Re: [Logica-l] Coletivo Lógica Viva: sobre infinitos, números e provas
Oi, pessoal! Obrigado, Valeria, pela correção! Ainda fico um pouco em dúvida, porém, pois quando escrevemos algo em determinada linguagem de programação, normalmente nos adaptamos à sintaxe e temos mais de uma implementação em mente, em linguagens rivais, e essa pluralidade de opções nos permite ver que a ideia matemática é independente da linguagem escolhida... O que parece acontecer com ZFC é algo mais profundo: parece implicar uma forma ou estilo de praticar matemática que contém uma "ontologia" (tudo é conjunto) e um arcabouço de técnicas de demonstração que parecem regular as relações entre o pensamento (softwares) e o cérebro (hardware). Por isso pensei que seria algo como um sistema operacional... Mas deve estar errada mesmo a minha analogia, hehe. Mas a provocação que eu gostaria mesmo de fazer é a seguinte: (I) Uma construção lógica da matemática, independente da intuição matemática, é impossível, pois por este método não se obtém mais do que uma estrutura linguística, que permanece irrevogavelmente separada da matemática — e, além disso, é uma contradictio in terminis — porque um sistema lógico precisa da intuição básica da matemática tanto quanto a própria matemática precisa dela. (II) A matemática é independente da lógica. (III) A lógica depende da matemática. (BROUWER, On The Foundations of Mathematics, 1907, tradução minha.) Eu concordo inteiramente com essas três teses do Brouwer. Não poderia ser, portanto, que a matemática fosse identificada com ZFC ou com a teoria de categorias (vista como sistema fundacional) ou com outros sistemas rivais (HoTT). Creio que quando o Samuel diz "a matemática atual é ZFC" talvez esteja dizendo que ZFC é o paradigma dominante. Mas ZFC é só uma "estrutura linguística" por meio da qual falamos sobre matemática, e não a própria matemática. Por exemplo, criaturas matemáticas interessantíssimas precisam ser expulsas de campo se quisermos jogar com ZFC (infinitesimais, o conjunto de todos os conjuntos). Isso mostra que o pensamento matemático frequentemente precisa romper as restrições impostas pela gramática da linguagem em que é escrito... Abraços! M. Em domingo, 6 de agosto de 2023, Valeria de Paiva escreveu: > Muito boa, a comparação, Marcio! > > mas me parece que o nível está um pouco errado. os sistemas fundacionais > seriam mais como as linguagens de programação, do que como sistemas > operacionais. a matemática sempre pode ser feita numa linguagem diferente, > mas fica com uma cara diferente se for feita em C ou Haskell ou Python. > > Acho que o nível importa, porque sistemas operacionais parecem estar cada > vez mais poderosos, mas linguagens não e' tao claro como elas se relacionam > umas com as outras. Então e' mais uma questão de gosto. e os pros e cons > são mais complicados. > > Mas gente pode traduzir a matemática do seculo 17, por exemplo, em ZFC e > essa foi uma grande conquista matemática do final do seculo 19, certo? acho > esse paper do Quinn muito interessante > A Revolution in Mathematics? What Really Happened a Century > Ago and Why It Matters Today, Frank Quinn 2012 > https://www.ams.org/notices/201201/rtx120100031p.pdf > Nao concordo com tudo o que ele fala, mas acho tudo bem interessante e > provocativo, no bom sentido, de provocar questionamentos. > > abraços, > Valeria > > On Sun, Aug 6, 2023 at 6:03 AM Márcio Palmares > wrote: > >> E quanto à matemática dos séculos 17, 18 e 19 de antes da aritmetização >> da análise e do surgimento da lógica moderna? >> >> Newton, Leibniz, Gauss... Nenhum deles ouviu falar sobre ZFC. Se a >> matemática é ZFC, o que eles praticavam? E quanto aos antigos? Arquimedes, >> que nem algarismos indo-arábicos possuía? >> >> Será que quando identificamos a matemática com algum sistema fundacional >> não estaríamos apenas confundindo nossas ideias com uma particular >> "implementação" delas? Parece que estaríamos confundindo a informação >> tratada por um computador com seu particular sistema operacional: seria o >> mesmo que dizer "a informação é Linux". Outra pessoa diria: "a informação é >> Windows". >> >> Apenas razões pragmáticas decidem por uma implementação ou outra. Mas >> parece que quando olhamos a coisa do ponto de vista histórico, nenhuma >> apresentação ou implementação captura inteiramente o que é a matemática. Da >> mesma forma, um sistema de escrita de música, sejam partituras ou cifras ou >> outros, não é a própria música. >> >> Li a lista de resultados originais de Newton nos Principa apresentada >> pelo Morris Kline naquele livrão sobre o pensamento matemático da >> antiguidade aos nossos dias... Fico imaginando um matemático de hoje >> voltando no tempo e dizendo a ele: "Cara, muito legal isso aí, mas deixa eu >> te ensinar a verdadeira matemática, vamos começar falando sobre o axioma de >> extensionalidade". >> >> :-) >> >> M. >> >> >> Em sábado, 5 de agosto de 2023, 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L < >> logica-l@dimap.ufrn.br> escreveu: >> >>> Oi Petrucio, >>> >>> P
Re: [Logica-l] Coletivo Lógica Viva: sobre infinitos, números e provas
Marcos:
Esta discussão, provocada pelo bate-papo com o Samuel, ficou tão
interessante, que sugiro a você que programe um bate-papo conjunto entre
você, Samuel e Daniel.
