Como simplificar?
Caros amigos, como fao para simplificar a expresso abaixo? 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) Davidson Estanislau
Re: Como simplificar?
S significa somatrio com k variando de 1 a n. S[(k+1)(2k+1)] =S(2k^2+3k+1) = 2S(k^2) + 3S(k) +S(1)= 2 (n)(n+1)(2n+1)/6 + 3n(n+1)/2 +n Davidson Estanislau wrote: 001601c17d8a$9df7b4e0$[EMAIL PROTECTED]"> Caros amigos, como fao para simplificar a expresso abaixo? 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) Davidson Estanislau
Re: Como simplificar?
Olá Davidson, Observe que esta soma é o somatório de (2k^2 +3k + 1) com k variando de 1 até n . Como 1^2 + 2^2 + 3^2+ ...n^2 = n(n+1)(2n+1)/6, 1+2+3+... +n = n(n+1)/2 e 1+1+1+...+1=n ; temos que o somatório pedido é : 2.n(n+1)(2n+1)/6 + 3.n(n+1)/2 + n , bastando agorasimplificar mais esta expressão , ok ? Abraços , Carlos Victor ---Original Message--- From: [EMAIL PROTECTED] Date: Wednesday, December 05, 2001 10:44:19 To: obm Subject: Como simplificar? Caros amigos, como faço para simplificar a expressão abaixo? 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) Davidson Estanislau
Re: Como simplificar?
2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) = 2*4 - 2 + 3*6 - 3+ 4*8 - 4+ 5*10 - 5+ 6*12 - 6+ ... + (n+1)*(2n+2) - (n+1)= 2*4+ 3*6 + 4*8+ 5*10 + 6*12+ ... + (n+1)*(2n+2)- (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) = 2*(2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) = 2*(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - 2 -(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) = (2*(n+1)(n+2)(2n+3))/6 - 2 -((n+3)n)/2 = (n+1)(n+2)(2n+3)/3 - 2 - ((n+3)n)/2 = (2*(n+1)(n+2)(2n+3) - 12 - 3*((n+3)n)) / 6 = (4n^3 + 18n^2 + 26n + 12 - 12 - 3n^2 - 9n) / 6 = (4n^3 + 15n^2 + 17n) / 6 = (n/6) * (4n^2 + 15n + 17) -Mensagem Original- De: Davidson Estanislau Para: obm Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro de 2001 10:44 Terezan Assunto: Como simplificar? Caros amigos, como faço para simplificar a expressão abaixo? 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) Davidson Estanislau
Traducao dos Problemas Russos na Home-Page
Ola Prof Nicolau e demais membros desta lista, Saudacoes a Todos ! O interesse por essas traducoes e realmente muito grande, muito alem do que eu imaginava. O que mais me surpreendeu, porem, foi receber pedidos de estudantes de varios paises da America do Sul e mesmo da Europa. Isto mostra que : 1) As discussoes que travamos sao acompanhadas em ambito internacional, o que e bom, pois assim deve ser a nossa Matematica. 2) Possiveis adversarios nossos nas Olimpiadas Internacionais estao estudando pra valer, o que nos sugere que devemos estudar, ao menos, com o mesmo afinco. Como esta ficando dificil atender com presteza a todos e como EU AINDA NAO TENHO UMA HOME-PAGE ( Que vergonha, eu trabalho com isso ! ), eu acho a ideia do Prof Nicolau, expressa abaixo, muito boa. Assim : 1) Apos esta mensagem vou remeter uma mensagem particular para o Prof Nicolau com os arquivos de traducoes anexados, podendo doravante serem bauxados da home-page dele. 2) Os pedidos que chegaram antes desta deliberacao ( cerca de 20 ) serao atendidos normalmente. 3) Se por alguma razao alguem prefirir me fazer o pedido pessoalmente, por favor, nao remeta uma mensagem para esta lista, remeta para : [EMAIL PROTECTED] 4) As traducoes estao no formato Word do Windows, porque, infelizmente, este sistema operacional ainda e o principal nos microcomputadores dos estudantes. Um abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1252,051101 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Traducao dos Problemas Russos Date: Tue, 4 Dec 2001 15:12:33 -0200 Como há um interesse claramente grande nesta tradução, não seria interessante colocá-la em uma home page? Eu ofereço a minha, onde já estão os arquivos da lista, se o autor não tiver outra idéia. []s, N. Ola Pessoal, Tudo Legal ? Talvez interesse a alguns estudantes que se preparam para Olimpiadas a traducao que fiz dos 100 primeiros problemas russos. Coloquei em formato Word para Windows. Como nao podemos remeter para esta lista mensagens com arquivos anexados, quem se interessar em ter estas traducoes basta me enviar um pedido por e-mail que responderei com as traducoes anexadas. _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Re: Como simplificar?
