letras #8220;B#8221; e
duas letras #8220;C#8221;.
2) O segundo jogador monta uma nova pedra, combinando-a com a base
3) O primeiro jogador monta uma nova pedra, combinando-a com as duas j
existentes.
4) Repetem-se as montagens alternadas. Cada nova pedra montada deve combinar
com todas as que j existem e representar um numero maior ou igual ao da
base.
5) O jogo termina quando no for possivel montar mais pedras. Vence o jogo o
jogador que montou mais pedras.
As #8220;pedras#8221; podem ser feitas de tiras de papelao. Deixa-se as
casas ( pequenos quadrados, em fila indiana ) em branco. A cada jogada o
jogador apanha uma tira e preenche as casas com as letras que achar mais
conveniente.
Um problema Matematico interessante e o seguinte :
Partindo de uma base dada, quantas tiras eu devo fazer de forma que no
falte material para os jogadores montarem suas pedras ( incluindo ai a pedra
base ) ?
Isso significa que precisamos determinar qual a quantidade maxima de pedras
que podem ser usadas em uma partida, vale dizer, a quantidade maxima de
pedras que podemos montar de forma que duas a duas estejam combinadas entre
si e com a base, todas representando um numero maior ou igual ao
representado pela base.
Esta questao me pareceu interessante porque envolve aspectos combinatoriais
e numericos.
Eu descobri o seguinte,
TEOREMA : Se representarmos por #8220;D#8221; a quantidade de letras
#8220;C#8221; e por #8220;E#8221; a quantidade de letras #8220;B#8221;
que existem na pedra base, entao a quantidade maxima de tiras que e preciso
fazer e #8220;2*D + E + 1#8221;.
( Incluindo a tira da pedra base )
O jogo tem seus atrativos, A demonstracao do teorema e simples. O teorema
pode ser aplicado em outras circunstancias, permitindo o equacionamento de
problemas dificeis ...
A desigualdade : 2*D + E + 1 = C. E um destes equacionamentos.
Um abraco
Paulo Santa Rita
3,1150,10042001
_
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Re: Campeonato de ... Domino ? ( Correcao )
Ola Colegas.
Esqueci de acrescentar a seguinte regra de combinacao :
4) Quando superpomos uma letra sobre outra, nenhuma destas duas
letras podera ser novamente superposta por outra.
Desculpas !
Aproveitando a aportunidade, gostaria de acrescentar que os aspectos que
podem parecer por demais arbitrarios, como :
1)O numero que uma pedra representa e tres vezes a quantidade de letras "A"
mais a quantidade de letras "B". (Por que nao : cinco vezes a quantidade de
letras "A" mais o dodbro da quantidade de letras "B". Certo ? )
2)Em qualquer pedra, a quantidade de letras "A" nao pode ser menor que a
quantidade de letras "C" ( Por que esta limitacao ? )
3)A pedra base de ter, no minimo, duas letras "B" e duas letras "C"
(Por que esta regra ? )
Sao derivados do contexto onde nasce o problema.
Na regra 1)"A" e o indicativo de vitoria,"B" de empate. O numero e o total
de pontos ganhos.
Na regra 2)Esta regra e fruto de um outro teorema que eu encontrei :
Teorema 2 : Se a quantidade de vitorias for inferior a quantidade de
derrotas entao o clube nao tem colocacao garantida.
Na regra 3)Uma pedra base s com letras "A" nao permitiria o jogo comecar.
O problema de contexto e (Problema "Iolanda/Josimat") :
N+1 clubes disputam um campeonato, composto de dois turnos. Classificam-se
para o segundo turno os C clubes com melhor pontuacao. No prmeiro turno
quaisquer dois clubes jogarao entre si uma unica vez:
1)Uma vitoria confere 3 pontos
2)Um empate da 1 ponto
3)Uma derrota nao confere pontos
Qual a quantidade minima de pontos que um clube de fazer no primeiro turno
de forma a estar entre os C primeiros classificados.
Eu apresentei uma solucao geral, acho que bastante sintetica e entao muitas
pessoas me escreveram pedindo esclarecimentos. Foi ai que vendo o jogo de
domino eu vislumbrei uma forma de torna clara a minha ideia.
Este problema pode ser equacionado, como segue :
(V e a quantidade de Vitorias, E a quantidade de empates e D a quantidade de
derrotas )
2*D + E + 1 = C
3*D + 2*E maximo.
Traduzindo : dentre todos os pontos (D,E) que satisfazem a inequacao "2*D +
E + 1 = C" encontre aquele que torna a expressao 3*D + 2*E maxima.
SE MAIS UM PONTO TORNA "3*D + 2*E" MAXIMO, TODOS DEVEM SATISFAZER A
INEQUACAO 2*D + E + 1 = C.
"C" e a quantidade de vagas para o 2 turno.
Achando o maximo expresso por 3*D + 2*E ( chamarei de MAX), o minimo de
pontos e:
MIN_PON = 3*N - MAX
N e o numero de jogos.
O TEOREMA 2 sai do fato : 2*D+E+1 V+D+E+1 = D V. Pois "V+E+D+1" e a
quantidade de clubes que disputam o 1 turno.
Um abraco
Paulo Santa Rita
3,1441,10042001
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Subject: Campeonato de ... Domino ?
Date: Tue, 10 Apr 2001 15:00:14
Ola Colegas da Lista,
Saudacoes a Todos !
Outro dia, vendo algumas pessoas jogarem Domino, percebi que as regras
deste jogo, se devidamente modificadas, podem ser usadas na resolucao de
alguns problemas matematicos interessantes ...
Pensei pois que nao seria de todo desinteressante mostrar a voces um dos
resultados que consegui
Para que possamos ver como e possivel esta aplicacao, adotarei as seguintes
convencoes :
1) As pedras do jogo so sequencias literais, formadas com letras
#8220;A#8221;, #8220;B#8221; e #8220;C#8221;.
2) Todas as pedras do jogo devem ter a mesma quantidade de letras
3) Na composicao de uma pedra podemos repetir ou/e omitir uma ou mais
letras.
4) Cada pedra construida representa um numero, dado pela soma entre o
triplo de letras #8220;A#8221; e a quantidade de letras #8220;B#8221;
5) Em qualquer pedra a quantidade letras #8220;A#8221; no pode ser menor
que a quantidade de letras #8220;C#8221;.
Exemplo : A sequencia {AAABBC} e uma pedra. Ela representa o numero 3*3 + 2
= 11.
As pedras deste domino podem ser combinadas da seguinte maneira :
1) Superpondo uma letra #8220;B#8221; de uma nova pedra com uma letra
#8220;B#8221; de outra pedra, j existente.
2) Superpondo uma letra #8220;A#8221; de uma nova pedra com uma letra
#8220;C#8221; de outra pedra, j existente.
3) Superpondo uma letra #8220;C#8221; de uma nova pedra com uma letra
#8220;A#8221; de outra pedra, j existente.
Apos combinarem a quantidade de letras que toda pedra devera Ter, o jogo
segue da seguinte forma :
1) O primeiro jogador monta a primeira pedra. Esta pedra e chamada base. A
base e arbitraria, mas deve Ter, ao menos, duas letras #8220;B#8221; e
duas letras #8220;C#8221;.
2) O segundo jogador monta uma nova pedra, combinando-a com a base
3) O primeiro jogador monta uma nova pedra, combinando-a com as duas j
existentes.
4) Repetem-se as montagens alternadas. Cada nova pedra montada deve
combinar com todas as que j existem e representar um numero maior ou igual
ao da base.
5) O jogo termina quando no f
O que é um Domino ?
Ola Colegas da Lista e,
Professores.
Suponham um campeonato qualquer. Ao fim de qualquer rodada, atribuimos a
cada participante do campeonato que participou da rodada uma letra,
indicativa do resultado que obteve: A, se venceu, B, se empatou e C se
perdeu.
Claramente que isso implica que ao fim do campeonato esta associado a cada
participante uma sequencia de letras, uma pedra de domino.
O que um Domino ?
Vimos que podemos representar alguns problemas interessantes atraves de
pedras de Domino. Um Domino parece ser um objeto digno de estudo.
Claramente que ele nao e um vetor. Todavia, como um vetor, ele tem uma norma
(O numero representado pelo domino). Afora isso, as letras que o compoe
podem ser usadas para representar eventos, ao quais podemos atribuir pontos.
E portanto um objeto com:
1) Modulo (o numero que representa)
2) extensao ( a quantidade de partidas)
3) Regras de combinacao.
As relacoes entre o seu modulo (pontos ganhos), extensao (numero dde jogos)
e as combinacoes respondem a questoes objetivas e bem precisas que podemos
formular.
Volto a perguntar : formalmente, o que e um domino ?
Considere o seguinte problema:
Ao longo de um campeonato de futebol, muitos clubes se classificam antes (
as vezes, bem antes )da ultima rodada. Outros, estao desclassificados tambem
antes da ultima rodada. Nestes dois casos ha um desinteresse tanto por parte
dos ja classificados quanto dos que ja estao desclassificados, tornando o
campeonato desinteressante.
Um campeonato ideal seria aquele em que ate a ultima rodada ( ou proximo
dela ) nao houvesse clubes com classificacao garantida ( ou clubes com
desclassificacao garantida ). UM CAMPEONATO ASSIM SERIA UM CAMPEONATO MAIS
EMOCIONANTE QUE OS ATUAIS ! ISSO E BOM !
Seria possivel, usando a representacao por dominos, resolver este problema e
tornar os nossos campeonatos mais inteligentes e emocionantes ?
1) Encontre a melhor (ou uma boa) definicao de campeonato emocionante,
considerando a nocao de colocacao garantida ("2*D+E+1" e a colocacao
garantida para um clube com D derrotas e E empates ) e as razoes
apresentadas acima.
2)atribua a derrota ( atualmente D=0, uma derrota nao confere pontos ), ao
empate(atualmente E=1, um empate confere 1 ponto) e a vitoria (atualmente,
V=3, uma vitoria vale 3 pontos )novos pesos, de forma que a definicao
encontrada em 1) seja factivel.
Um abraco
Paulo Santa Rita
3,1532,10042001
_
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Re: Ajuda
Ola Carlos Shine,
Amigos da Lista.
O seu contra-exemplo nao serve porque e justamente isso que o Duda ( Eduardo
Casagrande Stabel ) esta conjeturando : que "1 - (An/An+1)" sempre DIVERGE.
O seu "Contra-Exemplo" apenas reforca as suspeitas do Duda ( Que sem duvida
deve ter percebido a conversao a serie harmonica ).
Nao vou fazer a questao, mas dou uma ideia :
1)Suponha que para alguma sequencia (A1,A2,...), nao decrescente e com Lim
An=+INF
2) a serie {1 - (An/An+1)} converge.
3) entao, necessariamente, Bn=1 - (An/An+1) teve ter limite zero.
4) Ou seja : lim An/An+1=1
3) Mostre que uma tal suposicao conduz a algum absurdo com as hipoteses que
temos que admitir em 1)
Um abraco
Paulo Santa Rita
7,1502,07042001
From: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Ajuda
Date: Fri, 6 Apr 2001 20:24:43 -0700 (PDT)
Este fato no verdadeiro. Tome a seqncia a_n=n.
Temos Lim n = +infinito e 1 - n/(n+1) = 1/(n+1).
conhecido que a srie SOMA(1/(n+1)) diverge. Tente
demonstrar isso.
[]'s
Carlos Shine
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
Resolvendo um exercicio do livro Analise Real do E.
L. Lima eu cheguei a um resultado que acho que eh
verdadeiro, mas estou com dificuldades para
analisa-lo, e nao consigo dar contra-exemplos.
Se (a_1, a_2, ...) eh uma sequencia
nao-decrescente e Lim(a_n) = +INFINITO, entao a
serie SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) } diverge.
Por favor, se tiverem alguma dica, digam!
Eduardo Casagrande Stabel.
__
Do You Yahoo!?
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Re: Livro de inversões
Ola Rodrigo, Tudo bem ? O Livro de Geometria do Ilustre Prof Eduardo Wagner trata deste tema, indiretamente. Todavia, parece que o Prof esta apresentando uma nova verso de sua obra, mais ampla e geral. Existe uma edio da revista Eureka ( no sei o numero ) na qual o Prof Paulo Cesar fala sobre isso, inclusive explicando o logotipo da OBM e outras coisas. Tambem parece que o Prof Ralph andou dando aula sobre estas coisas : pode ser que ele tenha publicado ( ou vai publicar ) estas aulas ... Um Livro que trata isto sem usar complexos e de um ponto de vista verdadeira superior e que me parece completo e: Geometria Superior Nikolay Efimov Editora Mir este livro Fantastico ! Um abrao Paulo Santa Rita 6,2232,06042001 From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "Obm" [EMAIL PROTECTED] Subject: Livro de inverses Date: Fri, 6 Apr 2001 21:44:41 -0300 Algum poderia me indicar um livro que contenha algo sobre inverses ( geometria ), mas que no trate o assunto com variveis complexas ?? Desde j, agradeo. Villard! _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: livros - conselhos
Ola Jaime e Colegas da Lista, Saudacoes Cordiais a Todos ! O livro de Calculo Ideal depende do Curso que voce vai fazer. Em cursos que exigem pouco preparo matematico, o Livro do Leithold me parece excelente ... Voce, todavia, faz esta pergunta numa "Lista de discussao de Problemas de Matematica". Deve portanto estar buscando algo mais que decorar formulas e resolver questoes triviais. Certo ? Se e assim, entao os Livros do Piskonov, do Guidorizzi e do Apostol sao bons. Eles nao abordam muitas aplicacoes, mas tem o ideal de fundamentarem com rigor aquilo que ensinam, sendo portanto indicados para um curso de Matematica ou Afim. Voce vai encontrar muitos exercicios interessantes no Granville. Fazer exercicios interessantes e desafiadores e fundamental ! Existem livros somente de exercicios em Analise. Nao me lembro o nome agora. Independente de tudo isso e muito mais importante e a postura que voce assume em face um livro qualquer. Um livro bom na mao de um cara pusilanime, e uma vela fraca. Um livro mediano, na mao de um cara decidido, e um farol ... 1) Procure um livro (no seu caso, de Calculo) que, por consenso, e considerado bom. 2) Leia o Livro imaginando que voce esta em uma sala de aula. Faca perguntas portanto ( anote as perguntas ), refaca as demonstracoes, resolva todos os exercicios. 3)Considerando cada definicao, procure ver se e possivel redefinir de outra forma. Considerando cada demonstracao, veja se consegue demonstrar de outra forma. Generalize, tanto quanto possivel, os exercicios. 4)As perguntas anotadas no item 2) provavelmente lhe levarao a pesquisas em bibliotecas e a outros livros. Isso aprofundara sua compreensao. 5) Apos a "clara compreensao" obtida em 4), relacione o que aprendeu com outros ramos da matematica que voce ja conhece. Tente ir alem de tudo que ja viu. OBS1 : se voce partir de um livro fraco o passo 4) deve te levar a um livro forte. Se o livro de partida for forte, o passo 4) lhe levara a disciplinas que voce ainda vai estudar ou a assuntos so abordados em pos-graduao. Por que parar ? Isso tambem mostra que partir de um livro forte e fundamental. OBS2 : No inicio pode parecer dificil estudar com tanta meticulosidade e determinacao. Todavia, com o passar do tempo voce adquire desenvoltura nestas coisas e tudo passa a ser natural. OBS3: Muitos temas obscuros em todos os livros so sao devidamente esclarecidos consultando obras sobre a Historia da Matematica. Exemplo : lim(1 + 1/x)^x e igual a "e", quando x tende ao infinito. Foi bernoulli que propos isso pela primeira vez, abordando um problema de juros compostos. Foi Abel que provou que vale tambem para os racionais e nao so para os naturais. Voce dificilmente vai encontrar esta prova de Abel em "Livros Tradicionais" de Calculo, por melhor que sejam. A tecnica adotada por Abel pode ser extendida para outras provas mais interessantes ( Neste ponto voce ja teria ido, neste particular, muito alem do que os livros ensinam ... ) Um Abraco pra voce Paulo Santa Rita 1,01042001,1311 Estudar me parece uma aventura : a principal aventura que todo homem deve experienciar. (Autor desconhecido - Macthu ) iniciarei um curso de clculo e venho pedir sugestes quanto ao livro que devo adquirir. muitas lendas ouvi sobre diversos livros: apostol, leithold, thomas, swokowsky, guidorizzi, simmons, numem, penney, boulos e piskonov, entre outros. disseram-me que o leithold um livro que contm conceitos errados e outros aspectos negativos. gostaria de receber comentrios sobre estes tpicos e saber se o fato de um livro de clculo no abordar geometria analtica prejudica o curso de alguma maneira e tambm, se algum livro possui traduo falha. desde j, grato. jaime _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Woods
Ola Leonardo,
Eu conheco o Livro e vou tedizer onde voce ira encontra-lo : Livraria So
Jose, na rua do Carmo. Haviam dois exemplares a cerca de 2 meses atras. No
sei se ainda estao la. um sebo de livros velhos e usados. O 2 andar e
totalmente dedicado a matematica superior.