Que tal?
Abraços,
Itala
Em dom., 6 de ago. de 2023 às 13:10, Valeria de Paiva <
valeria.depa...@gmail.com> escreveu:
> Muito boa, a comparação, Marcio!
>
> mas me parece que o nível está um pouco errado. os sistemas fundacionais
> seriam mais como as linguagens de programação, do que como sistemas
> operacionais. a matemática sempre pode ser feita numa linguagem diferente,
> mas fica com uma cara diferente se for feita em C ou Haskell ou Python.
>
> Acho que o nível importa, porque sistemas operacionais parecem estar cada
> vez mais poderosos, mas linguagens não e' tao claro como elas se relacionam
> umas com as outras. Então e' mais uma questão de gosto. e os pros e cons
> são mais complicados.
>
> Mas gente pode traduzir a matemática do seculo 17, por exemplo, em ZFC e
> essa foi uma grande conquista matemática do final do seculo 19, certo? acho
> esse paper do Quinn muito interessante
> A Revolution in Mathematics? What Really Happened a Century
> Ago and Why It Matters Today, Frank Quinn 2012
> https://www.ams.org/notices/201201/rtx120100031p.pdf
> Nao concordo com tudo o que ele fala, mas acho tudo bem interessante e
> provocativo, no bom sentido, de provocar questionamentos.
>
> abraços,
> Valeria
>
> On Sun, Aug 6, 2023 at 6:03 AM Márcio Palmares
> wrote:
>
>> E quanto à matemática dos séculos 17, 18 e 19 de antes da aritmetização
>> da análise e do surgimento da lógica moderna?
>>
>> Newton, Leibniz, Gauss... Nenhum deles ouviu falar sobre ZFC. Se a
>> matemática é ZFC, o que eles praticavam? E quanto aos antigos? Arquimedes,
>> que nem algarismos indo-arábicos possuía?
>>
>> Será que quando identificamos a matemática com algum sistema fundacional
>> não estaríamos apenas confundindo nossas ideias com uma particular
>> "implementação" delas? Parece que estaríamos confundindo a informação
>> tratada por um computador com seu particular sistema operacional: seria o
>> mesmo que dizer "a informação é Linux". Outra pessoa diria: "a informação é
>> Windows".
>>
>> Apenas razões pragmáticas decidem por uma implementação ou outra. Mas
>> parece que quando olhamos a coisa do ponto de vista histórico, nenhuma
>> apresentação ou implementação captura inteiramente o que é a matemática. Da
>> mesma forma, um sistema de escrita de música, sejam partituras ou cifras ou
>> outros, não é a própria música.
>>
>> Li a lista de resultados originais de Newton nos Principa apresentada
>> pelo Morris Kline naquele livrão sobre o pensamento matemático da
>> antiguidade aos nossos dias... Fico imaginando um matemático de hoje
>> voltando no tempo e dizendo a ele: "Cara, muito legal isso aí, mas deixa eu
>> te ensinar a verdadeira matemática, vamos começar falando sobre o axioma de
>> extensionalidade".
>>
>> :-)
>>
>> M.
>>
>>
>> Em sábado, 5 de agosto de 2023, 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L <
>> logica-l@dimap.ufrn.br> escreveu:
>>
>>> Oi Petrucio,
>>>
>>> Possivelmente sim, se formaliza pares ordenados, relações e funções, a
>>> coisa vai embora.
>>>
>>> Talvez por influência do livro do Halmos (que curiosamente se chama
>>> Teoria Ingênua dos Conjuntos), o "xiszinho" que o matemático establishment
>>> colocaria pra falar qual é a formalização de matemática pra ele, ele
>>> colocaria em ZFC.
