RE: [obm-l] Re
Oi, gente. >1)Seja f:R==>R,não identicamente nula,tal que > >f(x)*f(y)=(1/2)[f(x+y)+f(x-y)] e f(1)=0,para todos os números reais x e y. > >a)Mostre que f(0)=1,f(2)=-1,f(3)=0 e f(4)=1. >b)Mostre que f(x+4)=f(x),para todo x real. >c)Existe de fato tal função. Bom, (a) saiu? Ok... Para (b), experimente fazer y=1 e prove que f(x+1)=-f(x-1), isto eh, f troca de sinal de 2 em 2. Assim, f(x+4)=-f(x+2)=f(x). Existe tal funcao? Bom, funcao periodica assim, 1,0,-1,0,1,0,-1,0,... me lembra senos e cossenos. Com um pouco de cuidado a gente tenta algo com periodo 4, por exemplo: f(x)=cos(Pi*x/2) e ve que dah certo (isto eh, cos(Pi*x/2) satisfaz as condicoes do enunciado... :PPronto, tal funcao existe (mas nao dissemos nada a respeito dela ser unica!). Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re
At 22:34 21/02/02 -0300, you wrote:
>Valeu pela resolução David e demais companheiros de lista.
>
>Eu gostaria de propor mais duas:
>
>
>1)Seja f:R==>R,não identicamente nula,tal que
>
>f(x)*f(y)=(1/2)[f(x+y)+f(x-y)] e f(1)=0,para todos os números reais x e y.
>
>a)Mostre que f(0)=1,f(2)=-1,f(3)=0 e f(4)=1.
>b)Mostre que f(x+4)=f(x),para todo x real.
>c)Existe de fato tal função.
>
>É fácil verificar o item a,mas não consegui o b e o c.
>
>2)Seja p(x)=x^3+ax^2+bx+c um polinômio com coeficientes inteiros.Suponha
>que a equação p(x)-0 tem raízes inteiras distintas.Mostre que a equação
>p(x)-1=0 não admite nenhuma raiz inteira.
Temos que p(x)=(x-a)(x-b)(x-c). Se p(x)-1=0, então (x-a)(x-b)(x-c)=1. Como
x,a,b,c são inteiros, ou
x-a=x-b=x-c=1 ou x-a=1 e x-b=x-c=-1, por exemplo. Mas as duas contradizem o
fato de a,b,c serem diferentes.
>
>3)Dada uma equação do segundo grau, com coeficientes inteiros,mostre que
>seu discriminante não pode ser igual a 23.
Há um modo mais fácil de fazer isso se vc observar os restos na divião por
4. MODULO 4, temos
b^2=23=3, e isso nao tem solução pois nenhum quadrado deixa resto 3 na
divisao por 4.
Não pensei na 1, mas espero ter ajudado.
Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>Essa eu acho que consegui fazer.Como eu não tenho muita prática em
>problemas de olimpíada,vou esboçar minha resolução.Quem vir alguma
>besteira,pode comentar se quiser.
>
>Fiz y=ax²+bx+c (com a,b e c nas condições do enunciado)
>
>Observei que todo quadrado perfeito termina em 0,1,4,5,6 ou 9 e que os
>múltiplos de 4 terminam em
>0,2,4,6 ou 8.
>
>Daí verifiquei o algarismo das unidades de delta=b²-4ac admitindo b²
>terminando em 0,1,4,5,6 ou 9.
>
>As possibilidades de 3 ser o algarismo das unidades de delta apareceram
>para b² terminando em 1 e b² terminando em 9.
>
>Para b² terminando em 1,temos que b termina em 1 ou 9.Daí b pertence
>{+-1,+-9,+-11,+-19,...}.
>Esses números são da forma 4k+ -1,k inteiro.
>
>(4k+ -1)²=16k²+-8k+1
>
>Como delta =b²-4ac,fiz delta igual a 23:
>
>16k²+-8k+1-4ac=23 ==> 2(k²+-2k-ac)=11 ==> 11 é múltiplo de 2(absurdo)
>
>Para b² terminando em 5,temos b múltiplo ímpar de 5.Pondo b=5(2k+1):
>
>delta=25(4k²+4k+1)-4ac
>
>Fazendo delta=23,resulta 25k²+25k-ac=(-1/2).Mas sendo k,a e c inteiros
>isso não pode acontecer.
>
>Delta nunca é igual a 23.
>- Original Message -
>From: David Daniel Turchick
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Sent: Thursday, February 21, 2002 12:36 AM
>Subject: Re: [obm-l] ???
>
>Eder, eu mandei e-mail respondendo à sua dúvida prá lista, mas por algum
>motivo ele não chegou, sei lá pq... Aí vai a minha resposta.
>
>
>
>Você conhece o Teorema de Cramer? Ele diz que um sistema linear de n
>equações a n incógnitas tem solução única se, e somente se, o determinante
>da matriz dos coeficientes for não-nulo.