Sauda,c~oes tri...,
Estas duas somas que apareceram uma em seguida à
outra
podem ser resolvidas mecanicamente da seguinte
forma:
Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) é um
polinômio
de grau k em i.
Expressamos p(i) em função dos polinômios fatoriais (pf) e
achamos
uma antidiferença P(i). Então S_n = P(n+1) -
P(1).
Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 +
... + (n+1)*(2n+1) =
\sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)
Expressando p(i) em função dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i
+ 1.
Então P(i) é (observe a semelhança da integral): (2/3)
(i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} + i.
Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2)
(n+1)n + n+ 1 - 0 - 0 - 1=
(n/6) * (4n^2 + 15n +
17)
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Alexandre F. Terezan
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro
de 2001 11:40
Assunto: Re: Como simplificar?
2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =
2*4 - 2 + 3*6 - 3+ 4*8 - 4+ 5*10 - 5+ 6*12 - 6+
... + (n+1)*(2n+2) - (n+1)=
2*4+ 3*6 + 4*8+ 5*10 + 6*12+ ... + (n+1)*(2n+2)-
(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) =
2*(2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - (2 + 3 + 4 + 5 + 6 +
... + (n+1)) =
2*(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - 2 -(2 + 3 +
4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) =
(2*(n+1)(n+2)(2n+3))/6 - 2 -((n+3)n)/2 =
(n+1)(n+2)(2n+3)/3 - 2 - ((n+3)n)/2 =
(2*(n+1)(n+2)(2n+3) - 12 - 3*((n+3)n)) / 6 =
(4n^3 + 18n^2 + 26n + 12 - 12 - 3n^2 - 9n) / 6 =
(4n^3 + 15n^2 + 17n) / 6 =
(n/6) * (4n^2 + 15n +
17)
-Mensagem Original-
De:
Davidson
Estanislau
Para: obm
Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro
de 2001 10:44 Terezan
Assunto: Como simplificar?
Caros amigos, como
faço para simplificar a expressão abaixo?
2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1)
Davidson
Estanislau
Re: Traducao dos Problemas Russos
Oi Alexandre e demais colegas desta lista, A sua solucao esta correta. Por ser simples e bonita, e e bonita porque e simples. Este e o primeiro problema russo. A sua solucao e identica a que apresentei em outra lista,aqui do Brasil mas de outro estado. Ela tem os seguintes principios : 1)Se o numero de lados do poligono e impar e o tracado comecar fora do poligono, entao o tracado vai ter que terminar dentro dele. Reciprocamente, se o tracado comecar no interior do poligono, vai ter que terminar fora. 2)Se o numero de lados do poligono e par, as coisas se invertem. E explorando estes dois principios que se prova facilmente que nao e possivel executar um tracado, isto e, o tracado e impossivel. Mas eu apresentei a solucao assim porque queria que o maior numero possivel de pessoas pudessem entender. Numa competicao eu nao faria assim, pois o tempo e um fator importante. Inclusive na outra lista eu mostrei como era possivel fazer de outra forma, a saber : 1) Nomeie cada regiao com uma letra, inclusive a regiao exterior. 2) transforme cada aresta que precisa ser ultrapassada pelo caminho em um arco que liga as duas regioes envolvidas 3) As arestas se transformam em arcos e as regios em pontos ligados por estes arcos : temos um grafo. 4) Determinar se o problema tem solucao equivalem a responder se ha um CAMINHO EULERIANO neste grafo. 5) Ora, um grafo so tem um caminho euleriano se qualquer de seus vertices tem grau par, isto e, se concorre um quantidade par de arcos naquele vertice. 6) O grafo em questao tem vertices de grau impar : logo, nao ha um caminho euleriano nele. Logo, o tracado procurado e impossivel. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1435,051101 From: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Traducao dos Problemas Russos Date: Tue, 4 Dec 2001 15:43:08 -0200 Olá Paulo e demais integrantes da lista. Eu nao sei se alguém já respondeu ao problema antes, mas lá vai uma tentativa. Gostaria que comentassem, minha solucao é tao elementar que acho q está errada, hehehe Imaginemos separadamente cada um dos 5 polígonos delimitados. 2 deles sao verdadeiros retangulos, cada um com 4 arestas. Mas há 3 deles que eu vou encarar como pentágonos pois possuem 5 arestas. Os pentágonos sao: - O polígono superior esquerdo - O polígono superior direito - O polígono inferior central Imaginemos um destes pentágonos. Chamemos de PS o ponto em que comecamos a desenhar a suposta curva e PF o ponto em que terminamos de desenhá-la. Cada vez que a curva cortar uma aresta do pentágono contaremos como 1 CORTE. Vamos imaginar um contra-exemplo para o enunciado, ou seja, ao menos uma curva que não passa por qualquer dos vértices e que cruza todas as arestas APENAS uma vez. Caso nao haja tal contra-exemplo estará demonstrado que: Qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das arestas mais de uma vez. Há 2 hipóteses: a) PS é interior ao pentágono -- neste caso, após 5 CORTES em arestas distintas (1 CORTE por aresta), PF tem de ser EXTERIOR ao pentágono; b) PS é exterior ao pentágono -- neste caso, após 5 CORTES em arestas distintas (1 CORTE por aresta), PF tem de ser INTERIOR ao pentágono; Ora, o mesmo raciocíno pode ser aplicado aos 2 outros pentágonos. Agora, verifique que há 2 casos que devemos considerar: I) PS é interior ao pentágono superior direito: Neste caso, é evidente que PS tem de ser exterior aos 2 outros pentágonos. PS ser exterior ao pentágono superior esquerdo (hipótese b) faz com que PF seja interior a ele. Mas PS ser exterior ao pentágono inferior central (hipótese b) faz com que PF seja também interior a ele. Como PF nao pode ser interior a 2 pentágonos distintos simultaneamente, chegamos a um ABSURDO. II) PS é exterior ao pentágono superior direito: Neste caso, pela hipótese b, PF deve ser interior a este pentágono. Assim, é evidente que PF tem de ser exterior aos 2 outros pentágonos. Mas PF ser exterior ao pentágono superior esquerdo implica que PS seja interior a ele (pois caso contrário, pela hipótese b, PF seria interior a este pentágono, o que é impossível). Pela mesma razao, PF ser exterior ao pentágono inferior central faz com que PS seja também interior a ele. Como PS nao pode ser interior a 2 pentágonos distintos simultaneamente, chegamos a um ABSURDO. Como nao há contra-exemplo para o enunciado que nao nos leve a um absurdo, CONLUSAO: Qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das arestas mais de uma vez. C.Q.D. [ ]'s Alexandre Terezan -Mensagem Original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 14 de Novembro de 2001 14:52 Terezan Assunto: Traducao dos Problemas Russos Ola Pessoal, Tudo Legal ? Talvez interesse a alguns estudantes que se preparam para Olimpiadas a
Re: arc[sen(2)] = (a+bi) pq?
As funções que você conhece (como exp, sen, cos, ...) têm gereralizações para números complexos. A mais simples delas é exp(x) = e^x. As propriedades mais fundamentais dela são exp(0) = 1, exp(x+y) = exp(x) exp(y) Em primeiro lugar, obrigado Nicolau, e Eduardo. Bom, quer dizer então que quando expandimos essas funcoes trigonometricas, elas perdem o seu sentido original? pois nao é periodica, inversivel e muito menos limitada. Existe representacao grafica pelo menos? não consigo imaginar como possa ser representado o seno ou até mesmo um fatorial (no caso do fatorial, nao graficamente, claro) de um afixo que é apenas um par ordenado! -- Now I will have less distraction. [upon losing the use of his right eye] Leonhard Euler
Re: Como simplificar?