>>>
>>> (ZFC a gente escuta ouvir falar nas salas de café de vez em quando...)
>>>
>>> É como o Lema de Zorn, para 99 por cento das aplicações a formulação já
>>> era conhecida por Kuratowski 15 a 20 anos antes do artigo de Zorn. O que
>>> "pegou" foi o enunciado de Zorn.
>>>
>>> Para fundamentação de matemática, o que "pegou" é ZFC.
>>>
>>> Também observo que, a princípio, os resultados "independentes da
>>> Matemática" são aqueles mostrados "independentes de ZFC", então esse é
>>> outro critério que acaba contribuindo para essa identificação
>>> entre "ZFC" e "matemática".
>>>
>>> Até
>>>
>>> []s Samuel
>>>
>>>
>>> - Mensagem original -
>>> De: Jorge Petrucio Viana
>>> Para: Samuel Gomes da Silva
>>> Cc: Valeria de Paiva , Daniel Durante <
>>> durant...@gmail.com>, Marcos Silva ,
>>> pin...@googlegroups.com , Grupo de pesquisa
>>> CLEA
>>> Enviadas: Sat, 05 Aug 2023 16:18:37 -0300 (BRT)
>>> Assunto: Re: [Logica-l] Re: Coletivo Lógica Viva: sobre infinitos,
>>> números e provas
>>>
>>> Oi Samuel,
>>> pelo que vejo, esse seu raciocínio (letrinhas de contrato) vale para
>>> qualquer outra formalização da matemática...
>>> Por ele, eu concluo que para um matemático-padrão, o sistema
>>> $\mathcal{L}^x$ usado for Tarski e Givant no seu livro "A formalization
>>> of
>>> set theory without variables" é a medida do básico.
>>> "Set theory" aqui não significa ZFC, mas qualquer sistema onde a
>>> existência
>>> de "uma certa noção relaxada de par ordenado" é um (axioma ou) teorema.
>>> Incluindo sistemas formulados na teoria das categorias e mais...
>
Re: [Logica-l] Coletivo Lógica Viva: sobre infinitos, números e provas
Muito boa, a comparação, Marcio!
mas me parece que o nível está um pouco errado. os sistemas fundacionais
seriam mais como as linguagens de programação, do que como sistemas
operacionais. a matemática sempre pode ser feita numa linguagem diferente,
mas fica com uma cara diferente se for feita em C ou Haskell ou Python.
Acho que o nível importa, porque sistemas operacionais parecem estar cada
vez mais poderosos, mas linguagens não e' tao claro como elas se relacionam
umas com as outras. Então e' mais uma questão de gosto. e os pros e cons
são mais complicados.
Mas gente pode traduzir a matemática do seculo 17, por exemplo, em ZFC e
essa foi uma grande conquista matemática do final do seculo 19, certo? acho
esse paper do Quinn muito interessante
A Revolution in Mathematics? What Really Happened a Century
Ago and Why It Matters Today, Frank Quinn 2012
https://www.ams.org/notices/201201/rtx120100031p.pdf
Nao concordo com tudo o que ele fala, mas acho tudo bem interessante e
provocativo, no bom sentido, de provocar questionamentos.
abraços,
Valeria
On Sun, Aug 6, 2023 at 6:03 AM Márcio Palmares
wrote:
> E quanto à matemática dos séculos 17, 18 e 19 de antes da aritmetização da
> análise e do surgimento da lógica moderna?
>
> Newton, Leibniz, Gauss... Nenhum deles ouviu falar sobre ZFC. Se a
> matemática é ZFC, o que eles praticavam? E quanto aos antigos? Arquimedes,
> que nem algarismos indo-arábicos possuía?
>
> Será que quando identificamos a matemática com algum sistema fundacional
> não estaríamos apenas confundindo nossas ideias com uma particular
> "implementação" delas? Parece que estaríamos confundindo a informação
> tratada por um computador com seu particular sistema operacional: seria o
> mesmo que dizer "a informação é Linux". Outra pessoa diria: "a informação é
> Windows".
>
> Apenas razões pragmáticas decidem por uma implementação ou outra. Mas
> parece que quando olhamos a coisa do ponto de vista histórico, nenhuma
> apresentação ou implementação captura inteiramente o que é a matemática. Da
> mesma forma, um sistema de escrita de música, sejam partituras ou cifras ou
> outros, não é a própria música.