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,02042001,1109
From: "Leonardo Motta" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Woods
Date: Sun, 1 Apr 2001 20:57:55 -0300
Alow :)
Sera' q alguem da' lista sabe ou jah ouviu falar do livro "Calculo
Avancado"
("Advanced Calculus") de Woods (?)? Eu nao consigo achar referencias sobre
esse livro, exceto q ele foi citado pelo R.P. Feynman nas memorias dele.
Feynman fala muito bem desse livro, diz que fora um diferencial p/ ele.
Sera' q alguem conhece alguma edicao do livro?
_
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Re: Incertezas
Ola Bruno, O Livro : "Fundamentos da Teoria dos Erros" Jos Henrique Vuolo Editora Edgard Blucher Tem tudo que voce esta procurando e algumas coisas mais. um livro elementar que s exige rudimentos de Calculo. Eu comecei a me interessar por estas coisas quando a Prof de Fisica Experiemental "deu" as formulas para aplicar o metodo dos minimos quadrados mas no justificou matematicamente porque elas funcionavam. S me restou partir para a pesquisa e estudo solitario. O livro acima me parece bom. Eu nao tenho conhecimentos suficientes para te dizer se um dos melhores ... Cobre, entretanto, as necessidades basicas. Um abrao Paulo Santa Rita 2,02042001,1755 Um abrao Paulo Santa Rita 2,02042001,1750 From: "Bruno Woltzenlogel Paleo" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBMList" [EMAIL PROTECTED] Subject: Incertezas Date: Mon, 2 Apr 2001 17:19:31 -0300 Ol, Alguem conhece algum site ou livro que explique bem o porque daquelas formulas de incertezas (desvio padro, propagao de erros) serem como so? At mais... Bruno Woltzenlogel Paleo [EMAIL PROTECTED] UIN-77325094 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Pergunta
Ola Wsf,
O caminho que voce divisou parece ser bom ... Ele te levara
a uma solucao sintetica e geral da questao. Confesso que nao
consigo ver uma maneira mais elegante de abordar o problema.
Presta bem atencao ao seu raciocinio e voce vera que tem
todos os elementos para provar o belo
LEMA : Se N nao e um quadrado perfeito, entao a quantidade
de maneiras de representa-lo por um produto de ate dois
fatores maiores que a unidade e igual a metade da quantidade
de seus divisores proprios.
Voce ja descobriu (fez o mais importante !). Sem querer
estragar a sua alegria, uma maneira de provar o lema acima
poderia ser :
Seja N=(P1^E1)*(P2^E2)*...*(Pn^En) um natural que nao e
quadrado perfeito. Sabemos que
D=(E1 + 1)*(E2 + 1)*...*(En + 1)
e a quantidade de seus divisores. Neste numero, D, estao
computados os divisores 1 e N. Retirando estes divisores
atraves de "D - 2", teremos a quantidade de seus DIVISORES
PROPRIOS. Seja E este conjunto de divisores proprios.
Agora, chamando raiz_2(N) a raiz quadrada de N, vamos fazer
uma cisao no conjunto E, gerando os conjunto A e B :
A={ X/X pertence a E e X raiz_2(N) }
B={ X/X pertence a E e X raiz_2(N) }
Como N nao e quadrado perfeito, raiz_2(N) nao e racional e,
portanto, nao pertence a A e nem a B. Por outro lado,
claramente que "A uniao B = E".
Agora note que se "Y pertence a A", entao existe um unico
"Z pertencente a B" tal que Y*Z=N. De fato : se supormos
que "Z pertence a A" entao Y*Z raiz_2(N)*raiz_2(N) = N,
um evidente absurdo, pois deve ser Y*Z = N.
A funcao que associa a cada "Y pertence a A" um "Z pertencente
a B" tal Y*Z=N e evidentemente uma bijecao de A em B, vale
dizer, os conjuntos A e B tem a mesma cardinalidade.
Esta cardinalidade e evidentemente a quantidade de maneiras
de se representar N como produto de dois fatores ( sem se
importar com a ordem ). Assim, representando por F(p) o numero
de maneiras de se representar N como produto de P fatores :
F(2) = (D - 2)/2 = (D/2) - 1
Como F(1)=1 para qualquer N, entao :
F(1) + F(2) = D/2. E isto prova o LEMA tal COMO QUERIAMOS
DEMONSTRAR.
Com base no LEMA acima fica facil extender as coisas para o
caso de um N qualquer, mesmo ele sendo quadrado perfeito.
Basta voce observar que se N for quadrado perfeito a cisao
que fizemos no conjunto E ira excluir o fator raiz_2(N), que
corresponde ao produto raiz_2(N)*raiz_2(N).
Use [M] (O maior inteiro que nao supera M) sobre D (ou sobre
uma expressao simples com D) e apresente um TEOREMA
absolutamente geral, para qualquer N natural.
E o caso de tres fatores ?
Neste caso a tecnica e a mesma, vale dizer, existe uma
relacao simples entre a quantidade de divisores e o numero
de maneiras de se representar um numero como produto de
tres fatores. Voce nao podera mais, entretanto, retirar apenas
os divisores 1 e N, trabalhando posteriormente apenas com
os divisores proprios. Vai ter que retirar todo divisor Z tal
que N/Z e um fator primo (elevado a um ) de N, pois estes
divisores nao permitem uma representacao da forma X*Y*Z ( pois
voce nao pode decompor um fator primo !)
Espero ter te ajudado, te motivado, sem ter estragado a alegria
de criar e descobrir... Eu procurei apenas esbocar um caminho
que voce ja descobriu e que me parece sintetico e elegante.
Um Grande Abraco pra Voce
Paulo Santa Rita
4,2048,07032001
So para tirar uma duvida.
ii. Quando o numero de multiplos e impar, fazemos o seguinte calculo:
[n(M)+1]/2, quando for par n(M)/2. Com isso temos todas as possibilidades
para os valores usando apenas 2 dos 3 espacos das questao.
Por isso que estou enviando esse e-mail, existe alguma formula para
determinarmos as possibilidades para o 3 espaco? Caso sim, basta, somar as
possibilidades usando 2 espacos com as possibilidades usando 3 espacos.
E isso ai, espero que alguem me ajude. Obrigado desde ja.
_
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Re: fatoracao ( correcao )
Estou corrigindo a mensagem abaixo From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: fatoracao Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47 Ola Josimat e demais Colegas da Lista. A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega chegou truncada ... Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero como um produto de tres fatores. E isso ? O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e irrelevante ... Se for assim : 1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que a unidade a quantidade exata de tres fatores ? Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ... 2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se procura ? Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares parece ser impraticavel ... Para ver isso, note que A) se N for primo entao: "N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto 1 (um) para um numero primo. B) se N for um quadrado perfeito: Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores seria : AQUI : T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1 O CERTO E: T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1 A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL. Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema bem mais simples, talvez trivial. A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em todas as comunicacoes cientificas ... "Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !" Renne Descartes Um Abraco Josimat Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 2,0249,05032001 From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: fatoracao Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300 De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: ime 2001
Ola Prof Morgado, Ola Colegas da Lista : Eu nao escrevi antes, alertando-o que a solucao pelo pequeno Teorema de Fermat havia sido apresentado na segunda solucao (2 FORMA), porque imaginei que a mensagem chegara truncada a sua maquina. Vejo que me enganei. A solucao pelo Teorema de Fermat foi a primeiro que veio a minha mente, mas, dado o nivel da questao, preferi iniciar com uma solucao onde nao se falava em congruencias ... Para os colegas da Nossa Lista que nao conhecem este Teorema de Fermat ao qual o Ilustre Prof Morgado se refere, registro que se "==" for lido como "e congruente a", entao vale : (Teorema de Fermat )Se P e um numero primo e P nao divide A, entao: A^(P-1) == 1 (MOD P) Claramente que isto implica que "A^(P-1) - 1" e divisivel por P. Pode-se deduzir muitas implicacoes elementares deste teorema ... A questao em foco, apresentada pelo colega Falows, e uma delas. Apresento (mais) uma solucao, a "Solucao Burocratica" : SOLUCAO DO BUROCRATA : Seja L(K)=K^5 - K. Vemos que L(0)=0 : divisivel por 5, portanto. Admitamos, pois, que L(K)=K^5 - K seja divisivel por 5. Entao : L(K+1)=(K+1)^5 - (K+1) L(K+1)=K^5 + 5K^4 + 10K^3 + 10K^2 + 5K + 1 - K - 1 L(K+1)=(K^5 - K) + 5(K^4 + 2K^3 + 2k^2 + K) Portanto, suponto L(K) divisivel por 5, segue obrigatoriamente que L(K+1) tambem e, pois e formato pela soma das parcelas K^5 - K=L(K) que, por hipotese de inducao, e divisivel por 5 e 5(K^4 + 2K^3 + 2k^2 + K) que e evidentemente divisivel por 5. Logo, pelo Principio da Inducao Finita (1 FORMA), L(K) e divisivel por 5 para todo inteiro K = 0. Seja agora P=-K, K inteiro e maior que zero. entao: L(P)=(-K)^5 - (-K)= -K^5 + K = -(K^5 - K) E vemos assim que K^5 - K e divisivel por 5 para qualquer inteiro ( nao so os inteiro naturais ). Um Grande Abraco Prof Morgado Um Grande Abraco a Todos Paulo Santa Rita 1,1140,04032001 From: Augusto Morgado Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: ime 2001 Date: Sun, 04 Mar 2001 10:40:55 -0300 To maluco! Consegui nao ler a segunda soluao. Desculpem. Morgado Augusto Morgado wrote: Alem dessas (otimas) soluoes, para mostrar a divisibilidade por 5 poder-se-ia usar (eis o canhao matando uma mosca) o Pequeno Teorema de Fermat. Paulo Santa Rita wrote: Ola Falows e Amigos da Lista, Se o algarismo das unidades de "K^5" e de "K" sao iguais, entao a diferenca "K^5 - K" termina em zero, vale dizer : ela e multiplo de dez. Claramente que "K^5 - K" e multiplo de dois, qualquer que seja o natural "K". Para ver isso, note que se supormos que "K" e par, entao "K^5" sera necessariamente par e, portanto, a diferenca "K^5 - K" sera do tipo "par - par" que e par; por outro lado, supondo "K" impar, "K^5" sera impar e ,neste caso, diferenca "K^5 - K" sera do tipo "impar - impar" que e par. Resta provarmos que "K^5 - K" e tambem multiplo de cinco. Existe uma grande quantidade de formas de se fazer isso ... 1 FORMA ( Estilo "Aluno de 8 serie ) : Se "K" for multiplo de cinco, entao o fato de "K^5 - K" poder ser colocado na forma K(K^4 - 1) mostra que esta diferenca tambem e multiplo de cinco. Se "K" nao for multiplo de cinco, entao, pelo algoritmo da divisao, ele podera ser colocado na forma 5*q + r, com 0 r 5. Como : K^5 - K = K(K^4 - 1) = K(K^2 - 1)(K^2 + 1) K^5 - K = K(K - 1)(K + 1)(K^2 + 1) Se r=1, "K^5 - K" se transformara em (5p+1)*5p*(5p+2)[(5p+1)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=4, "K^5 - K" se transformara em (5p+4)*(5p+3)*(5p+5)*[(5p+4)^2 + 1] 5*(5p+4)*(5p+3)*(p+1)*[(5p+4)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=2 ou r=3 o fator "K^2 + 1" ira se transformar, respectivamente, em (25p^2 + 20p + 5) =5*(5p^2 + 4p +1) e (25p^2 + 30p + 10)=5*(5p^2 + 6p + 2), ambos multiplos de 5 ! Esgotadas as hipoteses possiveis sobre r, so nos resta admitir que "K^5 - K" e sempre multiplo de 5. 2 FORMA ( Estilo "Sintetico - Como eu faria" ) : Vemos que K^5 - K = K(K^4 - 1). Se K for multiplo de 5, claramente que K(K^4 - 1) tambem sera. Se nao for, entao, pelo teorema de Fermat, K^4 e congruo a 1 modulo 5 e, portanto, K^4 e 1 deixam o mesmo resto quando dividos por 5 e, assim, k^4 - 1 e multiplo de 5. 3 FORMA ( Estilo "Rolo compressor" ) E como voce fez, listando, pelo que entendi, todas as possibilidades de combinacoes. E valido. Nota : Existe um teorema ( das quatro cores ) cuja primeira prova consistiu em exibir todas as combinacoes possiveis ... Muitas pessoas nao aceitam tal prova, outras aceitam ... Em minha opiniao ( fraca, em face do que podem dizer os Grandes Professores que orientam Nossa Lista ), um
Re: fatoracao
Ola Josimat e demais Colegas da Lista. A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega chegou truncada ... Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero como um produto de tres fatores. E isso ? O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e irrelevante ... Se for assim : 1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que a unidade a quantidade exata de tres fatores ? Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ... 2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se procura ? Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares parece ser impraticavel ... Para ver isso, note que A) se N for primo entao: "N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto 1 (um) para um numero primo. B) se N for um quadrado perfeito: Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores seria : T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1 A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL. Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema bem mais simples, talvez trivial. A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em todas as comunicacoes cientificas ... "Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !" Renne Descartes Um Abraco Josimat Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 2,0249,05032001 From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: fatoracao Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300 De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: ime 2001
Ola Falows e Amigos da Lista, Se o algarismo das unidades de "K^5" e de "K" saoiguais, entao a diferenca "K^5 - K" termina emzero, vale dizer : ela e multiplo de dez. Claramente que "K^5 - K" e multiplo de dois,qualquer que seja o natural "K". Para ver isso,note que se supormos que "K" e par, entao "K^5"sera necessariamente par e, portanto, a diferenca"K^5 - K" sera do tipo "par - par" que e par; poroutro lado, supondo "K" impar, "K^5" sera impar e,neste caso, diferenca "K^5 - K" sera do tipo"impar - impar" que e par. Resta provarmos que "K^5 - K" e tambem multiplode cinco. Existe uma grande quantidade de formasde se fazer isso ... 1 FORMA ( Estilo "Aluno de 8 serie ) :Se "K" for multiplo de cinco, entaoo fato de "K^5 - K" poder ser colocado na formaK(K^4 - 1) mostra que esta diferenca tambem e multiplo de cinco. Se "K" nao for multiplo decinco, entao, pelo algoritmo da divisao, ele podera ser colocado na forma 5*q + r, com 0 r 5. Como : K^5 - K = K(K^4 - 1) = K(K^2 - 1)(K^2 + 1) K^5 - K = K(K - 1)(K + 1)(K^2 + 1) Se r=1, "K^5 - K" se transformara em(5p+1)*5p*(5p+2)[(5p+1)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=4, "K^5 - K" se transformara em(5p+4)*(5p+3)*(5p+5)*[(5p+4)^2 + 1]5*(5p+4)*(5p+3)*(p+1)*[(5p+4)^2 + 1] ...Multiplo de 5 ! Se r=2 ou r=3 o fator "K^2 + 1" ira setransformar, respectivamente, em (25p^2 + 20p + 5) =5*(5p^2 + 4p +1) e(25p^2 + 30p + 10)=5*(5p^2 + 6p + 2), ambos multiplos de 5 ! Esgotadas as hipoteses possiveis sobre r, so nos resta admitir que "K^5 - K" e sempremultiplo de 5. 2 FORMA ( Estilo "Sintetico - Como eu faria" ) : Vemos que K^5 - K = K(K^4 - 1). Se K formultiplo de 5, claramente que K(K^4 - 1) tambem sera. Se nao for, entao, pelo teoremade Fermat, K^4 e congruo a 1 modulo 5 e,portanto, K^4 e 1 deixam o mesmo resto quandodividos por 5 e, assim, k^4 - 1 e multiplo de 5. 3 FORMA ( Estilo "Rolo compressor" ) E como voce fez, listando, pelo que entendi,todas as possibilidades de combinacoes. E valido. Nota : Existe um teorema ( das quatro cores )cuja primeira prova consistiu em exibir todasas combinacoes possiveis ... Muitas pessoas naoaceitam tal prova, outras aceitam ... Em minhaopiniao ( fraca, em face do que podem dizer osGrandes Professores que orientam Nossa Lista ),uma "Prova por Enumeracao" e um indicativo da falta de algum(ns) conceito(s) do(s) qual(is)o fato provado por enumeracao possa ser derivadocomo consequencia logica ! 4 FORMA ( Estilo "indutor" ) A praxis seria supor que "P^5 - P" (K=P) e divisivel por 5 e mostrar que para (K=P+1) obrigatoriamente tambem seria. Nao vou fazer, mas tenho certeza que e tao simples como todosos outros casos ... Eu acho que esta bom, mas neste momento estou vendo duas outras formas diferentes de chegara este resultado ... Isto mostra a simplicidadeda questao e a riqueza das tecnicas matematicas. Um Grande Abraco pra voceUm Grande abraco pra todos os colegas da lista Paulo Santa Rita6,1158,02032001 Nota : Existe um Teorema ( das quatro cores ) em que a prova From: "Exercicio~®" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: ime 2001 Date: Fri, 02 Mar 2001 00:27:53 -0300 Olá pessoal! Essa questão foi do último vestibular do ime. Alguém poderia apresentar uma resolução formal para essa questão? ( IME - 2001 ) Prove que para qualquer número inteiro K, os números K e K^5 terminam sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades). Eu faria assim: K = R_n onde n varia de 0 a 9 e R é qq número inteiro. K = R_0 K^5 = R_0 × R_0 × R_0 × R_0 × R_0 = T_0, onde T é qq número inteiro K = R_1 K^5 = R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 = T_1, onde T é qq número inteiro. K = R_2 K^5 = R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 = T_2, onde T é qq número inteiro. . . . . . . K = R_9 K^5 = R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 = T_9, onde T é qq número inteiro. Agora fica a minha dúvida: Se num problema de demostraçao, caso eu consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja viável, como nesse problema) para tal demostraçao, eu preciso necessariamente utilizar variáveis literais? No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 até R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu coloquei entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo.. Obrigado. Falow's Exercicio~® http://members.nbci.com/exercicio ICQ # 102856897 Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Duas Questoes interessantes !
