RE: [obm-l] seno
(x-sen15)(x-sen75) = 0 haha :D Claro q não deve ser isso o que você perguntou, mas eu realmente não entendi. Lembrando sen(x/2) = sqrt( (1-cosx)/2) sen15 = sqrt((1-cos30)/2) = sqrt(2-sqrt(3))/2 sen(x+y) = senxcosy + senycosx Daí é só fazer :// Agora se a pergunta foi se épossível achar uma EQUAÇÃO com coeficientes INTEIROS para sen15 ou sen75 é outra história. sen15 16x^4 - 16x^2 + 3 = 0 sen75 to com preeguiç Mas deixei a dica []'s From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] seno Date: Sun, 6 Mar 2011 18:52:54 + É possível encontrar uma expressão com raízes para o seno de 75 ou 15 graus.Isso é possível para que outros ângulos?
[obm-l] função diferenciável
Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal que
g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 - R por:
f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0
0 para x = 0
Se x pertence à R^2 e h: R - R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h é
diferenciável.
consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas
mostrar que lim ((h(t+l)-h(t))/l)existe para t quaquer não foi trivial.
Alguém consegue me dar um socorro?
(l -
0)
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
Brigadão Marcelo,
Fiquei travado nesse exercício um tempão.
Eu estudo sozinho e quando surge uma dúvida assim me ferro.
Você explicou bem tranquilo que eu fiquei com vontade de perguntar uma última
coisinha, sem abusar:
Por exemplo, pra mostrar que a função f(x,y) = sqrt(|xy|) não é diferenciável
em (0,0), pelo que vi no livro, tomo a derivada direcional na direção (1,1) e
mostro que a mesma não existe. Beleza. Mas a minha dúvida acho que é mais
conceitual. Por que que o fato de uma derivada direcional não existir implica
que a função não diferenciável?
Desde já agradeço.
Date: Mon, 7 Mar 2011 17:12:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com
Olá, Samuel,
Se t != 0, temos:
h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|)
Para t0, temos:
|tx| = t|x| = h(t) = f(tx) = t|x| . g(x/|x|)
Para t0, temos:
|tx| = -t|x| = h(t) = f(tx) = -t|x| . g(-x/|x|) = t|x| . g(x/|x|)
Assim:
h(t) = t|x| . g(x/|x|) para t != 0.
Para t != 0, temos:
h'(t) = lim{k-0} [ h(t+k) - h(t) ] / k = lim{k-0} [ (t+k)|x| . g(x/|x|) -
t|x| . g(x/|x|) ] / k = lim{k-0} |x|.g(x/|x|) = |x|.g(x/|x|)
Desta maneira, para t!=0, temos que a derivada de h é constante e tem valor
|x|.g(x/|x|).
Abraços,
Salhab
2011/3/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com
Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal que
g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 - R por:
f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0
0 para x = 0
Se x pertence à R^2 e h: R - R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h é
diferenciável.
consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas
mostrar que lim ((h(t+l)-h(t))/l)existe para t quaquer não foi trivial.
Alguém consegue me dar um socorro?
(l -
0)
[obm-l] derivada
Seja f:R^n - R uma função tal que |f(x)| = |x|^2. Mostre que f é
diferenciável em 0.
Pelo que tentei fazer devo ter f(0) = 0.
lim{k-0} [(f(0+k)-f(0)-Bk)/(|k|)] deve ser zero para alguma matriz linha da
forma : B = (D1f(0) D2f(0) ... Dnf(0))
mas não consigo ver onde usar que |f(x)| = |x|^2
Alguém poderia me dar um help?
Obrigado
RE: [obm-l] seno
Obrigado,João.Eu pensei por exemplo em sen105=sen(60+45)=... O segundo membro da igualdade tem raiz(6) e raiz(2) Para calcular sen(20) eu escreveria sen3x em função de senx e ai complicaria. Para sen11,...só tabela(tábua) ou calculadora. Gostei da equação para sen15. Seria complicado calcular as outras 3 raízes dessa equação? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] seno Date: Mon, 7 Mar 2011 16:14:46 -0300 (x-sen15)(x-sen75) = 0 haha :D Claro q não deve ser isso o que você perguntou, mas eu realmente não entendi. Lembrando sen(x/2) = sqrt( (1-cosx)/2) sen15 = sqrt((1-cos30)/2) = sqrt(2-sqrt(3))/2 sen(x+y) = senxcosy + senycosx Daí é só fazer :// Agora se a pergunta foi se épossível achar uma EQUAÇÃO com coeficientes INTEIROS para sen15 ou sen75 é outra história. sen15 16x^4 - 16x^2 + 3 = 0 sen75 to com preeguiç Mas deixei a dica []'s From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] seno Date: Sun, 6 Mar 2011 18:52:54 + É possível encontrar uma expressão com raízes para o seno de 75 ou 15 graus.Isso é possível para que outros ângulos?
