Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:22:34PM +, Paulo Santa Rita wrote:
(respondendo a se existe um grupo onde o produto de dois comutadores
não é necessariamente um comutador)
> 1) NAO. Para ver isso claramente, considere o grupo simetrico S(E) onde
> E={1,...,8,a,...,h} e seja A 0 subgrupo gerado pelas permutacoes (1 3)(2 4),
> (5 7)(6 8), (a b)(8 c), (e g)(f h), (1 3)(5 7)(a c), (1 2)(3 4)(e h),
> (5 6)(7 8)(e f)(g h), (a b)(c d).
>
> O elemento (a c)(b d)(e g)(f h) esta em D(A) e nao e um comutador
Legal... Desculpe, mas como você obteve este exemplo? Ele é meio grande...
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
Ola Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Por favor, me desculpe pela demora. E peco tambem desculpas a outros, como o
Duda. Se nao
estou respondendo e por absoluta falta de tempo. Vou tentar esclarecer,
mesmo sendo breve.
Se G e um grupo e "a" e "b" estao em G entao =a*b*(a^(-1))*(b^(-1)) e
chamado o
comutador de "a" e "b". E facil ver que :
1) =1 <=> ab=ba
2) ^(-1) =
3) f()=, f homomorfismo
Se D(G)={ / a, b em G } entao D(G) e um grupo. Claramente :
4) G e abeliano <=> D(G)={e}
Agora, respondendo :
1) NAO. Para ver isso claramente, considere o grupo simetrico S(E) onde
E={1,...,8,a,...,h} e seja A 0 subgrupo gerado pelas permutacoes (1 3)(2 4),
(5 7)(6 8), (a b)(8 c), (e g)(f h), (1 3)(5 7)(a c), (1 2)(3 4)(e h),
(5 6)(7 8)(e f)(g h), (a b)(c d).
O elemento (a c)(b d)(e g)(f h) esta em D(A) e nao e um comutador
2) Eles sao usados em grupos soluveis ( no sentido de Galois ). Mas talvez
a propriedade mais notavel e que eles sao um subgrupo completamente
invariante, vale dizer, f(D(G)) esta contido em D(G) para todo
endomorfismo f de G.
ACRESCIMO :
Existe uma outra forma de olhar os comutadores, a meu ver mais sintetica
e elegante. Ela parte da ideia de subgrupo gerado por um conjunto, isto e,
A esta em G entao :
A'={a1*A2*...*An, onde Ai esta em A ou (Ai)^-1 esta em A }
Mas isso e outra historia. Finalmente, gostaria de dizer que a sua
solucao ficou um pouco longa ( ou talvez um pouco trabalhosa )
porque voce so usou conceitos basicos, isto e, demonstrou ou construi
tudo. Veja os teoremas com mais calma e voce vai descobrir que, conforme
eu falei, o problema e simples e pode ser feito em uma linha.
Em marco eu vou estar mais calmo e tranquilo e vou tentar escrever
um pouco sobre algebra.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,2013,120204
EM TEMPO : A mensagem abaixo e uma demonstracao de que a nossa lista e
assistida por
estudantes de outros paises, alem da America do Sul. Isso e uma prova de
nossa utilidade
e da validade de nosso esforco. Eu nao estou podendo atender esta moca ou
Senhora.
Se alguem puder ajudar, eu agradeco.
boa tarde.
sou aluna do 4 ano de matematica ensino em portugal, tenho um trabalho a
desenvolver numa disciplina onde tenho que pesquisar tudo mas tudo mesmo
sobre o tema Axiomas de escolha :Lema de ZORN!. estava a navegar na
internet e li uma carta sua onde tem ideias geniais sobre este assunto o
meu pedido era, caso possivel, que me ajudasse pois eu nunca ouvi falar
neste tema e estou completamente Às escuras não sei nada de nada sobre
axiomas de escolhas!!!
muito obrigada por tudo o meu e-mail é [EMAIL PROTECTED]
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
Date: Wed, 11 Feb 2004 13:36:17 -0200
Caro Paulo:
Aqui vai minha solucao (um tanto tardia) pra este problema. Por favor de
uma
olhada nas minhas duvidas mais abaixo.