>
> Li a lista de resultados originais de Newton nos Principa apresentada pelo
> Morris Kline naquele livrão sobre o pensamento matemático da antiguidade
> aos nossos dias... Fico imaginando um matemático de hoje voltando no tempo
> e dizendo a ele: "Cara, muito legal isso aí, mas deixa eu te ensinar a
> verdadeira matemática, vamos começar falando sobre o axioma de
> extensionalidade".
>
> :-)
>
> M.
>
>
> Em sábado, 5 de agosto de 2023, 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L <
> logica-l@dimap.ufrn.br> escreveu:
>
>> Oi Petrucio,
>>
>> Possivelmente sim, se formaliza pares ordenados, relações e funções, a
>> coisa vai embora.
>>
>> Talvez por influência do livro do Halmos (que curiosamente se chama
>> Teoria Ingênua dos Conjuntos), o "xiszinho" que o matemático establishment
>> colocaria pra falar qual é a formalização de matemática pra ele, ele
>> colocaria em ZFC.
>>
>> (ZFC a gente escuta ouvir falar nas salas de café de vez em quando...)
>>
>> É como o Lema de Zorn, para 99 por cento das aplicações a formulação já
>> era conhecida por Kuratowski 15 a 20 anos antes do artigo de Zorn. O que
>> "pegou" foi o enunciado de Zorn.
>>
>> Para fundamentação de matemática, o que "pegou" é ZFC.
>>
>> Também observo que, a princípio, os resultados "independentes da
>> Matemática" são aqueles mostrados "independentes de ZFC", então esse é
>> outro critério que acaba contribuindo para essa identificação
>> entre "ZFC" e "matemática".
>>
>> Até
>>
>> []s Samuel
>>
>>
>> - Mensagem original -
>> De: Jorge Petrucio Viana
>> Para: Samuel Gomes da Silva
>> Cc: Valeria de Paiva , Daniel Durante <
>> durant...@gmail.com>, Marcos Silva ,
>> pin...@googlegroups.com , Grupo de pesquisa CLEA
>>
>> Enviadas: Sat, 05 Aug 2023 16:18:37 -0300 (BRT)
>> Assunto: Re: [Logica-l] Re: Coletivo Lógica Viva: sobre infinitos,
>> números e provas
>>
>> Oi Samuel,
>> pelo que vejo, esse seu raciocínio (letrinhas de contrato) vale para
>> qualquer outra formalização da matemática...
>> Por ele, eu concluo que para um matemático-padrão, o sistema
>> $\mathcal{L}^x$ usado for Tarski e Givant no seu livro "A formalization of
>> set theory without variables" é a medida do básico.
>> "Set theory" aqui não significa ZFC, mas qualquer sistema onde a
>> existência
>> de "uma certa noção relaxada de par ordenado" é um (axioma ou) teorema.
>> Incluindo sistemas formulados na teoria das categorias e mais...
>>
>> P
>>
>> Em sáb., 5 de ago. de 2023 às 16:03, 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L
>> <
>> logica-l@dimap.ufrn.br> escreveu:
>>
>> > Oi Petrucio,
>> >
>> > Da mesma forma que ninguém lê as letrinhas pequenas de nenhum contrato,
>> >
>> > O matemático establishment sabe (na maioria das vezes) que trabalha em
>> > ZFC, mesmo que só saiba dar como exemplo o Axioma da Escolha.
>> >
>> > (Muitos deles acham que a Hipótese do
Re: [Logica-l] Coletivo Lógica Viva: sobre infinitos, números e provas
E quanto à matemática dos séculos 17, 18 e 19 de antes da aritmetização da
análise e do surgimento da lógica moderna?
Newton, Leibniz, Gauss... Nenhum deles ouviu falar sobre ZFC. Se a
matemática é ZFC, o que eles praticavam? E quanto aos antigos? Arquimedes,
que nem algarismos indo-arábicos possuía?
Será que quando identificamos a matemática com algum sistema fundacional
não estaríamos apenas confundindo nossas ideias com uma particular
"implementação" delas? Parece que estaríamos confundindo a informação
tratada por um computador com seu particular sistema operacional: seria o
mesmo que dizer "a informação é Linux". Outra pessoa diria: "a informação é
Windows".
Apenas razões pragmáticas decidem por uma implementação ou outra. Mas
parece que quando olhamos a coisa do ponto de vista histórico, nenhuma
apresentação ou implementação captura inteiramente o que é a matemática. Da
mesma forma, um sistema de escrita de música, sejam partituras ou cifras ou
outros, não é a própria música.
Li a lista de resultados originais de Newton nos Principa apresentada pelo
Morris Kline naquele livrão sobre o pensamento matemático da antiguidade
aos nossos dias... Fico imaginando um matemático de hoje voltando no tempo
e dizendo a ele: "Cara, muito legal isso aí, mas deixa eu te ensinar a
verdadeira matemática, vamos começar falando sobre o axioma de
extensionalidade".