RE: [obm-l] seno
Na verdade não, é uma equação biquadrada, faça y = x² e você acha as outras. []'s From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] seno Date: Mon, 7 Mar 2011 22:32:31 + Obrigado,João.Eu pensei por exemplo em sen105=sen(60+45)=... O segundo membro da igualdade tem raiz(6) e raiz(2) Para calcular sen(20) eu escreveria sen3x em função de senx e ai complicaria. Para sen11,...só tabela(tábua) ou calculadora. Gostei da equação para sen15. Seria complicado calcular as outras 3 raízes dessa equação? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] seno Date: Mon, 7 Mar 2011 16:14:46 -0300 (x-sen15)(x-sen75) = 0 haha :D Claro q não deve ser isso o que você perguntou, mas eu realmente não entendi. Lembrando sen(x/2) = sqrt( (1-cosx)/2) sen15 = sqrt((1-cos30)/2) = sqrt(2-sqrt(3))/2 sen(x+y) = senxcosy + senycosx Daí é só fazer :// Agora se a pergunta foi se épossível achar uma EQUAÇÃO com coeficientes INTEIROS para sen15 ou sen75 é outra história. sen15 16x^4 - 16x^2 + 3 = 0 sen75 to com preeguiç Mas deixei a dica []'s From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] seno Date: Sun, 6 Mar 2011 18:52:54 + É possível encontrar uma expressão com raízes para o seno de 75 ou 15 graus.Isso é possível para que outros ângulos?
RE: [obm-l] seno
Na verdade qualquer seno TEORICAMENTE daria para ser calculado. Por exemplo, sen1 geraria uma equação de grau 30 (haha :D) em função de seno de 30. Daí vai a coragem para calcular (entre aspas pois as fórmulas matemáticas permitem ser calculados apenas equações até o graau 4, são raras as exceções em que existe uma fórmula para equação de quinto grau por exemplo.) From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] seno Date: Mon, 7 Mar 2011 22:32:31 + Obrigado,João.Eu pensei por exemplo em sen105=sen(60+45)=... O segundo membro da igualdade tem raiz(6) e raiz(2) Para calcular sen(20) eu escreveria sen3x em função de senx e ai complicaria. Para sen11,...só tabela(tábua) ou calculadora. Gostei da equação para sen15. Seria complicado calcular as outras 3 raízes dessa equação? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] seno Date: Mon, 7 Mar 2011 16:14:46 -0300 (x-sen15)(x-sen75) = 0 haha :D Claro q não deve ser isso o que você perguntou, mas eu realmente não entendi. Lembrando sen(x/2) = sqrt( (1-cosx)/2) sen15 = sqrt((1-cos30)/2) = sqrt(2-sqrt(3))/2 sen(x+y) = senxcosy + senycosx Daí é só fazer :// Agora se a pergunta foi se épossível achar uma EQUAÇÃO com coeficientes INTEIROS para sen15 ou sen75 é outra história. sen15 16x^4 - 16x^2 + 3 = 0 sen75 to com preeguiç Mas deixei a dica []'s From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] seno Date: Sun, 6 Mar 2011 18:52:54 + É possível encontrar uma expressão com raízes para o seno de 75 ou 15 graus.Isso é possível para que outros ângulos?
RE: [obm-l] seno
Se eu entendi a pergunta: sin(75)=sin(30+45)=sin(30).cos(45)+cos(30).sin(45) sin(15)=sin(45-30)=sin(45).cos(30)-cos(45).sin(30) É só escrever em função dos angulos dos triangulos notáveis. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] seno Date: Sun, 6 Mar 2011 18:52:54 + É possível encontrar uma expressão com raízes para o seno de 75 ou 15 graus.Isso é possível para que outros ângulos?
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
Porque se f for derivável em algum a de R^n, então todas as suas derivadas
direcionais existem em a e são dadas por grad f(a) . u, onde grad f(a) designa
o gradiente de f em a, . designa produto escalar e u é o vetor unitário em uma
dada direção. Se uma das derivadas direcionais não existir, então, por
contraposição, segue-se que f não é derivável em a.
Artur
From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br; msbro...@gmail.com
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
Date: Mon, 7 Mar 2011 20:30:13 +
Brigadão Marcelo,
Fiquei travado nesse exercício um tempão.