O que é um polinômio fatorial e uma antidiferença?
Luis, O que vc quis dizer com 2(i)^{(2)}?
Obrigado
[ Vinicius José Fortuna ]
On Wed, 5 Dec 2001, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes tri...,
Estas duas somas que apareceram uma em seguida à outra
podem ser resolvidas mecanicamente da seguinte forma:
Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) é um polinômio
de grau k em i.
Expressamos p(i) em função dos polinômios fatoriais (pf) e achamos
uma antidiferença P(i). Então S_n = P(n+1) - P(1).
Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =
\sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)
Expressando p(i) em função dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i + 1.
Então P(i) é (observe a semelhança da integral): (2/3) (i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} +
i.
Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2) (n+1)n + n + 1 - 0 - 0
- 1 =
(n/6) * (4n^2 + 15n + 17)
[]'s
Luís
Re: Como simplificar?
Se f(x+1)-f(x)=g(x), g a diferena de f; f a antidiferena de g.
Antidiferena serve para somar. Realmente , representando por S somatrio
com k variando de 1 ate n, temos
S(g(k))= g(1)+g(2)+...+g(n)=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+...+f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(1).
Logo, para somar valores de g, basta descobrir uma antidiferena de g.
Potncia fatorial uma "espcie" de potncia. x elevado a n um produto
de n fatores iguais a x. A potncia fatorial x baixado a n (usualmente escreve-se
o x entre parenteses e o n fora do parenteses como um indice) um produto
de n fatores
x(x-1)...(x-n+1).
A diferena de x baixado a n [n vezes(x baixado a n-1)] e a antidiferena
de x baixado a n [(x baixado a n+1) dividido por n+1].
Vinicius Jos Fortuna wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
O que um polinmio fatorial e uma antidiferena?Luis, O que vc quis dizer com 2(i)^{(2)}?Obrigado[ Vinicius Jos Fortuna ]On Wed, 5 Dec 2001, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes tri...,Estas duas somas que apareceram uma em seguida outrapodem ser resolvidas mecanicamente da seguinte forma:Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) um polinmiode grau k em i.Expressamos p(i) em funo dos polinmios fatoriais (pf) e achamosuma antidiferena P(i). Ento S_n = P(n+1) - P(1).Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =\sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)Expressando p(i) em funo dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i + 1.Ento P(i) (observe a semelhana da integral): (2/3) (i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} + i.Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2) (n+1)n + n + 1 - 0 - 0 - 1 = (n/6) * (4n^2 + 15n + 17) []'sLus
Podem analisar para mim?
Olá amigos da lista. Ontem, entrando em um desses sites com algumas taglines li uma que dizia que se escrevermos um numero de 3 algarismos do lado do mesmo, e dividimos por 13, depois por 11, e por 7 (ou seja, por 1001), obtemos o mesmo número, ou seja: 123123/1001=123. Realmente funcionou com todos que eu testei. Rabisquei umas folhas e cheguei na seguinte fórmula para generalizar a tagline acima: [ a*10^(2n+1) + b*10^(2n) + c*10^(2n-1) + ... + p*10^(n+1) + a*10^(n) + b*10^(n-1) + c*10^(n-2) + ... + p*10^0 ] / 10^(n+1) + 1 = a*10^n + b*10^(n-1) + c*10^(n-2) + ... + p*10^0 Nao sei bem se a formula seria esta, ou se existe uma outra generalização (mais simples), ou ainda se isto q demonstrei é uma grande besteira. Alguem poderia analisar pra mim? []'s Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED]
Re: Como simplificar?
Sauda,c~oes tri...,
Obrigado Morgado. Tudo isso está explicado num
livro
(Manual de Seq. e Séries) que escrevi cuja
amostra
encontra-se em www.escolademestres.com/qedtexte
Um outro exemplo da força do método: seja
calcular
S_n(m) = \sum_{i=0}^n \binom{i}{m}, onde \binom{i}{m} = i!/m!
(i-m)!