formulas derivaveis sao simples e evidentes e deixo pra voce concluir. NOTA1 : A funcao CG(H) implica em questoes combinatorias muito belas ... Comece considerando historicos que tem somente empates e vitorias. Se E e o total de empates o numero de historicos iguais e "E+1". Para clubes que so tem vitorias e derrotas, o numero de historicos iguais e "2*V+1" ( se V D ) ou 2*D + 1 ( se D V ). Em qualquer outro caso use uma combinacao destes casos. NOTA2 : Existe um numero de pontos abaixo do qual qualquer historico com esta pontuacao tem uma funcao CG(H) maior que a quantidade de clubes e que portanto nao garante colocacao alguma. NOTA3 : O problema merece atencao. Uma solucao sistematica evitaria que determinadas pessoas defendessem "belissimas teses" de Mestrado e que Grandes Matematicos da Midia fizessem previsoes maravilhosas na impremsa, entre outras coisas... Finalmente, um Ola especial para Alex ( de Saudacoes Tricolores ). O tema e campeonatos. Papai, que e torcedor fanatico do Fluminense, manda-lhe um efusivo abraco e me disse que o fato de voce ser tricolor e uma indicativo segura de que voce e dotado de bom gosto e inteligencia superior ! Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1100,15012001 From: "Iolanda Brazo" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Duas Questoes interessantes ! Date: Fri, 12 Jan 2001 19:22:43 Ola Colegas; Duas questoes interessantes e que nao consigo resolver podem ser enunciadas como segue : 1) Prove que tangenciando externamente uma esfera fixa, de raio R, so e possivel colocarmos 12 outras esferas de mesmo raio. 2)Num campeonato com 36 clubes, cada time joga uma unica vez com todos os demais. A Vitoria vale 3 pontos, o empate um ponto e a derrota nao confere pontos. Qual a quantidade minima de pontos que um clube precisara fazer para ter certeza que ficara entre os 12 primeiros ? Alguem pode me indicar como resolve-los ? Saudacoes. IB - 12 de janeiro de 2001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Decomposição de Hinrichs
Ola Benjamim !
Eu penso que nao merece a honraria de estar numa lista onde
constam tantos Prof Ilustres ... Pois (ainda) nao sou Prof,
sendo meramente um estudante como voce e nem tenho o talento
que os membros da dita lista rotineiramente exibem.
Independente de tudo isso, a alegria e o saudavel orgulho
que voce sentiu com suas descobertas e percepcoes e, em
verdade, um sentimento semelhante ao que invadiria qualquer
outro matematico do mundo se, por exemplo, descobrisse como
provar a conjetura de Riemnam ...
Mesmo que suas decomposicoes ja existam e que outros as
considerem meras consequencias evidentes, PARA VOCE SAO
ESCLARECIMENTOS E INSIGHTS SIGNIFICATIVOS : Parabens por
voce demonstrar ter um espírito capaz de sentir alegria com
estas coisas !
Um Abraco
Paulo Santa Rita
11 de janeiro de 2001
On Wed, 10 Jan 2001 17:43:04 -0300
"Benjamin Hinrichs" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Porto Alegre, 10 de janeiro de 2001.
Srs.,
publico aqui em primeira mão as decomposições de Hinrichs.
Seu princípio
é trivial, trata-se da transformação de um polinômio ax^k
+ b em outro.
Por enquanto ainda há uma série de restrições, pois ao
contrário do
colega Andrew Wiles eu ponho meus resultados em debate
para a
contribuição dos colegas. São as restrições, a=1 e b E
{-1;1} (E
significa é elemento de), k E N (naturais) - {0} (se é que
a exclusão do
zero não é evidente, pelo menos segundo o livro de Elon
Lages Lima et
al.).
Anuncio os três casos que, a rigor, são bastante triviais
(i = unidade
imaginária)
i) (x^k) - 1 = (x^k-1 + x^k-2 + ... + x^2 + x + 1)(x - 1)
ii) (x^2k) + 1 = (x^k + i)(x^k - i)
iii) x^(2k+1) + 1 = (x^2k - x^(2k-1) + x^2(k-1) - ... +
x^2 -x + 1)(x + 1)
Acordei com esses idéias na cabeça hoje de manhã e estava
no meio de uma
pesquisa quando me bateu a louca e eu resolvi generalizar
os casos ii) e
iii), que ainda não tinham sido feitos. O i) eu já tinha
feito a mais
tempo.
Espero ter contribuído para com a formação intelectual dos
colegas.
Estou trabalhando em alguns resumos e pediria que alguns
professores o
criticassem, mas sei que se eu mandar para a lista o meu
.doc eu vou ser
barrado. E em postscript eu não mando.
Quem sabe o sr. ACM (Antônio Carlos Magalhães?, não, nosso
mestre Augusto
César Morgado), PSR (Paulo Santa Rita, se ainda for membro
da lista), JPC
(conhecido de todos), NCS (nosso moderador...), entre
outros.
No texto faço a tentativa de usar conceitos que ainda não
me são óbvios,
mas que eu suponho estar usando corretamente.
Estou olhando para a folha agora mesmo... achei que tinha
escrito a
versão final logo de primeira, ams já vi que faltavam
coisas...
Obrigado.
Grande abraço,
Benjamin Hinrichs
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Curvatura, Evoluta e Involuta
Ola Jorge ! Parece que voce quer saber o que e "Centro de Curvatura" para entender uma mensagem que enviei anteriormente ... Se e isso, abaixo segue uma exposicao circunstanciada : Seja AB e CD dois arcos de mesmo comprimento ( imagine-os convexos, para facilitar ). Se tracarmos tangentes a curva por A e por B, essas tangentes se encontrarao em um pondo E. Definimos : Curvatura media de AB=(pi - angulo AEB) / comprimento do arco AB Quando mais "curvado" for o arco, maior a curvatura. Se voce fizer o ponto B se aproximar de A e calcular o limite a que tende a curvatura media, tera a curvatura no ponto A. Assim, para uma grande classe de curvas, a cada ponto corresponde uma curvatura. Por definicao, o "raio de curvatura de um ponto de uma curva" e o inverso da curvatura. Assim, se C e a curvatura num ponto. 1/C e o raio de curvatura naquele ponto. O que é "centro de curvatura" ? Se voce tracar uma normal a um ponto de uma curva e caminhar ao longo desta normal de um comprimento igual ao raio de curvatura naquele ponto, vai parar justamente no ponto que, por definicao, e o centro de curvatura. Ficou claro agora ? vemos que a cada ponto de uma curva podemos associar um centro de curvatura. O LUGAR GEOMETRICO DOS CENTROS DE CURVATURA DE UMA CURVA E, POR DEFINICAO, A EVOLUTA DA CURVA. Se uma curva C e a evoluta de uma curva D, a curva D se diz a involuta da curva C. As evolutas e involutas possuem diversas propriedades. vou citar duas muito importante para resolver problemas geometricos dificeis : 1) Se tracarmos uma tangente a uma evoluta ela sera perpendicular a sua involuta 2) Se a curvatura e de uma curva monotona ( crescente ou decrescente ) a sua variacao e igual a variacao do arco cotrrespondente. O conceito de curvatura e ubiquo em matematica ! So para voce ter uma ideia, com a propriedade 1) acima e possivel provar que um pendulo ladeado por dois arcos cicloidais identicos e efetivamente isocrono, vale dizer, seu periodo independe realmente da amplitude. Voce pode tracar uma evoluta ( e involuta ) usando uma tangente deslizante... Seja um circulo de raio 1, diametro horizontal AB ( A a esquerda, B a direita ) e vertical CD ( C abaixo, D acima ). Imagine uma semi-reta tangente a este circulo em B. Esta tangente sera evidentemente vertical e paralela a CD. Agora, venha caminhando com o ponto B no sentido de D ( sentido anti-horario ) e acompanhe o movimento de B com a semi-reta tangente, deforma que ela nao possa deslizar. Neste sentido, apos percorrermos uma arco de comprimento T o comprimento da semi-reta a esquerda de B sera tambem T. A DISTANCIA DO "BICO DA SEMI-RETA" A RETA SUPORTE ab I IGUAL A AREA DA LUNULA SOBRE B. Quando esta distancia for pi/2 a lunula intercepta uma area igual a metade do cirdulo ( Que e a solucao para o problema da metade do pasto ) Nao sei se consegui me fazer entender, mas tentei ... Sem figura fica dificil. Vou tentar escrever um artigo sobre isso Um abraco Paulo Santa Rita 2,1716,11122000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Livros de Grande Valor
Os telefones que voce quer sao: Cidade do Rio de Janeiro, 242-1613 ou 507-8975 On Thu, 09 Nov 2000 09:19:22 GMT "Rogerio Fajardo" [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, Obrigado pelo aviso. Mas vc poderia passar o telefone deles? Eu sou de São Paulo e gostaria de saber se dá para encomendar livros por telefone, pois fica difícil, para mim, visitar pessoalmente o sebo. Será que lá eu encontro o Pricipia Matematica ou as obras completas de Goedel por um preço mais acessível? Rogério From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Livros de Grande Valor Date: Wed, 08 Nov 2000 12:00:28 -0500 Ola Amigos, Nao se consegue aprender bem sem bons livros. Todos sabem disso. Ocorre que os livros costumam ser caros ... Eu recebi uma mensagem segundo a qual na Livraria Sao Jose ( Um dos melhores sebos da cidade ), na rua do Carmo, no centro da cidade do Rio de janeiro, chegou uma quantidade enorme ( mais de 5000 ) de livros de matematica excelentes. Os livros de geometria analitica do Prof Nicolay Efimov estao la... Os livros sao usados mas sempre estao em bom estado. E custam, em muitos casos, menos de um terco do valor padrao Eu nao conheco os donos da livraria, mas sei que os colegas desta lista sao verdadeiramente estudiosos e poderao encontrar obras raras, que nao sao mais publicadas e outras, a baixo preco. Um Grande abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1452,08112000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Livros de Grande Valor
Ola Amigos, Nao se consegue aprender bem sem bons livros. Todos sabem disso. Ocorre que os livros costumam ser caros ... Eu recebi uma mensagem segundo a qual na Livraria Sao Jose ( Um dos melhores sebos da cidade ), na rua do Carmo, no centro da cidade do Rio de janeiro, chegou uma quantidade enorme ( mais de 5000 ) de livros de matematica excelentes. Os livros de geometria analitica do Prof Nicolay Efimov estao la... Os livros sao usados mas sempre estao em bom estado. E custam, em muitos casos, menos de um terco do valor padrao Eu nao conheco os donos da livraria, mas sei que os colegas desta lista sao verdadeiramente estudiosos e poderao encontrar obras raras, que nao sao mais publicadas e outras, a baixo preco. Um Grande abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1452,08112000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Uma ajuda, por Favor !
Ola Colegas da Lista, Revendo a minha mensagem abaixo percebi que a questao do Alexandre nao aparece. O enunciado e : ENUNCIADO : Mostre que para quaisquer quatro inteiros positivos "a", "b", "c" e "d" o produto P=(b-a)*(c-a)*(c-b)*(d-a)*(d-b)*(d-c) E divisivel por 12. Se nao me falha a memoria esta questao ( ou outra muito parecida ) ja foi publicada e resolvida na lista. Intuitivamente acho que a primeira linha de raciocinio abaixo e "mais forte" por lidar com conceitos mais basicos e primitivos. Sem me deter em uma analise mais exaustiva, acredito que e possivel descobrir o segredo do 12, desta forma : Sejam X1,X2,X3,...,Xn inteiros positivos. Definimos : P(X1,X2,X3,...,Xn)= Produtorio(Xi - Xj) para i J Qual o maior numero natural (em funcao de N ) que divide P, independente da escolha dos Xi ? Ao caracterizar este maior numero natural descobriremos 12 quando N for 4 ? Um abraco saudoso a todos ! Paulo Santa Rita 3,1714,07112000 On Mon, 06 Nov 2000 14:08:22 -0500 "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Alexandre, Obrigado pelas suas palavras elogiosas ! Eu vejo varias maneiras de resolver este problema. Acho mesmo que ele ja apareceu na lista ... Ao inves de resolver vou indicar duas linhas de raciocinio pra voce seguir e ter a alegria de encontrar a solucao. Sejam a,b,c,d inteiros positivos quaisquer e P=(b-a)*(c-b)*(c-a)*(d-c)*(d-b)*(d-a) Como a diferenca entre dois numeros quaisquer e um fator de P entao, claramente, se quaisquer dois numeros forem iguais o produto sera zero e, portanto, divisivel por 12. O que interessa, consequentemente, e considerar o caso no qual dois numeros quaisquer sao distintos ... Sem perda de generalidade podemos por : a b c d. 1 LINHA DE RACIOCINIO : A) Mostre que o Produto P e divisivel por 4 porque ele tem, ao menos, dois fatores pares. Voce pode fazer isso considerando que as possiveis paridades dos numeros e notando que : PAR - PAR = PAR IMPAR - IMPAR = PAR uma outra forma seria por reducao ao absurdo. Notando que : c - a = (c-b) + (b-a) supor que todos os fatores ( diferencas ) sao impares levara a uma contradicao e lhe permitira provar que no produto ha, ao menos, dois fatores ( diferencas ) pares. B) Mostre que o Produto P e divisivel por 3 considerando que alguns deles sao iguais a soma de outros ... exemplo : c - a = (c-b) + (b-a) Se (c-b) e congruo a 2 (modulo 3) e se (b-a) e congruo a 1 (modulo 3 ) entao (c-a) e multiplo de 3. Raciocinado assim voce vai chegar facilmente a demonstracao C) Dado que o Produto e necessariamente divisivel por 4 e por 3 entao ele e divisivel por 12 2 LINHA DE RACIOCINIO Esta linha talvez seja mais a seu gosto, pois nao usa congruencias. Note que o produto em questao e o determinande de uma matriz de Vandermonde, tambem chamada de Matriz das potencias. Claramente que P e o determinante da matriz : linha 1 : 1,1,1,1 linha 2 : a,b,c,d linha 3 : a^2,b^2,c^2,d^2 linha 4 : a^3,b^3,c^3,d^3 Agora, notando que (a+1)^3=a^3 + 3*a^2 + 3*a + 1, fica facil, usando as tradicionais propriedades dos determinantes, mostrar que ele e multiplo de 12. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1650,06112000 Em tempo : escrevendo o e-mail me ocorreu uma terceira ideia, mais simples ainda que a 2 linha de raciocinio. Se voce indexar as primeiras diferencas, tal como (b-a)=X, (c-b)=Y, ... todas as demais podem ser expressas em funcaos destes parametros. O polinomio Produto resultando e claramente divisivel por 12 ! Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Uma ajuda, por Favor !
Ola Alexandre, Obrigado pelas suas palavras elogiosas ! Eu vejo varias maneiras de resolver este problema. Acho mesmo que ele ja apareceu na lista ... Ao inves de resolver vou indicar duas linhas de raciocinio pra voce seguir e ter a alegria de encontrar a solucao. Sejam a,b,c,d inteiros positivos quaisquer e P=(b-a)*(c-b)*(c-a)*(d-c)*(d-b)*(d-a) Como a diferenca entre dois numeros quaisquer e um fator de P entao, claramente, se quaisquer dois numeros forem iguais o produto sera zero e, portanto, divisivel por 12. O que interessa, consequentemente, e considerar o caso no qual dois numeros quaisquer sao distintos ... Sem perda de generalidade podemos por : a b c d. 1 LINHA DE RACIOCINIO : A) Mostre que o Produto P e divisivel por 4 porque ele tem, ao menos, dois fatores pares. Voce pode fazer isso considerando que as possiveis paridades dos numeros e notando que : PAR - PAR = PAR IMPAR - IMPAR = PAR uma outra forma seria por reducao ao absurdo. Notando que : c - a = (c-b) + (b-a) supor que todos os fatores ( diferencas ) sao impares levara a uma contradicao e lhe permitira provar que no produto ha, ao menos, dois fatores ( diferencas ) pares. B) Mostre que o Produto P e divisivel por 3 considerando que alguns deles sao iguais a soma de outros ... exemplo : c - a = (c-b) + (b-a) Se (c-b) e congruo a 2 (modulo 3) e se (b-a) e congruo a 1 (modulo 3 ) entao (c-a) e multiplo de 3. Raciocinado assim voce vai chegar facilmente a demonstracao C) Dado que o Produto e necessariamente divisivel por 4 e por 3 entao ele e divisivel por 12 2 LINHA DE RACIOCINIO Esta linha talvez seja mais a seu gosto, pois nao usa congruencias. Note que o produto em questao e o determinande de uma matriz de Vandermonde, tambem chamada de Matriz das potencias. Claramente que P e o determinante da matriz : linha 1 : 1,1,1,1 linha 2 : a,b,c,d linha 3 : a^2,b^2,c^2,d^2 linha 4 : a^3,b^3,c^3,d^3 Agora, notando que (a+1)^3=a^3 + 3*a^2 + 3*a + 1, fica facil, usando as tradicionais propriedades dos determinantes, mostrar que ele e multiplo de 12. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1650,06112000 Em tempo : escrevendo o e-mail me ocorreu uma terceira ideia, mais simples ainda que a 2 linha de raciocinio. Se voce indexar as primeiras diferencas, tal como (b-a)=X, (c-b)=Y, ... todas as demais podem ser expressas em funcaos destes parametros. O polinomio Produto resultando e claramente divisivel por 12 ! Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Cicloide...
