Re: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
2015-06-09 19:54 GMT-03:00 Ralph Teixeira : > Oi, Paulo. > > Mas aqui que estah o problema -- nao eh dado que PiPi+1 e igual a QiQi+1, > soh que sao paralelos... :) Oi Ralph, Paulo e colegas da lista! Primeiro, um pedido de clemência: eu não tive muito tempo para pensar além de ler os emails, e escrever este daqui ;-). Dado que existe um contra-exemplo para N=4, e que você dá uma condição a mais para cada novo lado, eu chuto (contando parâmetros, se você preferir) que sempre haverá contra-exemplos para cada N. O problema é verificar as condições de fechar o polígono... Para isso, eu gostaria de pensar no seu problema como uma questão de descobrir os parâmetros (pontos da reta real) da aplicação de Schwarz-Christoffel. Os expoentes da fórmula estão fixos (já que eles determinam os ângulos do problema, que são dados pelo primeiro polígono). Mas (curiosamente) o problema dá exatamente N dados reais (as N áreas dos triângulos) e o problema requer N+2 parâmetros (os N pontos reais e um ponto no interior - que conta por 2 - que corresponde à origem O). Eu acho que eu estou esquecendo de cancelar alguma simetria, provavelmente uma translação simultânea de todos os pontos na direção real. Isso dá N+1 parâmetros. Espero que eu não tenha adivinhado o problema original ;-) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Oi, Paulo.
Mas aqui que estah o problema -- nao eh dado que PiPi+1 e igual a QiQi+1,
soh que sao paralelos... :)
Abraco, Ralph.
2015-06-09 16:31 GMT-03:00 Paulo Santa Rita :
> Ola Fabiola, Prof da Fabiola e carissimo Ralph,
>
> Vou fazer um esboço de prova aqui. Considere os triângulos OPiPi+1 e
> OQiQi+1. Como as areas são iguais e PiPi+1 e igual a QiQi+1 e, além disso,
> PiPi+1 é paralelo a QiQi+1 então as distancias OP ( de O ate PiPi+1) e OQ (
> de O até QiQi+1 ) são iguais, vale dizer :
>
> 1) QiQi+1 está na reta onde esta PiPi+1 ou
> 2) QiQi+1 está na reta diametralmente oposta a reta que contem PiPi+1.
>
> Vou aqui esquecer o caso 2) que tera um raciocinio identico.Consideremos
> então o caso 1. Eu afirmo que QiQi+1 coincide com PiPi+1 ! Por que ? Porque
> se não coincidirem traçamos Qi+1Qi+2 paralelo a Pi+1Pi+2 e a distancia de O
> a Qi+1Qi+2 sera diferente da distancia de O a Pi+1Pi+2 e os triangulos
> necessariamente deverão ter areas diferentes ... absurdo !
>
> Assim, QiQi+1 coincide com PiPi+1. E como ste raciocinio vale para
> qualquer i=1...n
> então segue que os poligonos são congruentes.
>
> Penso que é so aperfeiçoar esta linha de raciocinio qu o problema sai fácil
>
> UM abração a todos !
>
>
>
>
>
> ----------
> Date: Mon, 8 Jun 2015 21:03:00 -0300
> Subject: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
> From: ralp...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Ola a todos.
>
> Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de
> enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No
> entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura,
> e mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares
> simetricos... Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um
> agradecimento na dissertacao! :) :)
>
> (Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda
> nao sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele
> aqui.)
>
> "Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n>4)
> contendo a origem O em seu interior. Sabe-se que:
> -- Eles tem lados respectivamente paralelos (isto eh, PiP_{i+1} //
> QiQ_{i+1} para i=1,2,...,n, indices modulo n);
> -- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas
> respectivamente iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para
> i=1,2,...n, indices modulo n).
> Pergunta-se: os poligonos tem que ser congruentes?"
>
> Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma
> copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a "origem" para
> Q eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros
> pontos sao calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem
> consegue fazer o poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja
> congruente ao Q (mas mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro
> de P?)
>
> Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na
> origem sao contra-exemplo!