Dados a, b em G, entendo que o comutador de a e b eh igual a
a*b*a^(-1)*b^(-1).
No caso, precisamos provar 2 coisas:
1) G' eh um subgrupo normal de G;
2) G/G' eh abeliano.
1) Suponhamos que G' seja de fato um subgrupo de G (veja duvida (1)
abaixo).
Seja g um elemento de G. Dados a, b em G, teremos:
g*(a*b*a^(-1)*b^(-1))*g^(-1) =
(g*a*g^(-1))*(g*b*g^(-1))*(g*a^(-1)*g^(-1))*(g*b^(-1)*g^(-1)).
Mas, se pusermos x = g*a*g^(-1) e y = g*b*g^(-1), o produto acima fica:
x*y*x^(-1)*y^(-1) = comutador de x e y, o qual pertence a G', pois x e y
pertencem a G.
Isso prova que G' eh um subgrupo normal em G.
-
2) Sejam a*G' e b*G' dois elementos de G/G'. Entao:
a*G' * b*G' =
a*b*G' =
a*b*(b^(-1)*a^(-1)*b*a)*G' =
a*(b*b^(-1))*a^(-1))*(b*a)*G' =
(a*a^(-1))*b*a*G' =
b*a*G' =
b*G' * a*G' ==>
G/G' eh abeliano.
***
Ainda tenho duas duvidas:
1) O produto de dois comutadores eh sempre um comutador? Isso eu nao
conseguim provar.
2) Pra que servem os comutadores?
Um abraco,
Claudio.
=
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Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
on 20.10.03 10:11, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > 1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente > G/G' e abeliano. > Caro Paulo: Aqui vai minha solucao (um tanto tardia) pra este problema. Por favor de uma olhada nas minhas duvidas mais abaixo. Dados a, b em G, entendo que o comutador de a e b eh igual a a*b*a^(-1)*b^(-1). No caso, precisamos provar 2 coisas: 1) G' eh um subgrupo normal de G; 2) G/G' eh abeliano. 1) Suponhamos que G' seja de fato um subgrupo de G (veja duvida (1) abaixo). Seja g um elemento de G. Dados a, b em G, teremos: g*(a*b*a^(-1)*b^(-1))*g^(-1) = (g*a*g^(-1))*(g*b*g^(-1))*(g*a^(-1)*g^(-1))*(g*b^(-1)*g^(-1)). Mas, se pusermos x = g*a*g^(-1) e y = g*b*g^(-1), o produto acima fica: x*y*x^(-1)*y^(-1) = comutador de x e y, o qual pertence a G', pois x e y pertencem a G. Isso prova que G' eh um subgrupo normal em G. - 2) Sejam a*G' e b*G' dois elementos de G/G'. Entao: a*G' * b*G' = a*b*G' = a*b*(b^(-1)*a^(-1)*b*a)*G' = a*(b*b^(-1))*a^(-1))*(b*a)*G' = (a*a^(-1))*b*a*G' = b*a*G' = b*G' * a*G' ==> G/G' eh abeliano. *** Ainda tenho duas duvidas: 1) O produto de dois comutadores eh sempre um comutador? Isso eu nao conseguim provar. 2) Pra que servem os comutadores? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
on 20.10.03 10:11, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> >
> 2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n >=3. Mostre que se o centro de
> G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p.
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 2,1012,201003
>
Soh pra dar uma variada e tambem porque sao raros os problemas de algebra
nessa lista, vou tentar resolver o problema acima.
Sejam:
Z = centro de G = { x em G | yx = xy, para todo y em G};
Cl(a) = classe de conjugacao de a = { x*a*x^(-1) | x pertence a G};
C(a) = centralizador de a = { x em G | ax = xa }.
Como conjugacao eh uma relacao de equivalencia em G cujas classes de
equivalencia sao justamente as classes de conjugacao de G, G pode ser
particionado da seguinte forma:
G = Cl(a_1) U Cl(a_2) U ... U Cl(a_r), onde se i <> j entao a_i nao eh
conjugado de a_j.