Ola Bruno, Tudo Legal ? On Mon, 16 Oct 2000 19:05:24 -0200 "Bruno Woltzenlogel Paleo" [EMAIL PROTECTED] wrote: Esta curva e bem conhecida e foi exaustivamente estudada nos primordios do Calculo. Huygens mostrou que com dois arcos de cicloide iguais podemos fazer um pendulo verdadeiramente isocrono, vale dizer, um pendulo cujo periodo seja independente da amplitude das oscilacoes. Sobre o pendulo cicloidal. Tenho uma duvida: Fixados os arcos de cicloide, qualquer que seja o comprimento do fio, a trajetória do pendulo será uma cicloide? Claramente que se o comprimento do fio for superior ao comprimento do arco cicloidal, nas extremidades - quando o fio cobrir todo o arco - teremos um "arco de circulo", nao um arco cicloidal... Qual a forma mais fácil de se provar que o pendulo limitado pelos arcos de cicloide forma uma trajetoria de cicloide? Percebendo que, a cada instante, tudo sucede como se a parte do fio que nao esta encobrindo o arco de cicloide funciona como a reta sobre a qual rola uma circunferencia da qual um de seus pontos descreve a cicloide. Voce ja estudou as evolutas ( e involutas ) ? Em particular, a evoluta do Circulo ? Um abraco Paulo Santa Rita 3,1250,17102000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Livros de Geometria do Wagner
Ola Marcelo, Vamos torcer para que o Prof Eduardo Wagner se sensibilize com todas estas manifestacoes publicas de admiracao pelo seu trabalho e disponha de tempo e determinacao suficientes para produzir um "Novo Wagner", um classico da Geometria Euclidiana, em substituicao ao anterior, que chamo de "Velho Wagner". Eu imagino um "Novo Wagner" que inicia com um Prefacio "mais ou menos" com o seguinte sabor : Este Livro e a continuacao e aperfeicoamento de nosso trabalho anterior. Os pre-requisitos para a sua Leitura sao os fatos basicos e elementares expostos em algum bom livro para iniciantes ( Ex.: Vol 9 e Vol 10 - Fundamentos de Matematica Elementar ). O nosso interesse nao e produzir formulas, mas explorar e compreender os fatos geometricos ... Um Abraco pra todos Paulo Santa Rita 6,1550,13102000 On Fri, 13 Oct 2000 16:29:13 GMT "Marcelo Souza" [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Tb acho excelentes os livros do Morgado, Wagner, M. Jorge... Realmente é difícil achá-los, porém, não concordo que seja tão difícil assim. Eles geralmente são muito procuradosn por alunos que vão prestar concurso para o Colégio Naval e militar, etc. Eu tenho os 3 e demorei menos de 3 meses para achar, mas tb fui muito persistente. Não é difícil encontrá-los em sebos na época pós prova de Matemática do Naval, em que a remessa, antes procurada, acaba sendo doada aos sebos novamente. E Algebra I, consegui acha-lo na Livrartia Ciencia e Cultura aqui no Rio, e digo mais: achei três volumes do mesmo, muito bem conservados. Mas é só um comentário para que os interessados procurem, mas concordo plenamente com a sua idéia de reproduzir esses fabulosos livros, todos um trabalho belíssimo e de valor inestimável aos que amam a Matemática. abraços marcelo From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Livros de Geometria do Wagner Date: Fri, 13 Oct 2000 08:16:11 -0400 Ola Pessoal ! Eu, que fui profundamente influenciado pelo livros e estilo de resolucao do Prof Wagner, um Prof que admiro, talvez seja suspeito para falar alguma coisa ... mas nao posso me furtar ao dever que aumentar a que o Josimar implicitamente se refere... Os livros citados abaixo sao realmente excelentes e eu nao conheco outros, no Brasil, de igual qualidade ... Talvez seja justo dizer que quem nao os conheceu NAO APRENDEU GEOMETRIA COM A QUALIDADE E PROFUNDIDADE NECESSARIAS ... E O QUE HA DE MELHOR NO BRASIL ! Uma das grandes qualidades deste livro e que ele nao perde muito tempo com o trivial, como ocorre com os outros, mas segue adiante abordando realmente temas que despertam a admiracao e o interesse, suscitando o interesse na pesquisa. Ele tambem fala de assuntos da geometria de posicao muito pouco esplorado em outros. Enfim, eles valem muito, mas e muito dificil encontra-los. Aqui mesmo na lista algumas pessoas me escrevem pedindo informacoes sobre estes livros e como encontra-los. Eu nao sei onde encontra-los. Os que tenho adquiri em Sebos. E esses livros foram a maior inspiracao para que eu comecasse a gostar de Matematica. Se o Prof Eduardo Wagner e outros puderam produzir algo tao bom a muitos anos atras, o que eles nao fariam agora, com uma grande experiencia acumulada ... ? Eu tenho certeza que o Prof podera produzir uma obra que se tornara uma referencia ( Nacional e Internacional ) para nos estudantes, do presente e do futuro. Eu vou continuar torcendo para o Prof ter a tranquilidade e determinacao para levar adiante um projeto assim ! Um abraco Paulo Santa Rita 6,1005,13102000 o livro citado acima é um dos três que você escreveu com o Morgado e com o Miguel Jorge. A cada ano, a procura por esses livros aumenta. Alunos e Professores me perguntam onde podem encontrá-los, pois está cada vez mais difícil. Vocês já pensaram em reproduzi-los? JOSIMAR Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Primos Muito Grandes
Ola Pessoal ! Sera que eu posso dizer que para um "Primo Muito Grande" nao ha um algoritmo eficiente que o identifique ? Se isso for verdade, poderia tomar isso como uma propriedade deles ? Nota : Algoritmo Eficiente = Com um numero finito de passos identifique o primo num "Intervalo de Tempo Razoavel". Um abraco Paulo Santa Rita 3,1249,10102000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: um teorema
Ola Marcelo,
Se bem entendi sua Mensagem, o que lhe falta e reconhecer o
papel fundamental de um principio, qual seja, o PRINCIPIO DA
BOA ORDENACAO. Este Principio pode ser enunciado como segue
:
"EM TODO CONJUNTO DE INTEIROS POSITiVOS HA UM MENOR
ELEMENTO"
Isto significa que se A e um conjunto de inteiro positivos
entao existe um "a" pertencente a A tal que x = a, para
qualquer x pertencente a A.
Se voce reconhecer este fato como UM PRINCIPIO acredito que
suas duvidas acabarao pois, na sua notacao, dado que a
funcao F e de N em N entao o conjunto imagem e um conjunto
de inteiros positivos sobre o qual vale aplicar o Principio
de Boa Ordenacao.
Vale ressaltar que a prova de inducao tal como Fermat
efetuava, isto e, de N para N-1,muitas vezes lanca mao de
tal principio para evidenciar que nao podemos construir um
conjunto de inteiros positivos sucessivamente decrescentes e
infinito... E parece que Fermat nao percebeu explicitamente
que estava lidando com um Principio...
Por outro lado, nada e Principio ou Teorema "em absoluto"
... ser Principio ou ser Teorema sao qualidades dependentes
do sistema de axiomas que adotamos ... Algo que e EVIDENTE E
DADO em um contexto e que portanto merece ser tratado como
principio pode ser demonstravel ( e portanto ser um teorema
) em outro contexto, com principios e regras de inferencia
diversas.
Sera que dos sistemas formais e valido falar o que se falou
( foi Poincare ) das geometrias nao-euclidianas : um sistema
formal ( Geometria nao-euclidiana ) nao e MAIS VERDADEIRO
que outro. Pode ser somente mais conveniente ...
Quem enunciou claramente o PRINCIPIO DE BOA ORDENACAO pela
primeira vez foi o mesmo Matematico ( nao me lembro o nome )
que provou que numa progressao aritmetica em que a razao e o
primeiro termo sao primos entre si ha infinitos numeros
primos.
On Thu, 05 Oct 2000 17:00:07 GMT
"Marcelo Souza" [EMAIL PROTECTED] wrote:
olá pessoal da lista.
Há um certo teorema que ainda não consegui entender
relacionado a teoria de
números...mas precisamente na parte de mínimo, indução.
- o teorema diz:
- Toda função monótona não-crescente f:N-N é constante a
partir de um certo
ponto. (isto é, existe n_0 pertencente a N tal que
f(n)=f(n_0), para todo
n=n_0).
Demonstração: Seja n_0 o menor elemento do conjunto
X={f(1),
f(2),...,f(n),...}. Então nn_0 =f(n)=f(n_0)(porque a
função f é
não-crescente) o que acarreta que f(n)=f(n_0)(porque
f(n_0) é o menor
elemento de X).
Este é o teorema com a demontração. Em parte, consegui
entender a
demonstração. Mas me perdi todo... primeiro, afirma-se que
n_0 é o menor
elemento de X, acompanhando esse raciocínio é óbvio que
nn_0, já que n_0 é
o mínimo, e pela função ser não-crescente, f(n)=f(n_0),
mas daí o ponto:
f(n)=f(n_0). Dá pra se entender que é igual se
considerarmos
f(n_0) o menor elemento, mas no início não foi considerado
que n_0 era o
menor elemento? Agora f(n_0) e o menor? Alguém poderia me
explicar...sei que
é uma pergunta fácil, mas est´pa me deixando sem resposta
e cheio de dor de
cabeça...
Obrigado
Abraços
Marcelo
_
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Re: um teorema
Ola Marcelo,
Abaixo segue uma tentativa mais enxuta:
Seja A={ f(1),f(2),f(3),... } o conjunto imagem de f:N-N.
Claramente que A e um conjunto de inteiros positivos ...
Entao, pelo PRINCIPIO DE BOA ORDENACAO, existe um menor
elemento. Seja f(p) este menor elemento. Isto nos permite
afirmar que :
f(i) = f(p) para qualquer i natural.
Por outro lado, COMO A FUNCAO E NAO-CRESCENTE, tomando um n
p
,devemos ter :
f(n) = f(p) sempre que n p
Todavia, o caso f(n) f(p) jamais vai ocorrer, pois f(p) e
o elemento minimo de A e f(n) pertence a A. Assim,
necessariamente, vai ocorrer :
f(n)=f(p) para todo n p.
que e o que queriamos demonstrar.
Veja que o que e fundamental e o principio da boa ordenacao
e a propriedade nao-crescente da funcao.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
On Thu, 05 Oct 2000 17:00:07 GMT
"Marcelo Souza" [EMAIL PROTECTED] wrote:
olá pessoal da lista.
Há um certo teorema que ainda não consegui entender
relacionado a teoria de
números...mas precisamente na parte de mínimo, indução.
- o teorema diz:
- Toda função monótona não-crescente f:N-N é constante a
partir de um certo
ponto. (isto é, existe n_0 pertencente a N tal que
f(n)=f(n_0), para todo
n=n_0).
Demonstração: Seja n_0 o menor elemento do conjunto
X={f(1),
f(2),...,f(n),...}. Então nn_0 =f(n)=f(n_0)(porque a
função f é
não-crescente) o que acarreta que f(n)=f(n_0)(porque
f(n_0) é o menor
elemento de X).
Este é o teorema com a demontração. Em parte, consegui
entender a
demonstração. Mas me perdi todo... primeiro, afirma-se que
n_0 é o menor
elemento de X, acompanhando esse raciocínio é óbvio que
nn_0, já que n_0 é
o mínimo, e pela função ser não-crescente, f(n)=f(n_0),
mas daí o ponto:
f(n)=f(n_0). Dá pra se entender que é igual se
considerarmos
f(n_0) o menor elemento, mas no início não foi considerado
que n_0 era o
menor elemento? Agora f(n_0) e o menor? Alguém poderia me
explicar...sei que
é uma pergunta fácil, mas est´pa me deixando sem resposta
e cheio de dor de
cabeça...