:-)
M.
Em sábado, 5 de agosto de 2023, 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L <
logica-l@dimap.ufrn.br> escreveu:
> Oi Petrucio,
>
> Possivelmente sim, se formaliza pares ordenados, relações e funções, a
> coisa vai embora.
>
> Talvez por influência do livro do Halmos (que curiosamente se chama Teoria
> Ingênua dos Conjuntos), o "xiszinho" que o matemático establishment
> colocaria pra falar qual é a formalização de matemática pra ele, ele
> colocaria em ZFC.
>
> (ZFC a gente escuta ouvir falar nas salas de café de vez em quando...)
>
> É como o Lema de Zorn, para 99 por cento das aplicações a formulação já
> era conhecida por Kuratowski 15 a 20 anos antes do artigo de Zorn. O que
> "pegou" foi o enunciado de Zorn.
>
> Para fundamentação de matemática, o que "pegou" é ZFC.
>
> Também observo que, a princípio, os resultados "independentes da
> Matemática" são aqueles mostrados "independentes de ZFC", então esse é
> outro critério que acaba contribuindo para essa identificação
> entre "ZFC" e "matemática".
>
> Até
>
> []s Samuel
>
>
> - Mensagem original -
> De: Jorge Petrucio Viana
> Para: Samuel Gomes da Silva
> Cc: Valeria de Paiva , Daniel Durante <
> durant...@gmail.com>, Marcos Silva ,
> pin...@googlegroups.com , Grupo de pesquisa CLEA <
> pina...@googlegroups.com>
> Enviadas: Sat, 05 Aug 2023 16:18:37 -0300 (BRT)
> Assunto: Re: [Logica-l] Re: Coletivo Lógica Viva: sobre infinitos, números
> e provas
>
> Oi Samuel,
> pelo que vejo, esse seu raciocínio (letrinhas de contrato) vale para
> qualquer outra formalização da matemática...
> Por ele, eu concluo que para um matemático-padrão, o sistema
> $\mathcal{L}^x$ usado for Tarski e Givant no seu livro "A formalization of
> set theory without variables" é a medida do básico.
> "Set theory" aqui não significa ZFC, mas qualquer sistema onde a existência
> de "uma certa noção relaxada de par ordenado" é um (axioma ou) teorema.
> Incluindo sistemas formulados na teoria das categorias e mais...
>
> P
>
> Em sáb., 5 de ago. de 2023 às 16:03, 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L <
> logica-l@dimap.ufrn.br> escreveu:
>
> > Oi Petrucio,
> >
> > Da mesma forma que ninguém lê as letrinhas pequenas de nenhum contrato,
> >
> > O matemático establishment sabe (na maioria das vezes) que trabalha em
> > ZFC, mesmo que só saiba dar como exemplo o Axioma da Escolha.
> >
> > (Muitos deles acham que a Hipótese do Continuo vale "na prática", mas
> isso
> > é ainda outra história...)
> >
> > Sobre a coisa de ordem, pelo menos nisso o matemático establishment tem
> > sorte, pois como os subconjuntos dos conjuntos são conjuntos, as
> > (subfamilias das) famílias de subconjuntos são conjuntos, etc., dá pra
> > fazer tudo em primeira ordem.
> >
> > Atés
> >
> > []s Samuel
> > - Mensagem original -
> > De: Jorge Petrucio Viana
> > Para: Samuel Gomes da Silva
> > Cc: Valeria de Paiva , Daniel Durante <
> > durant...@gmail.com>, Marcos Silva ,
> > pin...@googlegroups.com , Grupo de pesquisa
> CLEA <
> > pina...@googlegroups.com>
> > Enviadas: Sat, 05 Aug 2023 14:54:05 -0300 (BRT)
> > Assunto: Re: [Logica-l] Re: Coletivo Lógica Viva: sobre infinitos,
> números
> > e provas
> >
> > Boa tarde!
> >
> > Uma dúvida honesta (não é, simplesmente, uma provocação):
> > O que vocês estão chamando de ZFC?
> >
> > Se for o que está, por exemplo, no livro do Devlin (ou seja, First Order
> > Logic ZFC), não concordo que "para um matemático-padrão ZFC e' a medida,
> o
> > básico" (ou algo semelhante).
> >
> > Pelo que vejo, matemáticos padrão trabalham, pelo menos, em terceira
> ordem
> > e usam "naive set theory" (uma versão m