Eu estudo sozinho e quando surge uma dúvida assim me ferro.
Você explicou bem tranquilo que eu fiquei com vontade de perguntar uma última
coisinha, sem abusar:
Por exemplo, pra mostrar que a função f(x,y) = sqrt(|xy|) não é diferenciável
em (0,0), pelo que vi no livro, tomo a derivada direcional na direção (1,1) e
mostro que a mesma não existe. Beleza. Mas a minha dúvida acho que é mais
conceitual. Por que que o fato de uma derivada direcional não existir implica
que a função não diferenciável?
Desde já agradeço.
Date: Mon, 7 Mar 2011 17:12:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com
Olá, Samuel,
Se t != 0, temos:
h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|)
Para t0, temos:
|tx| = t|x| = h(t) = f(tx) = t|x| . g(x/|x|)
Para t0, temos:
|tx| = -t|x| = h(t) = f(tx) = -t|x| . g(-x/|x|) = t|x| . g(x/|x|)
Assim:
h(t) = t|x| . g(x/|x|) para t != 0.
Para t != 0, temos:
h'(t) = lim{k-0} [ h(t+k) - h(t) ] / k = lim{k-0} [ (t+k)|x| . g(x/|x|) -
t|x| . g(x/|x|) ] / k = lim{k-0} |x|.g(x/|x|) = |x|.g(x/|x|)
Desta maneira, para t!=0, temos que a derivada de h é constante e tem valor
|x|.g(x/|x|).
Abraços,
Salhab
2011/3/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com
Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal que
g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 - R por:
f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0
0 para x = 0
Se x pertence à R^2 e h: R - R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h é
diferenciável.
consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas
mostrar que lim ((h(t+l)-h(t))/l)existe para t quaquer não foi trivial.
Alguém consegue me dar um socorro?
(l -
0)
RE: [obm-l] derivada
De fato, como |f(x)| = |x|^2, então, |f(0)| = 0 e, portanto, f(0) = 0.
Para todo u 0 de R^n e todo real t 0, temos que |f(0 + tu) - f(0)|/t =
|f(tu)|/t = t^2 |u|/t = t |u|. Logo, fazendo t -- 0, obtemos que lim ( t --
0) (f(0 + tu)- f(0))/t = D_u(0) = 0, sendo D_u(0) a derivada direcional em a na
direção u. Assim, todas as derivadas direcionais - logo as parciais - de f
existem em 0.
e são nulas;
Para todo x 0 de R^n, temos que |f(x)|/|x| = |x|^2/|x| = |x|, de modo que
lim (x -- 0) |f(x)|/|x| = 0 e que, portanto |f(x)| = o(|x|). Como f(x) =
f(0) + 0.x + f(x) = f(0) + 0 . x + 0(|x|), concluímos que f é derivável em 0 e
que sua derivada é a função (linear) identicamente nula. Isto é, D(0) (x) = (0,
0) . x. Aqui, . designa produto escalar.
Abraços
Artur
From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] derivada
Date: Mon, 7 Mar 2011 21:14:30 +
Seja f:R^n - R uma função tal que |f(x)| = |x|^2. Mostre que f é
diferenciável em 0.
Pelo que tentei fazer devo ter f(0) = 0.
lim{k-0} [(f(0+k)-f(0)-Bk)/(|k|)] deve ser zero para alguma matriz linha da
forma : B = (D1f(0) D2f(0) ... Dnf(0))
mas não consigo ver onde usar que |f(x)| = |x|^2
Alguém poderia me dar um help?