Obrigado
Abraços
Marcelo
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Re: Ajuda sobre Geometria Analítica
Ola Eduardo, Eu nao conheco a Biblioteca do IMPA - confesso que estou doido de vontade de conhece-la - mas sei que ha cerca de 3 anos atras havia um exemplar na Biblioteca da Escola de Engenharia da UFRJ. Um abraco Paulo Santa Rita 4,0945,04102000 On Tue, 03 Oct 2000 17:44:05 -0300 Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Obrigado Paulo pela dica vou correr atrás desse livro mas tenho um pouco de pressa Será que que posso encontrar esse livro na biblioteca do IMPA Aguem poderia me ajudar... Valeu Paulo Santa Rita escreveu: Ola Eduardo, Quando eu procurei compreender melhor estes temas, alguns anos atras, tambem encontrei a mesma dificuldade que voce demonstra estar encontrando ... A maioria dos livros so tratam das EQUACOES CANONICAS DAS CONICAS EM SUAS EXPRESSOES CARTESIANAS, vale dizer : 1) Nao abordam a equacao geral do 2 grau em duas variaveis. 2) Nao tratam das expressoes em coordenadas polares, o que permite uma compreensao unitaria de todas as conicas em funcao do conceito de excentricidade Tudo isso e muito chato e faz com que problemas que seriam triviais se soubessemos estas coisas se tornem dificeis tao somente em funcao de nossa ignorancia por nao termos tido acesso a boas obras ... a Grande Inteligencia e boa e eu tive a sorte de encontrar em um sebo ( mercado de livros velhos e usados ) a obra : Geometria Analitica de Nikolai Efimov Editora Mir Neste livro - Maravilhoso ! - voce vai encontrar tudo aquilo que e interessante, que nao encontra nos livros tradicionais e que tornara, doravante, os problemas de analitica que envolvem conicas todos muito simples. Nele voce vera tambem uma razoavel introducao as quadricas. Todavia, como tudo que e bom, e um livro dificil de ser encontrado ... Voce tambem pode ver uma expressao em algebra linear e vetores para as conicas. Consulte : Algebra Linear, de Boldrini ( e outros ) Nao sei a editora Este livro e facilmente encontrado ... A vantagem de usa-lo e que voce, simultaneamente, tem uma amena introducao a algebra linear, o que sera importante posteriormente, quando voce for estudar Analise no R^n e Calculo Diferencial Exterior ( A derivada e, em verdade, uma matriz e, nao, um numero, como parece a principio ). O Prof Efimov tem um outro livro maravilhoso : Geometria Superior de Nikolay Efimov Editora Mir Nao ha dinheiro que paga este livro ! Finalmente, so a titulo de Experiencia, consiga o livro de Geometria Analitica do Prof Efimov. Estude-o com afinco e dedicacao. Volte a seguir e considere os problemas mais dificeis sobre Conicas que caem nos Concursos, Vestibulares e Olimpiadas : voce passara a olha-los com outros olhos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1545,03102000 On Mon, 02 Oct 2000 22:44:50 -0300 Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria que alguém me explicasse o conceito de reta diretriz para elipse e para hipérbole... consultando diversos livros didáticos ninguém escreve nada sobre isso. Eu sei que para a elipse as equaçoes sao : x = +- (a^2)/c Outra coisa que nao consigo achar e sobre o conceito de lactus rectum (ou qq coisa parecida com isso)... Obrigado... Eduardo Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Ajuda sobre Geometria Analítica
Ola Eduardo, Quando eu procurei compreender melhor estes temas, alguns anos atras, tambem encontrei a mesma dificuldade que voce demonstra estar encontrando ... A maioria dos livros so tratam das EQUACOES CANONICAS DAS CONICAS EM SUAS EXPRESSOES CARTESIANAS, vale dizer : 1) Nao abordam a equacao geral do 2 grau em duas variaveis. 2) Nao tratam das expressoes em coordenadas polares, o que permite uma compreensao unitaria de todas as conicas em funcao do conceito de excentricidade Tudo isso e muito chato e faz com que problemas que seriam triviais se soubessemos estas coisas se tornem dificeis tao somente em funcao de nossa ignorancia por nao termos tido acesso a boas obras ... a Grande Inteligencia e boa e eu tive a sorte de encontrar em um sebo ( mercado de livros velhos e usados ) a obra : Geometria Analitica de Nikolai Efimov Editora Mir Neste livro - Maravilhoso ! - voce vai encontrar tudo aquilo que e interessante, que nao encontra nos livros tradicionais e que tornara, doravante, os problemas de analitica que envolvem conicas todos muito simples. Nele voce vera tambem uma razoavel introducao as quadricas. Todavia, como tudo que e bom, e um livro dificil de ser encontrado ... Voce tambem pode ver uma expressao em algebra linear e vetores para as conicas. Consulte : Algebra Linear, de Boldrini ( e outros ) Nao sei a editora Este livro e facilmente encontrado ... A vantagem de usa-lo e que voce, simultaneamente, tem uma amena introducao a algebra linear, o que sera importante posteriormente, quando voce for estudar Analise no R^n e Calculo Diferencial Exterior ( A derivada e, em verdade, uma matriz e, nao, um numero, como parece a principio ). O Prof Efimov tem um outro livro maravilhoso : Geometria Superior de Nikolay Efimov Editora Mir Nao ha dinheiro que paga este livro ! Finalmente, so a titulo de Experiencia, consiga o livro de Geometria Analitica do Prof Efimov. Estude-o com afinco e dedicacao. Volte a seguir e considere os problemas mais dificeis sobre Conicas que caem nos Concursos, Vestibulares e Olimpiadas : voce passara a olha-los com outros olhos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1545,03102000 On Mon, 02 Oct 2000 22:44:50 -0300 Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria que alguém me explicasse o conceito de reta diretriz para elipse e para hipérbole... consultando diversos livros didáticos ninguém escreve nada sobre isso. Eu sei que para a elipse as equaçoes sao : x = +- (a^2)/c Outra coisa que nao consigo achar e sobre o conceito de lactus rectum (ou qq coisa parecida com isso)... Obrigado... Eduardo Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Desafio de Fisica
ela admite solucoes. Ora, neste caso, o plano "inclinado" estara "em pe", na vertical ... Como interpretar fisicamente isso ? Bom, continuando. Como A(1) = 4*sen(G)*( H - L*sen(G) ), a relacao que obtemos pode ser colocada como segue : 2*L / A(1) = N^2 + N Nos tomamos o caminho natural de interpretar um fenomeno, formular as equacoes pertinentes e dar uma explicacao fisica para as limitacoes desta equacao. Podemos fazer o caminho inverso ? Vale dizer, podemos derivar algum fato interessante sobre os numeros usando a equacao fisica ? Um abraco Paulo Santa Rita 6,0952,22092000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: N'umeros de Hamilton
Oi Leonardo, Tudo Legal ? Com relacao ao nome, voce esta certo : O correto e "Heisenberg". Quanto a designacao do Principio, nao. O nome deste principio flutua ao sabor dos autores e e mesmo uma questao de somenos importancia o problema do "nome correto". O que e importante e uma compreensao precisa do conteudo factual do Principio. Em Fisica Elementar este Principio costuma ser apresentado como segue : Nao e possivel se determinar, por nenhum meio Matematico ou Experimental, a posicao e a velocidade de um eletron com a precisao que arbitrariamente desejarmos. Para ver o porque disso basta sabermos que os eletrons ( ou outro quon qualquer ) se comportam como particulas em suas interacoes com os fotons ( Quantum de Luz ). Assim, se "ilumnarmos pouco" o eletron, poderemos determinar com grande precisao a sua velocidade, mas teremos uma grande incerteza com respeito a sua posicao.Por outro lado, se "iluminarmos muito", iremos determinar com grande precisao a posicao, mas teremos uma grande indeterminacao com respeito a sua velocidade. Observe que aqui, iluminar pouco ou muito significa, respectivamente, diminuir ou aumentar os choques dos quons com os fotons, o que diminui ou aumenta a indeterminacao. Matematicamente Heisenberg mostrou que: (deltaX)*(deltaV) = Constante Assim, se deltaX ( incerteza quanto a posicao ) por pequeno, isto e, soubermos bem a posicao do quon, o deltaV ( incerteza quanto a velocidade ) sera grande e vice-versa. Como se ve, o Principio das Incertezas ( ou Indeterminacao ) e uma consequencia das interacoes que os quons fazem entre si ( o foton e um quon ). Agora, o que muitos nao sabem e que a relacao de incertezas nao se aplica apenas ao binomio ( posicao X velocidade ). Para cada propriedade de um quon, existe uma outra que guarda com a primeira uma relacao de incerteza identica a apresentada acima. Os livros medios ( e mesmo os de graduacao em Fisica ) nao costumam falar nestas outras propriedades porque a ideia de posicao e velocidade sao mais familiares ( e o que penso ) e porque o formalismo matematico necessario exigir um melhor preparo, coisa que geralmente e negligenciado pelos estudantes de Fisica. E interessante ressaltar que Einstein nunca aceitou a relacao de incertezas e tudo fez para derruba-la, nunca conseguindo ( Gracas a Deus ! ). Ele imaginava que esta indeterminacao trazida a Fisica pelo Principio da Incertezas era apenas uma expressao de nossa ignorancia e que o futuro iria revelar "variaveis ocultas" que, devidamente abordadas, iriam extinguir a indeterminacao da Fisica. Se voce observar bem, Einstein e um Fisico Classico. Ele representa a culminancia e Fim da Fisica Classica. A Fisica realmente Moderna comeca com Bohr, Heisemberg, Feynam, Dirac e outros. Quem esta chateado e desiludido com as besteiras que o mundo oferece, devia estudar Fisica Quantica. Nela, O Maravilhoso e a realidade. Um exemplo fraco de seu poder sao os comptadores quanticos. Se o Fraco e tao espetacular, o que se esperar dos resultados fortes ... Muitas poucas coisas fazem tao bem a alma quanto o estudo da Mecanica Quantica. Ela e o Teorema de Godel da Fisica. A melhor formulacao e da Feynam. Mas e bom se seguir a ordem cronologica : Matrizes de heisemberg, Equacao de Schrodinger, "setas" de Dirac e Historias de Feynam. Eu poderia falar muito sobre esse tema, pois e algo que gosto muito e tenho estudado seguidamente. Mas acho que por enquanto esta bom. Um abraco pra voce Paulo Santa Rita 6,0955,15092000 On Fri, 16 Oct 1998 20:53:39 -0300 "Leonardo Motta" [EMAIL PROTECTED] wrote: o nome nao e' Heisenberg? (e nao Eisemberg) :) E o principio nao é da incerteza? (e nao da indeterminacao...) :) Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: N'umeros de Hamilton
Ola Luis,
Voce deve estar se referindo aos numeros hiper-complexos,
dentre os quais se destacam os "Quaternions". E uma classe
de numeros nao comutativos, que apresentam propriedades
muito interessantes e que se encaixaram com perfeicao na
descricao de determinados fenomenos quanticos.
A mecanica matricial de Eisemberg ( O do principio da
indeterminacao ) e uma mecanica de hiper-complexos. Se x e y
sao dois numeros complexos, um hipercomplexo pode ser posto
como :
H = Matriz2x2( x y,-conj(y) conj(x) )
onde x y = primeira linha da matriz
conj(x) = conjugado de x
-conj(y) conj(x) = segunda linha da matriz
Os numeros hiper-complexos tambem admitem uma representacao
analitica, tal como os complexos (a + bi ). Os fatores
constantes desta representam sao :
A=[1 0,0 1 ] matriz identidade 2X2
B=[i 0,o -i]
C=[0 1,-1 0]
D=[0 i,i 0]
Claramente que: B^2=C^2=D^2=-A
E isto chamam de "regras de Hamilton"
Hamilton foi levado a estes numeros tentando generalizar os
numeros complexos para dimensao 3. A soma era trivial, mas o
produto ... O Celebre matematico irlandes gastou longos 10
anos ate perceber que ao inves de tentar fazer isso com
triplas (a,b,c) deveria usar quadras (a,b,c,d) para que tudo
se esclarecesse. Dai o termo quaternios ( de quatro ).
Os quaternios permaneceram no ostracismo por longo tempo,
muito querendo considera-los como um caso particular de uma
algebra mais ampla. A Mecanica quantica e que os trouxe
novamente a baila.
Aqui esta outro exemplo notavel de uma pesquisa puramente
abstrata ( ampliacao dos complexos a dimensao 3 ) que
posteriormente se demonstrou ser instrumento pratico,
absolutamente essencial a compreensao de determinados
fenomenos do mundo fisico.
Que belo, nao ? A VERDADEIRAMENTE GRANDE INTELIGENCIA criou
objetos no mundo fisico que se relacionam de forma
nao-comutativa, mas previamente inspirou Hamilton a
percebe-los no mundo abstrado para que Heisemberg os usasse
posteriormente na compreensao do que ela nos permite ver ...
Um abraco
Paulo Santa Rita
5,0949,14092000
On Wed, 13 Sep 2000 18:04:22 -0300
"Luis Lopes" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,
N~ao tem tamb'em os n'umeros de Hamilton?
Se n~ao estou enganado de nome e nacionalidade,
c'elebre matem'atico irland^es.
Algu'em poderia falar sobre seus n'umeros? Qual
o objetivo da sua pesquisa?
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 13 de Setembro de 2000 08:47
Assunto: Re: sobre conjunts do além
On Tue, 12 Sep 2000, Benjamin Hinrichs wrote:
Lendo mensagens sobre bijeções, conjuntos enumeraveis e
tal (casualmente
um
assunto atual da lista, já que meu relógio biológico
deve estar atrasado
em
mais de um mês... estou totalmente perdido no
espaço-tempo... enfim...) me
caiu uma dúvida:
eixstem conjuntos com números não contidos no conjunto
dos reais e no
conjunto dos complexos? Não consigo imaginar nenhum...
mas meu
conhecimento
nessa área...
Abraço,
Benjamin Hinrichs
Não sei se entendi bem sua pergunta, então vão aí duas
linhas de respostas:
(a) existem números de vários tipos: naturais, inteiros,
racionais, reais,
complexos; existe alguma outra classe de números ainda
maior?
A resposta é sim, mas no fundo tudo depende do que se
entende por
número.
Algumas classes de objetos classicamente conhecidos
como números são:
(i) cardinais infinitos; a generalização do conceito
de "quantos
elementos tem este conjunto" para conjuntos
infinitos,
assunto do e-mail anterior.
(ii) ordinais infinitos: estes generalizam o processo
de contagem.
Depois de 0, 1, 2, 3,... nada nos impede de
continuar com
w, w+1, w+2, w+3, ..., w2, w2+1, ..., w3, ..., w4,
..., ..., w^2,
w^2+1, ..., w^3, ..., ..., w^w, ..., ..., w^w^w,
..., w^w^w^w, ...
(onde w é a letra grega omega minúsculo).
(iii) números surreais de Conway. Estes generalizam os
reais incluindo
números infinitamente grandes (como w),
infinitesimais (como 1/w)
mas também permitem operações algébricas (como
sqrt(w)).
(b) existe algum conjunto X que seja ainda maior do que C,
i.e., |X| |C|?
Novamente a resposta é sim. O exemplo mais fácil é
P(C) = { Y | Y é subconjunto de C } mas sempre existem
conjuntos
maiores.
[]s, N.
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: soma
Ola Eduardo,
Tudo Legal ?
Se voce observar bem, a serie que voce quer somar pode ser
interpretada como o produto ordenado de uma Progressao
Aritmetica por uma Progressao Geometrica ... De fato, em
1/(2^0) + 2/(2^1) + 3/(2^2) + 4/(2^3) + ...
os numeradores formam a Progressao Aritmetica :
1,2,3,4,5, Os denominadores formam a Progressao
Geometrica: 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
Seja An = A1 + (N-1)*R o termo geral de uma PA e Gn =
G1*(q^(N-1)) o termo geral da Progressao Geometrica.
Queremos estudar Tn = An*Gn.
Para tanto, faca :
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
Entao :
T1 = A1*G1
T2 = (A1 + R)*G1*q
T3 = (A1 + 2*R)*G1*(q^2)
...
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
S = T1 + T2 + T3 + ... + Tn
q*S = q*T1 + q*T2 + q*T3 + ... + q*Tn
S - q*S =(T2 - q*T1) + (T3 - q*T2) + (T4 - q*T3) + ... + (Tn
- q*Tn-1) + T1 - q*Tn
(1 - q)*S=R*G1*q + R*G1*(q^2) + R*G1*(q^3) + ... +
R*G1*(q^(N-1)) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q( 1 + q + q^2 + ... + q^(N-2) ) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q[(q^(N-1) - 1)/(q - 1) ] + T1 - q*Tn
(q-1)*S=(q*Tn - T1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
S = (q*Tn - T1)/(q-1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
Esta seria a "Formula do Termo Geral" para este tipo de
serie, no caso de um numero finito de termos. Todavia, se
modulo(q) 1 entao q^N - 0 ( tende a zero ) quando N tende
ao infinito e, portanto, Tn tambem tende a zero. Assim, no
Limite :
lim S = T1/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = (A1*G1)/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = [ A1 + ( q/(1 - q) )*R ]*(G1/(1 - q))
Esta ultima expressao e a que achei mais bonita e que
portanto a que merece perdurar. ( A matematica e o reino da
Beleza ... O que e feio guarda defeitos nao percebidos e nao
permanece ... Quando voce vislumbra a Beleza e Simetria de
uma formula ou construcao, pode ter certeza que encetou pelo
caminho correto e que o levara a uma compreensao mais
profunda do tema ... )
No caso da sua serie :
A1 = primeiro termo da PA = 1
G1 = primeiro termo da PG = 1
R = razao da PA = 1
q = razao da PG = 1/2 ( modulo(q) 1 )
Logo:
Lim S = [1 + ((1/2)/(1 - 1/2))*1]*(1/(1 - 1/2))
Lim S = 2*2 = 4
Trink than weing, was die zimember zimber !
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1509,12092000
On Tue, 12 Sep 2000 12:24:47 -0300
"Luis Lopes" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,
Para somar se'ries, infinitas ou n~ao, geralmente
e' boa ide'ia tentar escreve^-las como
S_n = \sum_{p\leq i\leq q} f(i) = f(p) + f(p+1) + \cdots
+ f(q),
onde p=0 ou 1 e q=n-1, ou n ou n+1.
Para a soma
S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + \cdots,
vamos fazer p=0, q=n e deixamos f(i) para o leitor.
Calculemos S_n e fa,camos
S = \lim_{n \to \infty} S_n, onde \to representa ---.
Damos os detalhes numa pro'xima mensagem.
[ ]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Eduardo Favarão Botelho [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Segunda-feira, 11 de Setembro de 2000 23:00
Assunto: estranho
Espera aí!
Que negócio é esso de que um infinito é maior que o
outro? como assim
ser Q um conjunto enumerável?
Estou confuso.
E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema
bonitinho:
calcule S, sendo
S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
Abraços, Eduardo
Um exemplo:
tome o conjunto dos números reais R.
lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I
(conjunto dos numeros
irracionais) estao contidos em R.
Escolha um elemento de R aleatoriamente.
Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e
portanto esse
evento e perfeitamente possivel.
Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se
e que isso faz
algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao
enumeraveis, ou seja sao
"muito maiores".
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: PA
Caro Aron, Em minha opiniao, este autor Bezerra ( Este autor ou e muito novo ou e muito velho, com certeza. ) teve o seu livro impresso com erros ... isso acontece, as vezes. Digo isso porque : 1)Se a1=1 e a(n+2)=n^2, entao a2=a(0+2)=0^2=0 a1, a3=a(1+2)=1^2=1. Assim, a sequencia: a1,a2,a3 seria 1,0,1. Nao e uma PA. Talvez a definicao correta seja: a1=1, a2=algum valor, a(n+2)=n^2 para n 1. Mesmo com a modificacao acima, ainda surgem problemas... por que ? Porque uma PA nao pode ter o seu termo geral definida por um polinomio do segundo grau da forma N^2. Para ver isso, suponha : a(n+2)=n^2, n = 1 entao : a((p+1)+ 2) - a(p+2)=(p+1)^2 - p^2 = 2*p +1 Isso mostra que a diferenca entre dois termos consecutivos nao e constante, mas varia linearmente com a posicao: um absurdo, dado que em uma PA, por definicao, esta diferenca e constante e e o invariante que caracteriza este tipo de sequencia. Uma sequencia em que o termo geral e um polinomio do 2 grau e uma progressao aritmetica de 2 ordem. Nestas progressoes ( cujo prototipo e a terceira coluna do triangulo de pascal ) a formula do termo geral e : CONVENCAO : [N,P] = Numero binomial de numerador N e denominador P. Se N P entao , [N,P]=0 An = [N,0]*A1 + [N,1]*(A2 - A1), E da soma e: Sn = [N,1]*A1 + [N,2]*(A2 - A1) De maneira geral, se (A1,A2,A3, ... ,An) e uma progressao aritmetica de ordem P, entao (A1^R, A2^R, A3^R, ..., An^R) e uma progressao aritmetica de ordem P*R ( P vezes R ) No seu caso An=N e uma progressao aritmetica de ordem 1, logo An=N^2 e de ordem 1*2=2 (ordem 2). Voce pode estender este conceito de ordem para valores negativos e fracionarios ! Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1624,12092000 On Ter, 12 Set 2000 13:24:07 Fabricio Damasceno [EMAIL PROTECTED] wrote: Em Thu, 10 Aug 2000 23:14:38 -0300 Augusto Morgado Escreveu: Aron Roberto Ferreira wrote: Ol?! Tentei resolver o problema abaixo e a resposta nao bate com a do autor(Bezerra). Alguem da lista poderia conferir minha resolucao? O problema: "Qual e a razao de uma progressao aritmetica em que a*1 = 1 e a* (n+2) = n^2". Resolucao escrevendo a PA (1, ...,n^2,...) pelo termo geral eu fiz n^2=1+(n-1)r AQUI ESTA O ERRO, ESTE EH O TERMO DE ORDEM n+2 E NAO DE ORDEM n. DEVERIA SER n^2=1+((n+2)-1)r n^2-1= (n-1)r (n^2-1)/(n-1)=r (n+1)(n-1)/(n-1)=r r= n+1 A resposta do autor e (n - 1). ( a*1 significa a indice 1 ) Se eu errei, me ajudem. obrigado! --- Analise desta forma: Veja os dados: a*1=1 a*(n+2)= n^2 colocando n+2=t ,temos a*t=(t-2)^2 , o que nos daria a*t=t^2 -4t +t considerando que essa ultima expressao e a formula para o termo geral e que somente queremos calcular o valor da razao. Pq nao substituimos os valores de t (t pertencente aos naturais diferentes de zero)e calculamos a razao, visto que isso nos forneceria um valor independente de t (constante). Pq o valor de a*1=1 a*2=0 e a*3=1. Essa ultima observacao nao descaracterizaria a PA. Abracos!! MailBR - O e-mail do Brasil -- http://www.mailbr.com.br Faça já o seu. É gratuito!!! Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: trapezio
Ola pessoal !