>
> Abraco, Ralph.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Ola Fabiola, Prof da Fabiola e carissimo Ralph,
Vou fazer um esboço de prova aqui. Considere os triângulos OPiPi+1 e OQiQi+1.
Como as areas são iguais e PiPi+1 e igual a QiQi+1 e, além disso, PiPi+1 é
paralelo a QiQi+1 então as distancias OP ( de O ate PiPi+1) e OQ ( de O até
QiQi+1 ) são iguais, vale dizer :
1) QiQi+1 está na reta onde esta PiPi+1 ou2) QiQi+1 está na reta diametralmente
oposta a reta que contem PiPi+1. Vou aqui esquecer o caso 2) que tera um
raciocinio identico.Consideremos então o caso 1. Eu afirmo que QiQi+1 coincide
com PiPi+1 ! Por que ? Porque se não coincidirem traçamos Qi+1Qi+2 paralelo a
Pi+1Pi+2 e a distancia de O a Qi+1Qi+2 sera diferente da distancia de O a
Pi+1Pi+2 e os triangulos necessariamente deverão ter areas diferentes ...
absurdo !
Assim, QiQi+1 coincide com PiPi+1. E como ste raciocinio vale para qualquer
i=1...nentão segue que os poligonos são congruentes.
Penso que é so aperfeiçoar esta linha de raciocinio qu o problema sai fácil
UM abração a todos !
Date: Mon, 8 Jun 2015 21:03:00 -0300
Subject: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola a todos.
Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de
enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No
entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura, e
mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares simetricos...
Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um agradecimento na
dissertacao! :) :)
(Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda nao
sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele aqui.)
"Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n>4) contendo a
origem O em seu interior. Sabe-se que:-- Eles tem lados respectivamente
paralelos (isto eh, PiP_{i+1} // QiQ_{i+1} para i=1,2,...,n, indices modulo
n);-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas
respectivamente iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para
i=1,2,...n, indices modulo n).Pergunta-se: os poligonos tem que ser
congruentes?"
Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma
copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a "origem" para Q
eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros pontos sao
calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem consegue fazer o
poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja congruente ao Q (mas
mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro de P?)
Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na origem
sao contra-exemplo!
Abraco, Ralph.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Warning: Esta mensagem continha anexos que foram removidos
Warning: (geogebra_javascript.js, Hexagons.ggb).
Warning: Leia o anexo "DMAT-PUCRJ-Attachment-Warning.txt" para maiores
informa��es.
Ola a todos.
Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de
enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No
entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura,
e mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares
simetricos... Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um
agradecimento na dissertacao! :) :)
(Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda
nao sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele
aqui.)
"Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n>4)
contendo a origem O em seu interior. Sabe-se que:
-- Eles tem lados respectivamente paralelos (isto eh, PiP_{i+1} //
QiQ_{i+1} para i=1,2,...,n, indices modulo n);
-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas
respectivamente iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para
i=1,2,...n, indices modulo n).
Pergunta-se: os poligonos tem que ser congruentes?"
Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma
copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a "origem" para
Q eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros
pontos sao calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem
consegue fazer o poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja
congruente ao Q (mas mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro
de P?)
Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na
origem sao contra-exemplo!
Abraco, Ralph.
Esta é uma mensagem do serviço de proteção contra vírus
--
O anexo "Hexagons.ggb" encontra-se na lista proíbida de tipos de arquivo,
e foi substituído por esta mensagem de aviso no e-mail.
Se você desejar receber uma cópia dos arquivos originais mesmo assim,
por favor entre em contato com o administrador do sistema e tenha em
mão as seguintes informações:
Hoje, Mon Jun 8 21:03:03 2015, o anti-virus relatou o seguinte:
MailScanner: JScript Scripts are dangerous in email (geogebra_javascript.js)
Nota ao administrador do sistema: Procurar em the DMAT-PUCRJ
(mail.mat.puc-rio.br) MailScanner in /var/spool/MailScanner/quarantine/20150608
(message t590314X003272).
--
Postmaster
Departamento de Matematica - PUC-Rio
www.mat.puc-rio.br