Então p(i)=\binom{i}{m} e P(i)=\binom{i}{m+1}. Pra
entender
por que, aplique Stiffel (o nome é esse,
não é?).
Portanto, S_n(m) = P(n+1) - P(0) =
\binom{n+1}{m+1}.
Agora o melhor: somas com p(i)=i, p(i)=i^2 etc para
i=1,..n
saem agora facilmente.
Como p(i)=i=\binom{i}{1}, então
S_n=\binom{n+1}{2}=n(n+1)/2.
Como p(i)=i^2=2\binom{i}{2} + \binom{i}{1}, então
S_n =2\binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2} =
n(n+1)(2n+1)/6.
[]'s
Luis
-Mensagem Original-
De: Augusto
César Morgado
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro
de 2001 18:01
Assunto: Re: Como simplificar?
Se f(x+1)-f(x)=g(x), g é a diferença de f; f é a antidiferença
de g.Antidiferença serve para somar. Realmente , representando por S
somatório com k variando de 1 ate n, temosS(g(k))=
g(1)+g(2)+...+g(n)=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+...+f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(1).Logo,
para somar valores de g, basta descobrir uma antidiferença de
g.Potência fatorial é uma "espécie" de potência. x elevado a n é um
produto de n fatores iguais a x. A potência fatorial x baixado a n (usualmente
escreve-se o x entre parenteses e o n fora do parenteses como um indice) é um
produto de n fatoresx(x-1)...(x-n+1).A diferença de x baixado a n é [n
vezes(x baixado a n-1)] e a antidiferença de x baixado a n é [(x baixado a
n+1) dividido por n+1].Vinicius José Fortuna wrote:
[EMAIL PROTECTED]"
type="cite">O que é um polinômio fatorial e uma antidiferença?Luis, O que vc quis dizer com 2(i)^{(2)}?Obrigado[ Vinicius José Fortuna ]On Wed, 5 Dec 2001, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes tri...,Estas duas somas que apareceram uma em seguida à outrapodem ser resolvidas mecanicamente da seguinte forma:Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) é um polinômiode grau k em i.Expressamos p(i) em função dos polinômios fatoriais (pf) e achamosuma antidiferença P(i). Então S_n = P(n+1) - P(1).Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =\sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)Expressando p(i) em função dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i + 1.Então P(i) é (observe a semelhança da integral): (2/3) (i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} + i.Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2) (n+1)n + n + 1 - 0 - 0 - 1 = (n/6) * (4n^2 + 15n + 17) []'sLuís
primo grande
Sauda,c~oes tri..., Este assunto surgiu na lista há pouco. Parece que está confirmado. Este email peguei de outra lista. []'s Luís THE WORLD'S LARGEST PRIME NUMBER 13,466,917 2 - 1 The largest prime number yet discovered has just been revealed to the world. George Woltman, Gimps founder The new number, expressed as 2^13,466,917-1, contains 4,053,946 digits and would take the best part of three weeks to write out longhand. The prime number - a number that can only be divided by one and itself - was discovered by Michael Cameron, a 20-year-old Canadian participant in a mass computer project known as the Great Internet Mersenne Prime Search (Gimps). Mersenne primes are important for the theory of numbers and they may help in developing unbreakable codes and message encryptions. The Gimps project spent 13,000 years of computer time to find the new prime number. http://news.bbc.co.uk/hi/english/sci/tech/newsid_1693000/1693364.stm
Re: Putnam 2001
E ai Marcio, andei tentando os problemas, confere com suas respostas o que fiz ate agora... A2 voce faz recorrencia em Pn(a probabilidade pedida para n moedas), fica Pn=P(n-1)*(1- 1/(2n+1)) + (1 - P(n-1))*(1/(2n+1)) , pois calcula a prob deve continuar impar, ou de virar impar. ai minha resposta deu Pn= 1/2 - 1/6( (2n-1)/(2n+1) )^n-1 A3 Igualando a 0 para achar raizes da equacao, voce acha sqrt(8m), logo colocamos m=2n^2, para algum n(a principio real). ai resolvendo voce acha as 4 raizes, e vendo os 3 casos ve que serve n=k ou n=sqrt(2)k, k natural. logo m=4k^2 ou m=2k^2, para todo k natural. A4 Se eu entendi certo bissecta quer dizer divide ao meio, certo? Essa eu fiz de um jeito que eu gosto muito, que é usar pesos nos vertices e estudar o centro de massa do sistema, que é unico, e isso muitas vezes ajuda na colinearidade e/ou