Seja um trapezio de bases "a" e "b" e suponhamos, sem perda
de generalidade, que a b. Queremos tracar uma paralela as
bases de forma que o trapezio fique dividido em dois outros,
cujas areas ( o de cima para o de baixo ) estao entre si
assim como "p" esta para "q".
Tracando a paralela, suposta de comprimento "x" e, a seguir,
tracando pelo vertice superior direito do trapezio original
uma paralela ao lado esquerdo, sejam "H1" e "H2" as alturas
dos trapezios ( superior e inferior respectivamente
)formados.
Entao :
(Paralelograma superior + triangulo superior)/(Paralelograma
inferior + trapezio inferior) = p/q
Mas :
Paralegrama superior = H1*a
Paralelograma inferior= H2*a
Triangulo superior = (H1*(x-a))/2
Trapezio Inferior = (((x-a)+(b-a))/2)*H2
Logo :
(H1*a + (H1*(x-a))/2)/(H2*a + (((x-a)+(b-a))/2)*H2) = p/q
(H1/H2)*((a+x)/(b+x)) = p/q
(a+x)/(b+x) = (p/q)*(H2/H1)
Da semelhanca dos trinagulos tiramos que H1/(H1+H2)=
(x-a)/(b-a) ou :
H2/H1 = (b-x)/(x-a). Substituindo acima :
(a+x)/(b+x) = (p/q)*((b-x)/(x-a))
(x^2 - a^2)/(b^2 - x^2) = p/q
Resolvendo esta equacao, achamos :
x = raiz_2( (p*(b^2) + q*(a^2))/(p + q) )
Se os trapezios sao equivalentes, entao p=q=1. Logo :
x = raiz_2( (a^2 + b^2)/2 )
Note que, nesta formula, um triangulo pode ser visto como um
trapezio em que a base menor e igual a zero, isto e : a=0.
Assim, para um triangulo de base "b" ficaria :
x= b*raiz_2( p/(p+q) )
Independente da altura do triangulo !
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1050,11092000
On Sat, 9 Sep 2000 20:57:28 -0300
"Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Não acreditei muito nessa sua solução não sabe por que
?? Você utilizou
um argumento, que dessa forma, valeria para qualquer
segmento que dividisse
o trapézio dado em outros dois { ñão necessariamente
equivalentes }. Então,
vamos ao que interessa ! { Mesmo sem contar com uma
figura, o que ajudaria
bastante}.
Sejam H a altura do trapézio superior, J a do inferior
e X a medida do
segmento traçado ! Trace uma paralela a um dos lados do
trapézio original.
Assim, será formado um triângulo de base 18, com uma
paralela à base em seu
interior medindo X-32. Como os trapézios são equivalentes
{ você não usou
isso pra nada}, temos : (X+32)H = (X+50)J E, pela
semelhança dos
triângulos formados, vem que 18/(X-32) = (H+J)/H J/H
= (50-X)/(X-32).
Mas J/H = (X+32)/(X+50), então, temos (50-X)/(X-32) =
(X+32)/(X+50), o que
implica em X = 41,97618372 que não é 40.
Abraços
¡Villard!
-Mensagem original-
De: Jorge Peixoto Morais [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sábado, 9 de Setembro de 2000 18:04
Assunto: Re: trapezio
From: "Marcelo Souza" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: trapezio
Date: Sat, 09 Sep 2000 17:08:29 GMT
Fala, galera!
Alguém poderia me dar uma mão com esse problema:
-Num trapézio de bases 32 e 50, traça-se paralelamente
às bases um
segmento
x de forma que esse segmento divide o trapézio em dois
trapézios menores
equivalentes. Quanto mede o segmento x?
Obrigado
Abraços
Marcelo
_
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E aí? Bom, esse exercício parece ser na verdade bem
simles. É óbvio que os
dois trapézios resultantes tem os mesmos ângulos. Então
basta que tenham
lados proporcionais. Então 32/x = x/50, e x=40.
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Re: trapezio
Ola pessoal ! Seja um trapezio de bases "a" e "b" e suponhamos, sem perda de generalidade, que a b. Queremos tracar uma paralela as bases de forma que o trapezio fique dividido em dois outros, cujas areas ( o de cima para o de baixo ) estao entre si assim como "p" esta para "q". Tracando a paralela, suposta de comprimento "x" e, a seguir, tracando pelo vertice superior direito do trapezio original uma paralela ao lado esquerdo, sejam "H1" e "H2" as alturas dos trapezios ( superior e inferior respectivamente )formados. Entao : (Paralelograma superior + triangulo superior)/(Paralelograma inferior + trapezio inferior) = p/q Mas : Paralegrama superior = H1*a Paralelograma inferior= H2*a Triangulo superior = (H1*(x-a))/2 Trapezio Inferior = (((x-a)+(b-a))/2)*H2 Logo : (H1*a + (H1*(x-a))/2)/(H2*a + (((x-a)+(b-a))/2)*H2) = p/q (H1/H2)*((a+x)/(b+x)) = p/q (a+x)/(b+x) = (p/q)*(H2/H1) Da semelhanca dos trinagulos tiramos que H1/(H1+H2)= (x-a)/(b-a) ou : H2/H1 = (b-x)/(x-a). Substituindo acima : (a+x)/(b+x) = (p/q)*((b-x)/(x-a)) (x^2 - a^2)/(b^2 - x^2) = p/q Resolvendo esta equacao, achamos : x = raiz_2( (p*(b^2) + q*(a^2))/(p + q) ) Se os trapezios sao equivalentes, entao p=q=1. Logo : x = raiz_2( (a^2 + b^2)/2 ) Note que, nesta formula, um triangulo pode ser visto como um trapezio em que a base menor e igual a zero, isto e : a=0. Assim, para um triangulo de base "b" ficaria : x= b*raiz_2( p/(p+q) ) Independente da altura do triangulo ! Agora, sabemos que tracando as diagonais por um vertice de um poligono regular convexo qualquer de N lados, surgirao N-2 triangulos. Usando este fato e a formula acima e possivel generalizar a questao de que maneira ? Um abraco Paulo Santa Rita 2,1050,11092000 On Sat, 09 Sep 2000 17:08:29 GMT "Marcelo Souza" [EMAIL PROTECTED] wrote: Fala, galera! Alguém poderia me dar uma mão com esse problema: -Num trapézio de bases 32 e 50, traça-se paralelamente às bases um segmento x de forma que esse segmento divide o trapézio em dois trapézios menores equivalentes. Quanto mede o segmento x? Obrigado Abraços Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Física
Ola Duda, Tudo Legal ? Estes espelhos estudados em Fisica Elementar sao conhecidos por "Espelhos Esféricos de Gauss". Eles sao chamados assim porque Gauss usou este tipo de especlho em seus trabalhos sobre o telegrafo bifiliar, elaborados conjuntamente com Weber. A curvatura de um espelho esferico e dada por 1/R, onde R e o raio da esferica donde derivou o espelho. Claramente que quanto maior for R menor e a curvatura. Para uma curvatura grande, as propriedades essencias para o tracado da imagem : 1) Toda raio que incide paralelamente ao eixo principla reflete-se passando pelo foco 2) Todo raio que incide passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo principal Nao sao bem respeitadas, donde ser fundamental se adotar um espe- lho com pouquissima curvatura. Num espelho assim vale : 1/po + 1/pi = 1/f po = abscissa do objeto pi = abscissa da imagem f = abscissa do foco Desde que se adote o referencial de Gauss, com origem no vertice do espelho. Uma questao interessante sobre isso e a seguinte : Num espelho plano, se nos aproximarmos dele com velocidade v, a nossa imagem, virtual, tambem se aproximara com velocidade v. Segue dai que a velocidade de aproximacao e 2*v. O mesmo não ocorre com um espelho esferico convexo. seja v=f(t) a velocidade com que um objeto se aproxima de um espelho convexo, partindo de uma posicao x=3*R, R = raio do espelho. Qual a funcao V=g(t) com que varia a velocidade da imagem ? OBS : isto e, em verdade, uma questao matematica ( geometrica ) e implica, claramente, na construcao de uma maquina ... Sim, de uma maquina ! Manipulando inteligentemente v=f(t) voce pode simular coisas mirabolantes do "outro lado", em V=g(t). Um abraco Paulo Santa Rita 2,1418,11092000 On Fri, 08 Sep 2000 19:23:08 GMT "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá! Alguém poderia me explicar por que se fala em espelhos esféricos com foco? Não deveria ser espelhos parabólicos com foco? Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Já que permitiram a física....
Ola Marcus, Tudo Legal ? Eu nao me lembro bem da mensagem, mas ja que voce diz que foi assim, entao eu devo ter me expressado mal. O melhor e resolver logo a questao de forma tao detalhada quanto possivel, concorda ? CONVENCAO : Adotar um eixo vertical, orientado de Cima para Baixo, com Origem no ponto onde o jovem saltador inicia sua queda. DESCRICAO DO FENOMENO : Da posicao zero ate L ( comprimento da corda ) o jovem saltador esta em queda livre. Como o campo gravitacional e uniforme e de intensidade g, podemos adotar as equacoes do movimento uniformemente variado. Em particular, podemos usar a equacao de Torriceli. Isso da: V^2 = 0^2 + 2*g*L = V^2 = 2*g*L E portando a energia cinetica do jovem saltador na posicao L e : Ec = (M*(V^2))/2 = g*M*L A partir deste ponto comeca a atuar a forca elastica da corda. Como ele obedece a lei de Hooke e uma forca restauradora proporcional ao deslocamento, certo ? isto e, vale F = -K*X, onde X e a distancia entre o lugar onde o jovem saltador estar e a posicao L ( Ele estar na posicao X+L ). Bom, aqui atuam duas forcas: peso ( = M*g ) e forca elastica ( = -K*x ). Ou seja, em qualquer instante a resultante das forcas que atuam e: R = M*g - K*x Nao ha forcas dissipativas e, portanto, a variacao da energia cinetica percebida e igual ao trabalho da resultante das forcas, isto e: E(X) - E(L) = integral(de 0 a X)F(x)dx Mas, vimos que E(L) = g*M*L e F(X) = M*g - K*X, logo : E(x) = E(L) + integral(de 0 a X)(M*g - K*X)dx E(X) = g*M*L + g*M*X - (K*(X^2))/2 (M*(V(X)^2))/2 = g*M*L + g*M*X - (K*(X^2))/2 V(X)^2 = 2*g*L + 2*g*X -(K/M)*(X^2) Isto fornece o valor da velocidade num ponto que dista X de L, isto e, na posicao L+X. Claramente que quando V(X)=0 o jovem saltador atingiu o ponto mais baixo, isto : (K/M)*(X^2) - 2*g*X - 2*g*L = 0 Resolvendo esta equacao do 2 graus em X encontramos o ponto mais baixo. Somando a L obtemos a resposta a um dos itens procurados. Parece que o problema tambem pergunta pelo valor de de mais alta velocidade, certo ? Para encontrar isso, note que a forca restaurado F=-K*X vai aumentando ate igualar-se ao Peso. Neste ponto a velocidade atingiu seu valor mais alto. Isto e, em : K*X = g*M = X = (g*M)/K A velocidade e maxima: Como V(X) = raiz_2(2*g*L + 2*g*X -(K/M)*(X^2)), substitua X pelo valor que achamos e voce encontrara a velocidade maxima. Pelo que me lembro, o problema tambem pergunta pelo tempo total de queda, certo ? De O a L podemos aplicar as equacoes do movimento uniformemente variado: raiz_2(2*g*L) = 0 + g*T = T1 = ( raiz_2(2*g*L) )/g A parte T2, vai de L ate o ponto mais baixo ( que acima ja encontramos ). A equacao do movimento e: R = M*g - K*X. mas R=M*A, ou seja : (d^2(X)/d^2(T)) = M*g - K*X(T) Esta equacao diferencial e classica, estudada na maioria dos livros de calculo. Resolvendo-a, acharemos X= F(T). Fazendo X igual ao valor mais baixo que ja encontramos acimo teremos encontrado o T2 desta segunda parte. T1 + T2 e o que procuramos. CRITICA DA SOLUCAO : Caro marcus, essa foi a primeira ideia que surgiu na minha cabeca no exato momento que li sua mensagem. Vale dizer que por ser uma questao simples eu ATROPELEI ela, nao buscando uma solucao concisa e elegante. Escrevendo esta mensagem me surgiu uma outra maneira de aborda-la que, acredito, sera muito melhor que a minha e que deixo para voce explorar e nos apresentar. Qual seria ? Bom, basta voce ver que a partir de L ate o jovem saltador parar temos um movimento harmonico em que a forca restauradora e proporcional ao deslocamento, vale dizer, temos um MOVIMENTO HARMONICO SIMPLES. O periodo de um movimento assim e 2*pi*raiz_2(M/K). Use este fato e faca as devidas adaptacoes para apresentar uma solucao muito mais bonita. Ok ? Um Abracao pra Voce Paulo Santa Rita 4,0952,30082000 On Tue, 29 Aug 2000 21:30:26 -0300 "Marcos Eike Tinen dos Santos" [EMAIL PROTECTED] wrote: na primeira mensagem que vc enviou não foi bem isso que vc disse, pois, vc se expressou Ec = Ep, que é um erro, pois mesmo passando do ponto L, a velocidade continua a aumentar, até que chegue num ponto que P=N. Concorda? não seria Ep + Ec = Ep' ? Tal que Ep' seria a energia potencial elástica? logo, teríamos que encontrar v no ponto L+x. Ats, Marcos Eike Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Já que permitiram a física....