Obrigado
RE: [obm-l] x^y = y^x
Existem também (-2, -4) e (-4, -2). Veja que, nos reais positivos, a equação x^y = y^x equivale a ln(x)/x = ln(y)/y. Para x 1, definamos f(x) = ln(x)/x, de modo que f'(x) = (1 - ln(x))/x^2. Analisando a derivada, vemos facilmente que f é estritamente crescente em (1, e), tem um máximo global em x* = e, com f(x*) = 1/e, e é estritamente decrescente para 0 em (e, oo). Isto nos mostra que: se y está em (1, e), então a equação ln(x)/x = ln(y)/y tem exatamente 2 raízes, a trivial em (1, e) e a não trivial em (e, oo) se y está em (e, oo), então a equação ln(x)/x = ln(y)/y tem exatamente 2 raízes, a trivial em (e, oo) e a não trivial em (1, e) Se n =3 é inteiro, então todas a raízes não triviais de ln(x)/x = ln(n)/n estão em (1, e). Como, neste intervalo f é estritamente crescente, logo bijetora, a cada n =3 corresponde uma e somente uma raiz não trivial em (1, e). Para n = 4, esta raiz é 2, que é inteiro. Para n =3, n 4, as raízes triviais estão em (1, e) e são diferentes de 2, que é o único inteiro em (1, e). Logo estas raízes não são inteiras. Se n =2, temos a raiz não trivial 4, que atende. E, para n = 1, só há a raiz trivial 1. Com issso demonstramos que (2,4) e (4,2) são os únicos pares de inteiros positivos distintos tais que x^y = y^x. Se y = 0, não há solução para x 0 inteiro. Se x e y inteiros tiverem sinais contrários, então das duas uma: dentre os números x^y e y^x, um é positivo e o outro negativo, ou ambos são positivos sendo um deles maior ou igual ou maior que 1 e outro menor que 1. E se x e y forem ambos inteiros negativos distintos, a igualdadae só ocorrerá se enunca teremos |x^y| = |y^x|. Disto deduzimos que só (-2, -4) e (-4, -2) satisfazem. Artur Date: Sun, 6 Mar 2011 21:39:23 -0300 Subject: Re: [obm-l] x^y = y^x From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom, para mim tem tambem 0^0=1^1, mas soh porque eu gosto da convencao 0^0=1. Voce pode mostrar que sao apenas estes pares usando que m^n=n^m sse m^(1/m)=n^(1/n). Como a funcao f(n)=n^(1/n) eh decrescente para n=3 (vide abaixo), o unico jeito daquela igualdade acontecer eh se um dos numeros m ou n for 2 ou menos. Se m=2, n=4 serve -- e portanto ninguem mais serve, pois f(m)=f(4) implica m3. Se m=1, n=0 serve com a minha convencao -- e ninguem mais, pois sendo n0, n^(1/n)=1 implica n=1 ou 1/n=0. Agora, se voce quiser ver os detalhes da demonstracao de que f(n) eh decrescente... Dah para fazer ateh sem calculo: i) Mostre que a_n=(1+1/n)^n3 (para qualquer n=1,2,3,...) De fato, pelo binomio de Newton, temos a_n=SUM C(n,k)/n^k = = SUM n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/(k!n^k) = = SUM (1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)/k! = = 1+1+ 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! (pois cada produtao daqueles eh menor do que 1, entao fica soh o k!) Agora, k! = k(k-1)2=2.22=2^(k-1) para todo k positivo (se k=1, eh imediato). Entao a_n = 1+1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1) 1 + 1 + 1 =3 ii) Entao (n+1)^n 3.n^n = n.n^n = n^(n+1) sempre que n=3, ou seja, (n+1)^(1/(n+1)) n^(1/n). Foi. (Os inteiros negativos sao faceis agora de analisar.) Abraco, Ralph. 2011/3/6 ennius enn...@bol.com.br: Caros Colegas, Sabemos que 2^4 = 4^2 e (-2)^(-4) = (-4)^(-2). Minha dúvida: Existem outros pares (x,y) de inteiros disntintos que satisfazem a igualdade x^y = y^x? Abraços do Ennius. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] função à n-ésima ordem
Duas funções f, g R - R são igual à n-ésima ordem se
lim {h-0} [(f(a+h)-g(a+h))/(h^n)] = 0
Mostre que f é diferenciável em a se e somente se existe uma função da forma
g(x) = a0 + a1(x-a) tal que f e g são iguais à primeira ordem em a.
A ida é facil, basta definir g(x) = f(a) + f'(a)(x-a).
Agora a volta, partindo de que existe uma função com a cara g(x) = a0 +
a1(x-a), só consigo mostrar se tiver a0 = f(a), mas não consigo chegar nessa
condição partindo das hipóteses. Alguém tem alguma idéia de como fazer?
E uma outra parte é supor que existem f'(a), ... , f^(n)(a), mostrar que a
função g definida por:
g(x) = soma{i=0...n} [((f^(i)(a))/(i!))(x-a)^i]
são igual à n-ésima ordem.
Como dica foi deixado que:
lim {x-a} [ (f(x) - soma{i=0...n-1} [((f^(i)(a))/(i!))(x-a)^i] ) / ((x-a)^n)]
pode ser calculado pela regra de L'Hospital.
Não tenho nem ideia de onde isso vai me ajudar, por exemplo quanto mais eu
derivo maiores vão ficando as ordens das derivadas e só garanto que existem até
n...
Desde já agradeço qualquer ajuda que venha me tirar dessa enrrascada.