As classes de conjugacao relativas aos elementos de Z sao conjuntos
unitarios, pois se a pertence a Z, entao x*a*x^(-1) = a*x*x^(-1) = a, ou
seja, se a pertence a Z, entao Cl(a) = {a}.
Dessa forma, podemos escrever |G| = |Z| + |Cl(a_1)| + ... + |Cl(a_r)|, onde
os a_i sao elementos de G - Z e tais que a_i nao eh conjugado de a_j se i <>
j. Essa eh a chamada Equacao das Classes relativa ao grupo G. Eh claro que
|Cl(a_i)| > 1, para todo i, caso contrario a_i pertenceria a Z.
Um outro fato relevante eh que existe uma bijecao F entre o conjunto das
classes laterais ("cosets") relativas a C(a) e Cl(a), dada por:
F(x*C(a)) = x*a*x^(-1).
x*C(a) = y*C(a) <==>
y^(-1)*x pertence a C(a) <==>
y^(-1)*x*a = a*y^(-1)*x <==>
x*a*x^(-1) = y*a*y^(-1) <==>
F(x*C(a)) = F(y*C(a)) ==>
F estah bem definida e eh injetiva.
Alem disso, como x eh um elemento arbitrario de G, concluimos que F eh
sobrejetiva.
Isso quer dizer que |Cl(a)| = numero de classes laterais relativas a C(a) =
|G|/|C(a)|, pelo teorema de Lagrange. Alem disso, se |G| = p^n, entao |C(a)|
= p^k para algum k com 1 <= k <= n, ou seja, |Cl(a)| = p^(n-k). Repare que k
>= 1 pois C(e) = G e se a <> e, e e a pertencem a C(a) (e = identidade em G)
Da equacao das classes e levando em conta que |G| = p^n e |Z| = p, teremos:
p^n = p + p^(n-k_1) + ... + p^(n-k_r) ==>
p^(n-1) = 1 + p^(n-1-k_1) + ...+ p^(n-1-k_r) ==>
p^(n-1) = 1 + p^m_1 + ... + p^m_r (fazendo m_i = n - 1 - k_i) (***)
Suponhamos que m_i >= 2, para todo i. Como n >= 3, podemos re-escrever (***)
da seguinte forma:
1 = p^2*(p^(n-3) + p^(m_1-2) + ... + p^(m_r-2)).
Como a soma entre parenteses eh inteira, concluimos que p^2 divide 1 ==>
contradicao ==>
m_i = 1 para algum i ==>
|Cl(a_i)| = p
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos-Ajudem -me
pessoal estou dando uma de autodidata e estudando
Teoria dos Grupos.Mesmo que os exercicios de Paulo
Santa Rita sejam trivias, pediria que me mostrassem
como faze-los porque só assim eu posso captar a
essencia da teoria e ser capaz de fazer outros mais
complicados.:)
--- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >
Ola Carlos e demais colegas
> desta lista ... OBM-L,
>
> Vou contribuir um pouquinho ...
> Observe que este resultado tem uma consequencia
> imediata, qual seja : "Todo
> Grupo de ordem menor ou igual a 5 e ciclico". Prove
> isso !
>
> Dois outros problemas elementares sobre Grupos :
>
> 1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores.
> Prove que o quociente
> G/G' e abeliano.
>
> 2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n >=3.
> Mostre que se o centro de
> G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao
> de ordem p.
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 2,1012,201003
>
> >Seja Z conjunto dos inteiros e o subgrupo
> gerado
> >por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b
> e m
> >inteiros( m>= 2):
> >
> >e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo
> de
> >ordem 2 entao G é ciclico.
> >
> >f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo
> de
> >ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G =
> >{x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que
> >poderia ser o elemento ab)
> >
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
contribua mais um pouco:) Me mostre as 3 questoes que
vc propos...
--- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >
Ola Carlos e demais colegas
> desta lista ... OBM-L,
>
> Vou contribuir um pouquinho ...