Ola Marcos, Voce deve estar quererendo dizer que se a pessoa pulasse "sem corda" na posição (x + L) teria uma energia cinetica teria uma energia cinetica que deve ser a soma da energia cinetica que ela efetivamente tem mais a energia potencial-elastica armazenada na corda, certo ? Foi justamente o que eu quis dizer. Se voce quer a expressao detalhada e disso, ficara : (k*(x^2))/2 + (m*(v^2))/2 = (m*(2g*(x + L)))/2 Observe agora que tanto "v" quanto "x" sao funcoes do tempo, vale dizer, que : v=f(t) e x=g(t) e que : v = dx/dt On Tue, 29 Aug 2000 12:07:56 -0300 "Marcos Eike Tinen dos Santos" [EMAIL PROTECTED] wrote: infelizmente não seria assim. Acredito que não seja tão trivial como em questões de vestibular. A primeira parte do raciocínio está correta, e por conservação de energia podemos chegar ao T1. Porém, veja que a energia cinética máxima não está em L, mas sim, em L+x, pois apartir deste ponto a velocidade continua a aumentar, até que P=F. Logo, não podemos fazer isso. Assim, temos também que não podemos utilizar as equações com aceleração constante. E por favor, não chamem nenhuma questão de trivial. Ats, Marcos Eike Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Olimpiada Internacional de Fisica ( e informatica ? )
Ola Pessoal, A ideia de se discutir Fisica aqui nesta lista, sem ficarmos com a impressao de que estarmos fugindo ao tema ou praticando algo proibido, me parece muito boa. A historia mostra que muitos Matematicos de Gabarito foram tambem Fisicos ilustres, tais como Newton, Euler, Lagrange, Laplace, Gauss e outros. No site http://www.ufc.br voces podem encontrar as provas de muitas ( talvez de todas ) Olimpiadas Internacionais de Fisica, os regulamentos e informacoes sobre as Olimpiadas Brasileiras. O Brasil nunca ganhou uma medalha numa Olimpiada Internacional nesta área, pelo que descobri. Outro tema profundamente ligado a isto sao as olimpiadas internacionais de Informatica, onde basta saber formular algoritmos eficientes em uma linguagem bem estabelecidas. Muitos problemas matematicos interessantes podem ser abordados por algoritmos recurssivos implementaveis em C ou Pascal. Outro dia eu precisei desenvolver um algoritmo para abordar a seguinte questao: Seja A uma matriz quadrada PxP, P primo. Seja B a matriz transposta A. Sabemos que dois elementos que estao muma mesma linha em A nao estarao numa mesma linha em B. Quantas matrizes quadradas PxP B1, B2, B3 ,..., Bn podemos construir de forma que : 1) Se dois elementos aparecem juntos numa mesma linha de uma delas nao poderam aparecer numa mesma linha de nenhuma outra ? 2)Desenvolva um algoritmo eficiente que resolva este problemas, vale dizer, que recendo como entrada a matriz A devolva um vetor de N matrizes com a propriedade enunciada em 1) Sem querer estragar a alegria da descoberta individual, sugiro a quem se interessar pelo problema que numere linhas e colunas a partir de o ( zero ) e nao de 1 ( um ) como e convencional. A seguir, basta generalizar o conceito matematico de transposicao de matrizes, usando congruencias. Um abracao a Todos Paulo Santa Rita 2,1629,28082000 Alguem sabe o Site onde ficam as provas das olimpiadas internacionais de Informatica ? Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1602,28082000 On Mon, 28 Aug 2000 13:34:55 -0300 =?iso-8859-1?Q?Sistema_ELITE_de_Ensino_-_Unidade_Bel=E9m?= [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal Existe uma ideia para se ter uma lista agrupando as demais Olimpiadas (OBF, OBA, OBQ, OBI e a futura OBB), aa exemplo do que jah ocorre com as internacionais. Mas ainda teremos de esperar um pouco para que todos os coordenadores se alinhem em torno de um esforco unico, que seria o de divulgar todas as Olimpiadas de Ciencias no Brasil. Daniel Lavouras - Bagual On Fri, 16 Oct 1998, Leonardo Motta wrote: Eu tbm gostaria q tivesse uma lista dessa d fisica. Eu sugeri a SBF isso, mas eles ou sao extremamente bossais ou nao sabem usar correio eletronico, pois nao responderam. Se vc achar alguma coisa, por favor, me dê um toque :) Eu não conheço nada do gênero e não tenho nada a ver com a SBF mas gostaria que vocês se sentissem à vontade para falar de física aqui. Se descobrirem uma lista similar, entretanto, anunciem cada lista para a outra, svp. []s, N. Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Sugestao
Ola Pessoal, Tudo legal ? As observacoes do Colega Alex sao, ao meu ver, muito boas. Eu me associo a ele na defesa da Tese de que a Lista nao deve ser dividida, sob pena de se enfraquecer e, em consequencia, ter um futuro incerto... Penso que a Evolucao Natural de "Nossa Lista" e transformar-se num Site, onde deverao estar incorporadas alguma(s) das seguintes conquistas : 1) Uma notacao matematica padrao, o que facilitara a comunicacao e o entendimento 2) Recursos Graficos, com quais questoes Topologicas, Geometricas e de teoria dos Grafos ganharao um espaco melhor para serem apresentadas e resolvidas 3) bancos de questoes propostas e de artigos. 4) Um Chat no qual poderiamos conversar quanto dispusessemos de tempo. Ao meu ver, a imensa maioria das questoes propostas na "Nossa Lista" sao relativas ao Nivel Medio, puxando um pouco os assuntos. So a titulo de exemplificacao lembro que aquilo que na Universidade se chama "Calculo 1" aparece em Grande Parte em alguns bons Livros de nivel medio. Ora, um estudante que se propoe a participar de Olimpiadas nao pode se limitar a dimensao superficial com que e tratada a matematica na imensa maioria dos demais livros ... Uma pessoa que se limita a fazer exercicios que aparecem nos livros sempre sera superficial em qualquer assunto... A pessoa deve aprender a pensar por si mesma, propor questoes desafiadoras para si mesmo, correr atras de sua curiosidade e lutar bravamente contra a ignorancia : o caminho para uma compreensao profunda consiste em 90% de transpiracao e 10% de inspiracao : Esse e o papel da lista, vale dizer, nos iniciar na arte sagrada do pensamento ! Eu tenho aprendido muito aqui e sinceramente agradeco a Deus e aos prof por tela encontrado. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1831,17082000 On Thu, 17 Aug 2000 14:25 + [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi gente, gostaria de fazer algumas considerações: 1) Sou universitário (apesar de já não estar naquela idade "padrão" para universitários) e por considerar o meu nível de conhecimento razoável, resolvi entrar para a lista exatamente para aprimorar esses conhecimentos, através principalmente dos conhecimentos de professores e dos jovens colegas "olímpicos" . Considero que em alguns casos os jovens "olímpicos" (claro, geralmente os de nível médio) possuem conhecimento e experiência matemática bem maior do que o de muitos universitários ; 2) Acho que se deve tomar cuidado para, em meio dessa discussão da lista, não discriminar os colegas universitários. O que acho que falta é uma certa "experiência" para saber se uma solução (mesmo que correta) ou se um certo assunto se adequa à um determinado público e é nesse ponto que acho que está a discórdia. Por exemplo, ontem um colega me pediu para demonstar o cálculo da área de uma elipse, e eu só lembrei por cálculo diferencial mas ele queria mostrar isso para um grupo de alunos de nível médio. Seria inviável ! Aí tive que pesquisar, e isso me reavivou conhecimentos. Certa vez enviei uma solução de uma questão para a lista (um cálculo de limite sem usar L'hopital. Usei séries...) e como não vi comentários achei que pudesse ter errado e questionei, e o Nicolau me respondeu: "Sua solução está correta, seria a que um profissional , um matemático, daria. Esse talvez seja o problema". Foi aí que eu percebi que cometia esse erro, que usava um conhecimento que não era adequado à audiência da lista para resolver o problema. 3) Concordo que para a lista não se deve enviar questões de nível universitário, mas as dúvidas aparecem e os professores estão à disposição (e com disposição) aqui, então o que fazer?. Aqui se fomenta a discussão em matemática, que em muitas vezes não acontece em meios acadêmicos, tenho aprendido e muito com colegas de nível médio, de nível universitário e com professores aqui na lista. E acho que a divisão da lista, ao invés de solucionar, trará mais problemas. Concordo com a proposta de identificação do nível no assunto ou no início da mensagem. Achei que devia dizer isso... []'s Alexandre Vellasquez === Caros colegas, Realmente acho que a lista passou de complemento a olimpicos para ajuda para universitarios... Vi um exemplo quando um menino perguntou alguma coisa trivial sobre senos e foi respondido com limites, derivadas e funcoes... e varias vezes questoes triviais sao ignoradas por nao interessar aos mais experientes, e os menos experientes nao responder por ter medo de estar errado em uma coisa tao trivial...Nao sei se é verdade, mas eu por exemplo sinto receio de colaborar pois sei que o meu nivel esta a abaixo e qualquer coisa que eu falar vai ser superposta por uma resolucao superior... Nao sei, talvez esteja exagerando, mas que essa lista virou quase exclusivamente ajuda para universitarios virou... Grato pela atenção, Carlos Stein
Re: contratempo
Ola Duda, Tudo Legal ? Alguem ja disse - e creio que com acerto - que "Um Leao se conhece pela pata", vale dizer, que um verdadeiro talento inevitavelmente se revela naquilo que ele produz ... Em verdade, quem tem que lhe agradecer somos nos, pela(s) belissima(s) solucao(oes) com que voce nos tem brindado. Parabens ! Paulo Santa Rita 2,1436,10072000 On Sun, 09 Jul 2000 03:37:03 GMT "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED] wrote: From: "Filho" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "discussão de problemas" [EMAIL PROTECTED] Subject: contratempo Date: Sat, 8 Jul 2000 22:38:46 -0300 Contratempos.Desculpem!!! ok Agora, vamos ao trabalho. Preciso de ajuda. Demonstrar que a equação x^2 + y^2 - z^2 = 1997 tem infinitas soluções inteiras. Caro colega Filho, Vou usar novamente # como sinal de soma x^2 # y^2 - z^2 = x^2 # (y # z)(y - z) = "faça (y # z)=1 " x^2 # 1 * (1 - 2z) = x^2 - (2z - 1) Agora fica fácil de ver que se "x" for par, existirá sempre um "z" de modo que a diferença acima seja 1997. Tome x=2k 4k^2 - (2z - 1) = 1997, tiramos que z = 2k^2 - 998, logo (2k , 999-2k^2 , 2k^2-998) = (x,y,z) são infinitas soluções para k natural. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: uma desigualdade!
Carissimo Bruno, Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, tambem, amigos ! Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie dos inversos dos quadrados 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par qualquer. Voce sabe como ele concluiu que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do seno(x). Como seno(x)=0 = x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio infinito que obedecia as relacoes de girard entre os coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com a soma dos inversos dos cubos. Por que ? Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece tal como Gregori o viu: pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma soma de numeros impares, a saber: N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series formam um triangulo aritmetico. On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 Bruno Leite [EMAIL PROTECTED] wrote: At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um esboço de solução: Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2(1-1/n) para n1 Então quando n-infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^33/2 A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, limitada superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2. Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 1.202057 Abraço Bruno Leite Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
A Nossa Lista
Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! Acredtio que esta mensagem, nao obstante nao ser de carater Matematico, deve interessar a todos. A "Lista de Discussao de Problemas Matematicos", que comumente chamamos simplesmente "Nossa Lista", ja e Materia de Referencia e Material bibliografico para estudantes Universitarios de Fisica e Matematica ... Alguns dias atras recebi um e-mail do Rio de Janeiro, de uma estudante que nao conheco, no qual a Universitaria cita parte de um e-mail sobre Geometria Riemaniana e pede orientacao. Respondi falando o que eu sabia sobre o tema, dando referencias bibliograficas mais completas e perguntando como ela tinha tido acesso aquela mensagem. Ela respondeu dizendo que conseguiu o e-mail atraves do SOFTWARE DE PESQUISA "ALTAVISTA". Eu nao sabia que aquilo que todos nos publicamos esta disponivel na rede. Isto significa que aquilo que todos nos estamos produzindo atraves de simples e-mail´s esta sendo visto literalmente pelo mundo todo e servindo como referencia para trabalhos em Universidades Publicas e Privadas. E tambem uma prova incontestavel do sucesso, do prestigio e do valor deste excelente meio de divulgacao e aprimoramento instituido pelo nosso moderador, Prof Nicolau Saldanha. Penso que tudo isso faz aumentar nossa responsabilidade, que sempre existiu mas pode e deve ser aprimorada, no sentido de procurarmos produzir demonstracoes cada vez mais belas, apresentarmos questoes realmente interessantes e aprimoramentos da Matematica Elementar pouco divulgados. A "Nossa Lista" gera um intercambio imenso, coisa que eu particularmente nunca imaginei que pudesse ocorrer. As pessoas querem se encontrar conosco, virtualmente, atraves de Chat´s; surgem projetos de pesquisa e estudos conjuntos ( problema 3N + 1, redes neurais ) e propostas de palestras ( As pessoas nao sabem quando estao falando com um estudante ou com um Professor ) Enfim, penso que todos nos estamos de parabens; o Prof Nicolau esta de "duplo parabens" e que a "Nossa Lista" e um sucesso. Um Abraco Camarada a Todos Paulo Santa Rita 4,1519,05072000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Numero Transcendente
Ola Iolanda, Prazer em conhece-la ! Voce deve ser nova na Lista, nao ? Se for, seja Bem-Vinda ! Pergunto isso porque nao me lembro de nenhuma mensagem sua anterior. Eu nao estou podendo - por circuntancias alheias a minha vontade - participar da lista como gostaria, de forma que nao conheco a discussao a qual voce se refere ... Independente disso posso lhe garantir que a sua observacao e pertinente, isto e : Rz_2(2)^Rz_2(2) E IRRACIONAL. [ Rz_2(2)=raiz quadrada de 2 ] A maneira mais simples de se ver isso ( pelo que sei ) e conforme voce assinala, vale dizer, invocando o Teorema de Gelfond. Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se 1) A e algebrico, diferente de zero e um 2) B e irracional No seu caso, A=B=Rz_2(2) satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond e, portanto, A^B e transcendente e, portanto, irracional. Voce deve ter percebido que se definirmos: T(1)=Rz_2(2) T(N+1)= Rz_2(2)^T(N), N 0 entao T(N) e transcendente - e portanto irracional - para todo N, N 1. Se nao percebeu, note que: T(3)=Rz_2(2)^T(2). Fazendo A=Rz_2(2) e B=T(2) recaimos no Teorema de Gelfond e concluimos que T(3) e transcendente e, portanto, irracional. Reiterando este raciocinio para N=4,5,... voce percebera o que falei. Duas outras observacoes simples que voce pode fazer sao: 1) T(N+1) T(N), para qualquer N 2) T(N) 2, para qualquer N Estes duas observacoes nos mostram que a sequencia definida acima e formada so por numeros transcendentes [ a excecao de T(1)=Rz_2(2) ], estritamente crescente e limitada superiormente, logo ... E CONVERGENTE ! No meio de tantos 2´s, voce saberia me provar para onde ela converge ? Bom, finalizando, devo dizer que eu conheco muito pouco sobre numeros trancendentes. Alem do Teorema acima ( de Gelfond ), conheco os Teoremas de Liouville, de Hermite e de Borel ( Voce conhece estes Teoremas ? ) e as implicacoes elementares que se faz com as equacoes de Euler, com as series de potencias e os fatos sobre "pi" e "e". Voce me tratou com uma cerimonia tal que me imaginei como um vetusto e inacessivel Catedratico ... sou simplesmente um estudante universitario, com um "montao" de duvidas e ideias na cabeca. Um abraco Paulo Santa Rita 6,0952,30062000 On Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT "=?iso-8859-1?B?SW9sYW5kYSBCcmF6428=?=" [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Pessoal, Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se chegou a resultado algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como provar que (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando raiz_2(N) = raiz quadrada de N ]. Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele diz que em A^B se: 1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1 2) B e irracional entao: A^B e trancendente ? Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade entao em (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E portanto satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond. E portando (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional. Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr pode dizer se estou certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!! Iolanda From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema de Geometria Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400 Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! A desigualdade em foco decorre diretamente da DESIGUALDADE TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM QUALQUER TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS DOIS. Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um trangulo qualquer. Entao: a b+c = a + (b+c) b+c + (b+c) = a+b+c 2*(b+c) 1/(a+b+c) 1/(2*(b+c)) = a/(a+b+c) a/(2*(b+c)) Usando um raciocinio identido, porem partindo de : b a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) b/(2*(a+c)) c a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) c/(2*(a+b)) Somando estas tres desigualdades, ficara : 1 (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ) ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) Nao possui somente o limitante superior, tal como acabamos de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior, decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais positivos. Afirmamos que : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 3/2 Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. Assim, temos : 3/2 = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como Exercicio. a todos, Os Melhores Votos de Paz Profunda ! Paulo Santa Rita 4,0927,05042000 On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200 "Marcio" [EMAIL PROTECTED] wrote: Como resolver? Sejam a,b,c lados de um triangulo. Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) +
Re: critica
Ola Elon, Tudo legal ? Uma forma de responder a sua questao seria observar que que 0,999... pode ser entendido como 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... Esta "serie geometrica" e convergente e sua soma vale: (9/10) / (1 - 1/10) = (9/10) / (9/10) = 1 Assim, "de fato", 0,999... = 1. Satisfaz ? *** Eu nunca vi alguem pensar por postulados, axiomas e teoremas ... Eu sempre vi as pessoas justificarem suas percepcoes internas e intuicoes com estas coisas ! Em "Prova e Refutacao", de Lakatos, vemos que a famosa e sempre exigida demonstracao nao passa de um estagio final de um longo e laborioso processo mental dialectico, totalmente informalizavel e que, efetivamente, e o verdadeiro veiculo de todas as descobertas cientificas que a humanidade ja fez. Por outro lado, quem quer prova pra tudo deveria ler um pouco de logica pois hoje sabemos que qualquer sistema formal que use o minimo de principio aritmeticos contera proposicoes acerca dos objetos do sistema que sao totalmente inatingiveis com os recursos de inferencia do mesmo sistema(incompletude) ou tera contradicoes internas (inconsistencia) - Teorema de Godel *** Nao fique chateado se alguem, eventualmente, achou sua pergunta algo idiota ou imbecil : a historia da ciencia mostra que grandes descobertas so foram possiveis porque alguns homens resolveram se fazer ( e responder ) perguntas imbecis... Quando alguem "sente" que aquilo que a comunidade acha evidente nao e tao evidente assim, em geral, essa pessoa esta percebendo estrutura digna de analise naquilo que os outros acham irredutivel... isso pode ser muito bom ! Finalmente, a imensa maioria das pessoas da lista sao muito legais, com grandes professores a nos orientarem. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1013,03052000 On Fri, 21 Apr 2000 10:59:27 -0300 =?iso-8859-1?Q?Elon_Santos_Corr=EAa?= [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos, a alguns dias enviei um e-mail para a lista intitulado "o dia que nao acaba" e confesso que fiquei impressionado com algumas respostas, estas respondiam como se a pergunta que fiz (1 = 0,999...?) fosse uma ofensa a tudo aquilo que os matematicos sabem, acreditam e aceitam. A Matematica nao e' a verdade absoluta, nem o conjunto dos numeros reais pode explicar tudo que ocorre no mundo verdadeiro. A essencia da questao foi perdida, prevaleceram os dogmas. Nao estou defendendo aqui, que a resposta para a pergunta que fiz seja sim ou nao, mas com certeza esta nao deveria ser respondida atraves de respostas prontas, mas sim questionada de forma logica e convincente. E' esta atitude de alguns colegas da lista que por muitas vezes afastam da matematica aqueles que por um ou outro motivo, nao gostam ou nao estao tao preocupados com as questoes puramente matematicas (nao e' o meu caso). Sera' que Matematica e' pensar somente por axiomas, postulados, teoremas, etc.? Duas "coisas" sao iguais porque nao podemos provar (dentro de regras limitadas) que elas sao diferentes? E se as regras falharem? De qualquer forma, agradeco a todas as respostas, Elon. Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: 10^11 divide 100!