concorrencia. percebi inicialmente que o triangulo RST esta com os vertices nas bases medias do ABC. Ai coloquei pesos que deixavam o centro de massa nessas bases e estudava as proporcoes que o RST dividia os lados do tringulo formado pelas bases medias(de area 1/4). achei essas proporcoes certinhas. sabendo as proporcoes voce usa o calculo da area a*b*sena/2 pois calcula com os lados inteiro, entao a area vale 1/4, ai depois so com a proporcao pedida, e vc acha a proporcao de area dos triangulos dos cantos, fora de RST, dentro do triangulo medio. Cada uma das tres areas deu (sqrt(5) - 2)/4. assim o resultado é 1/4 - 3*(sqrt(5)/4 - 2/4). deu 7/4 - 3*sqrt(5) / 4. nao expliquei bem, me pergunte se quiser saber detalhes.. A5 mod a: -1 == 2001 = 2002 == 0, logo a|2002. mod 3: se a=3k: -1 == 2001 = -1 == 0 mod 3. absurdo. se a=3k+2: 2^n+1 == 2001 == 0 absurdo denovo se a=3k+1: 1 - (-1)^n == 2001 == 0 lgo n tem que ser par. mod a+1: (-1)^n+1==2001, como n é par, -1==2001 = 2002 == 0, logo a+1|2002. mas os unicos divisores consecutivos a e a+1 de 2002 sao 13 e 14. lgo a=13. n=2 serve. se aumentamos o n em 1, a diferenca diminui(um multiplica por a, outro por a+1) assim a solucao é unica. B1 esse acho que todo mundo ja viu antes, cada casa é x*n + y(x e y variam de 1 a n). o vermelho soma n/2 vezes cada x e n/2 vezers cada y. ai é facil fazer a soma. preto é analogo. B3 n vale x, se so se x^2-x+1nx^2+x(2x valores). assim para esse intervalo temos a soma de PG: (2^x + 1/2^x)( 1/2^(x^2 -x +1) * ((1/2)^2x - 1)/(-1/2), fazendo a simplificacao temos: 2*2^(-x^2), com x variando de 0 a infinito. logo a soma fica 2*(1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^4 + ... ) mas parei por ai, alguma ideia? B4 digamos que a interseccao contenha certo p/q, p e q primmos entre si. ele é imagem de f^n para todo n. logo ha um x tq x - 1/x = p/q. tirando minimo e resolvendo temos em bascara sqrt(p^2 + (2q)^2) assim p e 2q satisfazem condicoes para serem pitagoricos, como 2q é par sera da forma 2uv, e p é u^2 - v^2. (nao ha o d, fator comum). substituindo isso e resolvendo se acha x=u/v. como p/q era imagem de f^2, u/v sera imagem de f, logo faremos a mesma coisa, achando v=v', depois analogamente v'=v'', infinitamente. mas temos q=uv=u*u'v'=uu'u''v''= ... logo tem infinitos fatores, absurdo, a nao ser que os u' sejam 1, mas testando 1 em p, nao ha possibilidade. logo a interseccao é vazia. vou tentando os outros depois, nao achei muitos avancos, a da funcao B5 parece uma que ja surgiu na lista, na qual a funcao parece uma recorrencia, mas nao descobri muita coisa. Abraço, Carlos From: Marcio [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] Date: Sun, 2 Dec 2001 15:26:30 -0200 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Fw: Putnam 2001 Aqui estao as questoes do Putnam 2001. Ainda nao tive tempo para pensar em todas. O autor desse email parece ser muito bom, mas mesmo assim ele disse que ainda nao conseguiu fazer 3 questoes, como vcs podem ver ai em baixo. Eu ja tentei fazer as questoes desde a A1 ateh A5. A A5 ainda me restam 6 valores de x para considerar, nao estou conseguindo elimina-los. As solucoes para os problemas A eu achei na internet em algum lugar, nao me lembro exatamente onde (putnam 2001 problems no google deve mostrar o site). Descobri que eu deixei de considerar um caso importante na solucao do A3. A minha solucao do A4 ficou meio grande, e deu resposta diferente da desse site. Com certeza a minha esta errada, mas ainda nao achei aonde (eu fiz por vetores, deu uma conta grande, mas diferente da que ta la). O A5 eu ainda nao li a solucao. O A6 eu vou tentar agora, mas eh improvavel eu obter algum avanco, haja vista que o autor do email ainda nao conseguiu fazer. Se eu descobrir algo mando pra lista! Os 3 primeiros sao bem mais faceis.. Tentem fazer tmb! Os problemas B's eu tento outro dia :) Eu nao estou cronometrando, mas acho que um dos principais obstaculos dessa prova eh o tempo. Vc tem que pensar em 6 questoes no curto periodo de 3 horas. Como curiosidade, um dos americanos que fecharam a IMO esse ano, ja foi (antes de entrar para a universidade!) um fellow putnam, o q significa
Re: arc[sen(2)] = (a+bi) pq?