>
> G) Sendo "e" a identidade, de Y^2= e para todo Y em
> G concluimos que Y^-1 =
> Y ( Voce saberia dizer porque posso fazer esta
> afirmacao ? ). Sejam "a" e
> "b" dois elementos quaisquer do Grupo. Entao ab e
> (ab)^-1 estao em G e, pelo
> que vimos :
>
> ab=(ab)-1 => ab=(b^-1)(a^-1) mas b^-1=b e a^-1 = a.
> Segue que :
> ab=ba, para quaisquer "a" e "b" em G. O grupo e
> portanto abeliano.
>
> Observe que este resultado tem uma consequencia
> imediata, qual seja : "Todo
> Grupo de ordem menor ou igual a 5 e ciclico". Prove
> isso !
>
> Dois outros problemas elementares sobre Grupos :
>
> 1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores.
> Prove que o quociente
> G/G' e abeliano.
>
> 2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n >=3.
> Mostre que se o centro de
> G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao
> de ordem p.
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 2,1012,201003
>
> >From: Carlos Maçaranduba <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> >To: [EMAIL PROTECTED]
> >Subject: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
> >Date: Sun, 19 Oct 2003 20:32:19 -0300 (ART)
> >MIME-Version: 1.0
> >Received: from mc5-f8.hotmail.com ([65.54.252.15])
> by mc5-s21.hotmail.com
> >with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Mon, 20 Oct
> 2003 04:15:02 -0700
> >Received: from sucuri.mat.puc-rio.br
> ([139.82.27.7]) by mc5-f8.hotmail.com
> >with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Mon, 20 Oct
> 2003 04:15:01 -0700
> >Received: (from [EMAIL PROTECTED])by
> sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
> >id VAA05070for obm-l-MTTP; Sun, 19 Oct 2003
> 21:00:41 -0300
> >Received: from web21109.mail.yahoo.com
> (web21109.mail.yahoo.com
> >[216.136.227.111])by sucuri.mat.puc-rio.br
> (8.9.3/8.9.3) with SMTP id
> >UAA04957for <[EMAIL PROTECTED]>; Sun, 19 Oct
> 2003 20:59:41 -0300
> >Received: from [200.164.247.30] by
> web21109.mail.yahoo.com via HTTP; Sun,
> >19 Oct 2003 20:32:19 ART
> >X-Message-Info:
> NDMZeIBu+soqT/9tqALIbVX3Lxac9UkwSv5iQMq7xO4=
> >Message-ID:
> <[EMAIL PROTECTED]>
> >In-Reply-To:
> <[EMAIL PROTECTED]>
> >Sender: [EMAIL PROTECTED]
> >Precedence: bulk
> >Return-Path: [EMAIL PROTECTED]
> >X-OriginalArrivalTime: 20 Oct 2003 11:15:01.0949
> (UTC)
> >FILETIME=[67D536D0:01C396FB]
> >
> >Eu consegui provar a letra a o resto nao) ai
> vão:
> >
> >
> >Seja Z conjunto dos inteiros e o subgrupo
> gerado
> >por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b
> e m
> >inteiros( m>= 2):
> >
> >a)sendo B = b (mod m) e A = a (mod m) se a divide b
> >entao, como subgrupos de Zm,
> > esta contido em .(Esse eu consegui provar o
> >resto nao)
> >
> >b)sendo A = a (mod m) se mdc(a,m) = 1 , entao =
> >Zm.
> >
> >c)sendo A = a (mod m) e D = d (mod m) se mdc(a,m) =
> d
> >, entao = .
> >
> >d) De posse das informacoes acima, determine todos
> os
> >subgrupos de (Z36 , +).
> >
> >e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo
> de
> >ordem 2 entao G é ciclico.
> >
> >f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo
> de
> >ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G =
> >{x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que
> >poderia ser o elemento ab)
> >
> >g)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo
> de
> >elemento neutro x , mostre que se y^2 =x, para cada
> y
> >em G, entao G é abeliano.(Sugestao:Note que y^2 = x
> >implica que y^-1 = x .Tome 2 elementos quaisquer a
> e b
> >em G e comece escrevendo ab = (ab)^-1 = ...)