Ola Mira, Uma pergunta relacionada cuja resposta esta contida no seu raciocinio e : dado "n", qual e o maior "m" (em funcao de "n" ) tal que 10^m divide (10^n)! Percebe que modificando um pouco seu raciocinio voce responde facilmente a esta questao ? On Wed, 19 Apr 2000 23:39:40 -0300 "Mira" [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Augusto! Ora, em 100! há dez fatores 10, que sao 10, 20, 30,...,100. So isso ja mostra a divisibilidade por 10^10. Mas há mais um fator 10 (na realidade ha mais de um) que eh o 2X5. Logo, eh divisivel por 10^11. Morgado Minha saida inicial para o problema foi a mesma a nao ser pelo fato de que ja temos 11 fatores pois 10=1x10, 20=2x10, 30=3x10,...,100=10x10 (aqui temos dois 10) logo 100! eh divisivel por 10^11. Mira Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Problema de Geometria
Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! A desigualdade em foco decorre diretamente da DESIGUALDADE TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM QUALQUER TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS DOIS. Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um trangulo qualquer. Entao: a b+c = a + (b+c) b+c + (b+c) = a+b+c 2*(b+c) 1/(a+b+c) 1/(2*(b+c)) = a/(a+b+c) a/(2*(b+c)) Usando um raciocinio identido, porem partindo de : b a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) b/(2*(a+c)) c a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) c/(2*(a+b)) Somando estas tres desigualdades, ficara : 1 (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ) ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) Nao possui somente o limitante superior, tal como acabamos de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior, decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais positivos. Afirmamos que : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 3/2 Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. Assim, temos : 3/2 = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como Exercicio. a todos, Os Melhores Votos de Paz Profunda ! Paulo Santa Rita 4,0927,05042000 On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200 "Marcio" [EMAIL PROTECTED] wrote: Como resolver? Sejam a,b,c lados de um triangulo. Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] 2 Abraços, Marcio Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Problema de Geometria
Ola, Saudacoes a Todos ! Se "a", "b" e "c" sao os lados de um tringulo, entao vale a desigualdade triangular, isto e : a b+c = a + (b+c) b+c + (b+c) = a+b+c 2*(b+c) 1/(a+b+c) 1/(2*(b+c)) = a/(a+b+c) a/(2*(b+c)) usando um raciocinio identico, porem partindo de b a+c , chegaremos a ... b/(a+b+c) b/(2*(a+c)) c a+b , chegaremos a ... c/(a+b+c) c/(2*(a+b)) somando, membro a membro, as tres desigualdades: 1 (1/2)*(a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)) Logo : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 tal "Como Queriamos Demonstrar" ! Seja agora Z(a,b,c) = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b). Conforme vimos, se "a", "b" e "c" obedecerem a desigualdade triangular fica assegurado que Z(a,b,c) 2. Entretanto, tais medidas tambem podem ser interpretadas como numeros reais positivos. Nestas circunstancias, vale : Z(a,b,c) = 3/2 Isto e: Se "a", "b", "c" forem os lados de um triangulo, entao: 3/2 = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 A desigualdade da esquerda e um exercicio tao simples quanto o da direita. Um Abraco Paulo Santa Rita 3,2327,04042000 On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200 "Marcio" [EMAIL PROTECTED] wrote: Como resolver? Sejam a,b,c lados de um triangulo. Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] 2 Abraços, Marcio Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Corrigindo um Cochilo
On Fri, 31 Mar 2000 20:25:23 -0500
"Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros Colegas da Lista,
Saudacoes !
No desenvolvimento do Binomio (1 + 1/3)^65, o Termo Geral
-
que doravante designaremos por T(k+1) - e expresso por :
T(k+1) = (65! / (k! * (65 - k)!) )*( (1/3)^k )
Este Termo Geral pode ser escrito de outra forma, a saber:
T(k+1) = (65! / (65 - k)!) )*((1/ k!)* (1/3)^k )
Simplificando 65! com (65 - k)! surgirao "k" fatores,
desde
65 ate "65 - k + 1". Estes fatores constituirao o
"NUMERADOR". Se, por outro lado, associarmos a cada fator
de
AQUI
k! (1*2*...*k) um "3" de (1/3)^k, teremos o "k" fatores,
a
saber:
(1*3)*(2*3)*(3*3)*(4*3)* ... (k*3)
O CERTO E:
1/K! ((1/1)*(1/2)*(1/3)* ... * (1/K) ) UM "1/3" DE (1/3)^K,
TEREMOS "K" FATORES, A SABER:
(1/(1*3))*(1/(2*3))*(1/(3*3))*(1/(4*3))*...*(1/(K*3))
ESSES "K" FATORES SE TRANFORMARAO NO "DENOMINADOR". A FRACAO
RESULTANTE TERA A FORMA:
(65*64*63*...*(65-K+1))/((1*3)*(2*3)*(3*3)*...*(K*3))
ENQUANTO 65-K+1 3K, OS TERMOS CRESCERAO. QUANDO OCORRER
65-K+1 3K O TERMO SERA MENOR QUE O ANTERIOR E DECRESCERAO
SEMPRE. ORA, 65-K+1 3K OCORRE PELA PRIMEIRA VEZ EM K=17 (
K E INTEIRO ). ASSIM, O MAIOR TERMO SERA K = 16, O
DECIMO-SETIMO TERMO PORTANTO.
Estas duas observacoes nos permitem concluir que cada novo
termo e o produto do anterior pela fracao (65 - k +1) /
(3*k). Assim, os termos so crescerao se esta fracao for
maior que 1 ( um ) ! Portanto, o menor "k" tal que :
65 - k + 1 3k
E o valor que procuramos ... A resolucao da inequacao
fornece k 16,5. Logo, deve ser k = 17. O maior termo e,
portanto, o decimo-oitavo termo.
Esta maneira de ver as coisas pode ser empregada para
resolver QUALQUER QUESTAO SIMILAR, inclusive aquelas em
que
precisamos empregar a formula de expansao multinomial de
Leibniz. Uma questao de alguma forma correlata pode ser:
***
seja T(k) = ( (k^N) / (1+ 1/N)^k ). K variando em {1,2,3,
... } e N um natural fixo dado, nao nulo. Para que valor
de "k", T(k) atinge o seu valor maximo ?
***
Ola Via Luz. Agradeco sua lembranca. O certo e que por
problemas de saude em minha familia precisei viajar para
Bahia com brevidade... Por isso não estou participando da
Lista, dado que aqui não tenho um computador disponivel.
So
respondi a este e-mail por uma contigencia que acredito
dificilmente vai se repetir. Espero em breve estar no Rio
e
voltar as minhas atividades normais ...
Um Grande Abraco a Todos
Saudades dos Amigos !
Paulo Santa Rita
6,2215,31032000
Nao e sem razao que dizem que a pressa e inimiga da
perfeicao
Quando eu voltar ao Rio participarei mais intensamente da
Lista. Sinto saudades dela e de todos os colegas e Prof´s
que conheci. Um abraco especial ao Prof´s :
Eduardo Wagner, Nicolau Saldanha, Jose Paulo Carneiro,
Morgado, Gustavo Tamm (Gugu).
E aos colegas,
Bruno Leite, Eduardo Casagrande, Benjamim Heinrichs, Via
Lux, Alex,
Bom, o Ralph e estudante ou Prof ? Nao sei ! De qualquer
forma segue um abraco.
Paulo Santa Rita
1,1259,02042000
PS : Nao sei quanto tempo devo ficar por aqui. Mas o acesso
a internet e muito dificil. Vou deixar ao colegas e prof um
mimo. E o "Louvor ao Todo Poderoso", de Goeth ( traducao de
Castilho ).
Tres anjos chegam a Deus para louva-lo.
O Primeiro, ANJO GABRIEL, Fala ( a Deus )
No coro sideral, o sol vai prosseguindo ...
Qual na origem Lho has dado o curso harmonioso !
Tonitroante Baixo em teu concerto Infindo.
So Mandando-lhe Tu, Senhor, tera repouso.
A Tua luz, dobra a Nossa ... Enchendo-nos de Espanto !
Nem o Arcanjo Lhe sonda a portentosa essencia !
Como o fora a principio, o sacra onipotencia:
O Teu sol e ainda hoje assombro, enigma e Encanto !
O Segundo, ANJO MIGUEL, Fala ( a Deus )
E da terraquea esfera, a maquina esplendente,
Segue em seu torvelino eterno, arrebatado ...
Por que ora a luz de florido Eden se ostente,
Ora descanse envolta em negro veu bordado !
O Mar espuma, troa, investe as brutas vagas,
Que o repulsam desfeitas em nunca finda guerra...
Mas na perpetua luta, tanto as rochas como as vagas,
Seguem juntas refeitas o volutear da terra !
O terceiro, ANJO RAFAEL, Fala ( a Deus )
Dos solos contra o mar, dos oceanos aos continentes :
Jogam-se os temporais com impeto profundo !
Zona de assolacoes e criacoes potentes,
Que desfaz e refaz perpetuamente o Mundo !
Ignea precede ao morte ao trovejante horror,
Mas nos, os cortesaos de vossa santidade,
Gozamos luz e paz por toda eternidade ...
Os tres anjos Falam (a Deus ) alto :
Bendito sejas tu, Senhor, Senhor, Senhor !
A essencia da obra de Goeth parece ser a SIMPLICIDADE E A
BELEZA. Nao esta tambem a essencia da Matematica ?
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Tres exercicios
Caros Colegas da Lista,
Saudacoes !
No desenvolvimento do Binomio (1 + 1/3)^65, o Termo Geral -
que doravante designaremos por T(k+1) - e expresso por :
T(k+1) = (65! / (k! * (65 - k)!) )*( (1/3)^k )
Este Termo Geral pode ser escrito de outra forma, a saber:
T(k+1) = (65! / (65 - k)!) )*((1/ k!)* (1/3)^k )
Simplificando 65! com (65 - k)! surgirao "k" fatores, desde
65 ate "65 - k + 1". Estes fatores constituirao o
"NUMERADOR". Se, por outro lado, associarmos a cada fator de
k! (1*2*...*k) um "3" de (1/3)^k, teremos o "k" fatores, a
saber:
(1*3)*(2*3)*(3*3)*(4*3)* ... (k*3)
Estas duas observacoes nos permitem concluir que cada novo
termo e o produto do anterior pela fracao (65 - k +1) /
(3*k). Assim, os termos so crescerao se esta fracao for
maior que 1 ( um ) ! Portanto, o menor "k" tal que :
65 - k + 1 3k
E o valor que procuramos ... A resolucao da inequacao
fornece k 16,5. Logo, deve ser k = 17. O maior termo e,
portanto, o decimo-oitavo termo.
Esta maneira de ver as coisas pode ser empregada para
resolver QUALQUER QUESTAO SIMILAR, inclusive aquelas em que
precisamos empregar a formula de expansao multinomial de
Leibniz. Uma questao de alguma forma correlata pode ser:
***
seja T(k) = ( (k^N) / (1+ 1/N)^k ). K variando em {1,2,3,
... } e N um natural fixo dado, nao nulo. Para que valor
de "k", T(k) atinge o seu valor maximo ?
***
Ola Via Luz. Agradeco sua lembranca. O certo e que por
problemas de saude em minha familia precisei viajar para
Bahia com brevidade... Por isso não estou participando da
Lista, dado que aqui não tenho um computador disponivel. So
respondi a este e-mail por uma contigencia que acredito
dificilmente vai se repetir. Espero em breve estar no Rio e
voltar as minhas atividades normais ...
Um Grande Abraco a Todos
Saudades dos Amigos !
Paulo Santa Rita
6,2215,31032000
On Fri, 31 Mar 2000 14:11 +
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Le-se abaixo:
Para que o termo seja máximo deve-se ter:
T(k+1)=T(k) e b) T(k+1) = T(k+2)
Pergunta de um incredulo:
Por que isto garante que o termo de ordem de ordem k+3,
por exemplo,
nao eh maior que o termo de ordem k+1?
Ser maior que os vizinhos garante que eh maior que todos?
JP,
Antes de mais nada, a condição que impus foi que num
desenvolvimento de um
binômio para um termo T(p+1) ser máximo, ele deverá ser
maior ou IGUAL ao
termo anterior ( T(p) ) e também maior ou IGUAL ao termo
posterior
( T(p+2) ). Essa é a condição que aprendi para que um
termo de binômio
seja máximo. Eu não disse que ele era simplesmente MAIOR
que os vizinhos.
Quando fiz a questão me utilizei disso sem achar que fosse
necessária um
prova formal (que na verdade eu não sei dar), uma vez que
é o
comportamento do desenvolvimento de um binômio (há um
crescimento dos
valores dos termos até chegar ao(s) termo(s) máximo(s) e
em seguida há um
decrescimo dos valores). Entretanto, analisando (1+1/3)^n
(n=4,5,6,7,8)
verifiquei que o comportamento se mantém, ou seja a
condição que impus
continua válida, como aliás, acredito que vale em todo
binômio não é?
Alguém sabe de uma explicação melhor ?
[]'s
Alexandre Vellasquez
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: OFF-TOPIC: Auxílio em um trabalho da faculdade
Ola Paulo, Se eu poder ser util de alguma maneira, esteja a vontade ... Eu tenho observado em mim mesmo e em outras pessoas que gostam muito de Matematica algumas caracteristicas semelhantes ... Ate parece que temos um Genotipo comum que ulteriormente se manifesta como uma paixao pelo pensamento e pela investigacao ... Eu apreciaria ler uma pesquisa que abordasse tal assunto, vale dizer, que abordasse a questao : Ate que ponto e inato ( genetico ? ) ou condicionado o interesse cientifico ? Claramente que uma tal pesquisa, se devidamente conduzida, pode se converter em subsidio as organizacoes que forcejam criar ambientes cientificos ... Um abraco. Paulo Santa Rita 6,1009,18022000 On Thu, 17 Feb 2000 06:54:43 -0300 =?iso-8859-1?Q?Paulo_S=E9rgio_Dias?= [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos: - Desculpem-me pelo off-topic - Estou enviando este e-mail porque necessito desenvolver um trabalho para meu curso de faculdade e gostaria de saber quem poderia fazer a gentileza de me auxiliar. - Se voce nao esta' interessado, simplesmente apague este e-mail, sem le-lo ate' o fim e, mais uma vez, desculpe-me. - Sou estudante do 3o ano do curso de Bacharelado e Licenciatura em Matematica, na UNISO - Universidade de Sorocaba. - Tenho de fazer uma pesquisa, para um trabalho da faculdade e gostaria de saber quais amigos poderiam fazer a gentileza de responder ao questionario de minha pesquisa, para colaborar com o desenvolvimento desse meu trabalho. Isso porque, como trabalho em casa, tenho pouco contato com pessoas, de modo que e' um pouco dificil para mim fazer uma pesquisa diretamente com as pessoas, pois teria de sair `as ruas e interromper os afazeres de cada um, perguntar se a pessoa poderia responder ao meu questionario, etc. - Caso alguem possa colaborar comigo (basta responder a um pequeno questionario), solicito que me enviem um e-mail com o subject "UNISO" (sem aspas). Os detalhes estao abaixo: a) Nao e' necessario identificar-se, ao responder ao questionario b) Pretendo fazer um questionario curto, para nao tomar muito tempo de quem se dispuser a colaborar com o meu trabalho (entre 10 e 20 questoes) c) As questoes sao de resposta simples, do tipo "Sim ou Nao", qual sua idade, qual sua profissao, etc. Nao serao feitas questoes que exijam redigir demoradamente a resposta. d) Depois de coletados os questionarios, simplesmente vou fazer um relatorio sobre a pesquisa, apresentando graficos e estatisticas sobre o tema da pesquisa e) Nao ha' nenhum interesse financeiro/comercial na pesquisa. Trata-se apenas de um trabalho de faculdade e) Ainda nao sei exatamente qual e' o tema da pesquisa, nem quais serao as perguntas (eu mesmo tenho de definir o tema e as perguntas), mas estou tendente a fazer perguntas relacionadas com o uso da Internet. f) Caso algum participante deseje, enviarei os resultados da pesquisa para ele, sem qualquer interesse secundario. Basta que, ao responder o questionario, informe se deseja receber os resultados ou nao. g) Seu e-mail nao sera' utilizado para envio de "correntes de dinheiro", propagandas de produtos, vendas, nem sera' divulgado a mais ninguem. - Caso alguem tenha ideia sobre algum tema interessante para que eu possa pesquisar, ou saiba de algum endereco na Internet onde eu possa coletar informacoes sobre algum tema, sem ter de criar meu proprio questionario (o proprio professor autorizou isso) agradeceria se me enviasse a sugestao, mesmo que nao queira responder ao questionario. Se me enviar uma sugestao, mas nao quiser responder ao meu questionario, por favor, avise-me disso, para que eu nao lhe envie o questionario. - Muito obrigado pela sua colaboracao. Paulo Sérgio Dias [EMAIL PROTECTED] Sorocaba - SP Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