On Tue, Dec 04, 2001 at 11:43:39PM -0200, niski wrote:
Olá caros participantes, sou um mero vestibulando, porem me interesso
muito pela matematica que um dia ainda vou aprender por isso participo
desse newsbem vamos ao assunto
Vi na minha HP, que quando coloco arc[sen(x)] , sendo x 1, ele retorna
um complexo! alguem poderia me dar pelo menos uma pincelada pq isso
acontece? uma coisa mais estranha ainda...
por exemplo..normalmente
arc[sen(0,5)] = 30
sen(30) = 0,5
nada mais natural não?
mas , sendo x 1 tenho na minha HP:
arc[sen(x)] = a+bi
e
sen(a+bi) = c+di , e nem o c é igual a x
Que bizarrice
Alguem que manje disso, por favor, dê uma pequena explicacao a respeito!
As funções que você conhece (como exp, sen, cos, ...) têm gereralizações
para números complexos. A mais simples delas é exp(x) = e^x.
As propriedades mais fundamentais dela são
exp(0) = 1, exp(x+y) = exp(x) exp(y)
e, se você conhecer um pouco de cálculo,
exp'(x) = exp(x)
ou seja
lim_{h - 0} (exp(x+h) - exp(x))/h = exp(x)
mas, usando as propriedades acima
lim_{h - 0} (exp(x+h) - exp(x))/h =
lim_{h - 0} (exp(x) exp(h) - exp(x))/h =
exp(x) lim_{h - 0} (exp(h) - 1)/h
Ou seja, esta última propriedade pode ser escrita como
lim_{h - 0} (exp(h) - 1)/h = 1
Estas propriedades ditam que exp(a+bi) deve ser definido como
exp(a+bi) = exp(a) (cos(b) + i sen(b))
De fato, é bem fácil verificar que a função exp, agora de C - C,
definida pelo lado direito satisfaz todas as propriedades acima.
Mais, qualquer função f: C - C satisfazendo
f(0) = 1,
f(x+y) = f(x) f(y),
lim_{h - 0} (f(h) - 1)/h = 1
deve ser igual à função exp que acabamos de definir.
Mas voltando às funções trigonométricas, podemos observar que
cos(x) = (exp(ix) + exp(-ix))/2
sen(x) = (exp(ix) - exp(-ix))/2i
Podemos tomar estas fórmulas como _definições_ de sen e cos de C - C.
De acordo com estas definições
cos(ix) = (exp(x) + exp(-x))/2
sen(ix) = i (exp(x) - exp(-x))/2
As funções acima são tão úteis que têm seus próprios nomes,
são chamadas de cos e sen hiperbólico.
cosh(x) = cos(ix) = (exp(x) + exp(-x))/2
senh(x) = sen(ix)/i = (exp(x) - exp(-x))/2
Como você pode ver por estas fórmulas, um imaginário puro z = ib
tem cos(z) 1 e um complexo z = (Pi/2) + ib satisfaz sen(z) 1.
[]s, N.