> >
> >Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil
> >http://mail.yahoo.com.br
>
>=
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
>=
>
>
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> MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.
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>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
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Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
b) Se mdc(a,m)=1 => a é uma unidade em Z_m, isto é, existe b tal
que ab =1( de fato, pelo Teorema de Bezout: existe b e y inteiros tq ab
+mx=1. ).Decorre que 1 pertence a=>1. Z_m está contido em
. Decorre que = Z_m.
Depois tento os demais...
Abraços,
Fred.
From: Carlos Maçaranduba <[EMAIL PROTECTED]>
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To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
Date: Sun, 19 Oct 2003 20:32:10 -0300 (ART)
Eu consegui provar a letra a o resto nao) ai vão:
Seja Z conjunto dos inteiros e o subgrupo gerado
por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b e m
inteiros( m>= 2):
a)sendo B = b (mod m) e A = a (mod m) se a divide b
entao, como subgrupos de Zm,
esta contido em .(Esse eu consegui provar o
resto nao)
b)sendo A = a (mod m) se mdc(a,m) = 1 , entao =
Zm.
c)sendo A = a (mod m) e D = d (mod m) se mdc(a,m) = d
, entao = .
d) De posse das informacoes acima, determine todos os
subgrupos de (Z36 , +).
e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
ordem 2 entao G é ciclico.
f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G =
{x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que
poderia ser o elemento ab)
g)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
elemento neutro x , mostre que se y^2 =x, para cada y
em G, entao G é abeliano.(Sugestao:Note que y^2 = x
implica que y^-1 = x .Tome 2 elementos quaisquer a e b
em G e comece escrevendo ab = (ab)^-1 = ...)
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
Ola Carlos e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Vou contribuir um pouquinho ...
G) Sendo "e" a identidade, de Y^2= e para todo Y em G concluimos que Y^-1 =
Y ( Voce saberia dizer porque posso fazer esta afirmacao ? ). Sejam "a" e
"b" dois elementos quaisquer do Grupo. Entao ab e (ab)^-1 estao em G e, pelo
que vimos :
ab=(ab)-1 => ab=(b^-1)(a^-1) mas b^-1=b e a^-1 = a. Segue que :
ab=ba, para quaisquer "a" e "b" em G. O grupo e portanto abeliano.
Observe que este resultado tem uma consequencia imediata, qual seja : "Todo
Grupo de ordem menor ou igual a 5 e ciclico". Prove isso !
Dois outros problemas elementares sobre Grupos :
1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente
G/G' e abeliano.
2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n >=3. Mostre que se o centro de
G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1012,201003
From: Carlos Maçaranduba <[EMAIL PROTECTED]>
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To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
Date: Sun, 19 Oct 2003 20:32:19 -0300 (ART)
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Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f8.hotmail.com
with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Mon, 20 Oct 2003 04:15:01 -0700
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Received: from web21109.mail.yahoo.com (web21109.mail.yahoo.com
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19 Oct 2003 20:32:19 ART
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X-OriginalArrivalTime: 20 Oct 2003 11:15:01.0949 (UTC)
FILETIME=[67D536D0:01C396FB]
Eu consegui provar a letra a o resto nao) ai vão:
Seja Z conjunto dos inteiros e o subgrupo gerado
por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b e m
inteiros( m>= 2):
a)sendo B = b (mod m) e A = a (mod m) se a divide b
entao, como subgrupos de Zm,
esta contido em .(Esse eu consegui provar o
resto nao)
b)sendo A = a (mod m) se mdc(a,m) = 1 , entao =
Zm.
c)sendo A = a (mod m) e D = d (mod m) se mdc(a,m) = d
, entao = .
d) De posse das informacoes acima, determine todos os
subgrupos de (Z36 , +).
e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
ordem 2 entao G é ciclico.
f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G =
{x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que
poderia ser o elemento ab)
g)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
elemento neutro x , mostre que se y^2 =x, para cada y
em G, entao G é abeliano.(Sugestao:Note que y^2 = x
implica que y^-1 = x .Tome 2 elementos quaisquer a e b
em G e comece escrevendo ab = (ab)^-1 = ...)
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