>
>Sendo os pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3), queremos encontrar a,b,c
>reais tais que a*(x_i)^2+b*x_1+c=y_i, i=1,2,3. Acabamos então de montar um
>sistema linear de 3 equações a 3 incógnitas, a, b e c. A matriz dos
>coeficientes é {[(x_1)^2, x_1, 1], [(x_2)^2, x_2, 1], [(x_3)^2, x_3, 1]},
>cujo determinante é (x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_3-x_2) (a matriz é de
>Vandermonde, então é fácil). Isso só seria zero se tivéssemos coincidência
>de pelo menos duas abscissas, o que você explicitou não acontecer. Logo,
>pelo Teorema de Cramer, EXISTEM ÚNICOS a,b,c reais que satisfazem o
>sistema. Fora isso, o a não é zero, pois se fosse, teríamos a reta bx+c
>passando pelos três pontos (que você disse serem não-colineares). Logo,
>existe uma única parábola passando pelos três pontos.
>
>Você pode verificar que esse argumento (até a parte do "a não é zero,
>pois...") continua valendo para um caso mais geral: por n pontos de RxR
>com abscissas distintas 2 a 2, passa no máximo uma função polinomial de
>grau n-1.
>
>David
>-Mensagem original-
>De: Eder <[EMAIL PROTECTED]>
>Para: [EMAIL PROTECTED]
><[EMAIL PROTECTED]>
>Data: Quarta-feira, 20 de Fevereiro de 2002 16:38
>Assunto: [obm-l] ???
>
>Olá,
>
>Será que alguém poderia ajudar nesta questão:
>
>"Considere três pontos no plano cartesiano,não colineares e com abcissas
>distintas duas a duas.Qual o número de funções quadráticas que podem ser
>encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos?"
>
>Essa questão foi do vestibular de uma universidade não lá muito
>conceituada,mas eu ainda não matei a charada...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
[obm-l] Re
Valeu pela resolução David e demais
companheiros de lista.
Eu gostaria de propor mais duas:
1)Seja f:R==>R,não identicamente nula,tal
que
f(x)*f(y)=(1/2)[f(x+y)+f(x-y)] e f(1)=0,para
todos os números reais x e y.
a)Mostre que f(0)=1,f(2)=-1,f(3)=0 e
f(4)=1.
b)Mostre que f(x+4)=f(x),para todo x
real.
c)Existe de fato tal função.
É fácil verificar o item a,mas não consegui o b e o
c.
2)Seja p(x)=x^3+ax^2+bx+c um polinômio com
coeficientes inteiros.Suponha que a equação p(x)-0 tem raízes inteiras
distintas.Mostre que a equação p(x)-1=0 não admite nenhuma raiz
inteira.
3)Dada uma equação do segundo grau, com
coeficientes inteiros,mostre que seu discriminante não pode ser igual a
23.
Essa eu acho que consegui fazer.Como eu não tenho
muita prática em problemas de olimpíada,vou esboçar minha resolução.Quem vir
alguma besteira,pode comentar se quiser.
Fiz y=ax²+bx+c (com a,b e c nas condições do
enunciado)
Observei que todo quadrado perfeito termina em
0,1,4,5,6 ou 9 e que os múltiplos de 4 terminam em
0,2,4,6 ou 8.
Daí verifiquei o algarismo das unidades de
delta=b²-4ac admitindo b² terminando em 0,1,4,5,6 ou 9.
As possibilidades de 3 ser o algarismo das unidades
de delta apareceram para b² terminando em 1 e b² terminando em 9.
Para b² terminando em 1,temos que b termina em 1 ou
9.Daí b pertence {+-1,+-9,+-11,+-19,...}.
Esses números são da forma 4k+ -1,k
inteiro.
(4k+ -1)²=16k²+-8k+1
Como delta =b²-4ac,fiz delta igual a
23:
16k²+-8k+1-4ac=23 ==> 2(k²+-2k-ac)=11 ==> 11
é múltiplo de 2(absurdo)
Para b² terminando em 5,temos b múltiplo ímpar de
5.Pondo b=5(2k+1):
delta=25(4k²+4k+1)-4ac
Fazendo delta=23,resulta 25k²+25k-ac=(-1/2).Mas
sendo k,a e c inteiros isso não pode acontecer.
Delta nunca é igual a 23.
- Original Message -
From:
David
Daniel Turchick
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 21, 2002 12:36
AM
Subject: Re: [obm-l] ???
Eder, eu mandei e-mail respondendo à sua
dúvida prá lista, mas por algum motivo ele não chegou, sei lá pq... Aí vai a
minha resposta.
Você conhece o Teorema de Cramer? Ele diz que
um sistema linear de n equações a n incógnitas tem solução única se, e somente
se, o determinante da matriz dos coeficientes for não-nulo.
Sendo os pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3), queremos
encontrar a,b,c reais tais que a*(x_i)^2+b*x_1+c=y_i,
i=1,2,3. Acabamos então de montar um sistema linear de 3 equações a 3
incógnitas, a, b e c. A matriz dos coeficientes é {[(x_1)^2, x_1, 1],
[(x_2)^2, x_2, 1], [(x_3)^2, x_3, 1]}, cujo determinante é
(x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_3-x_2) (a matriz é de Vandermonde, então é fácil). Isso
só seria zero se tivéssemos coincidência de pelo menos duas abscissas, o que
você explicitou não acontecer. Logo, pelo Teorema de Cramer, EXISTEM ÚNICOS
a,b,c reais que satisfazem o sistema. Fora isso, o a não é zero, pois se
fosse, teríamos a reta bx+c passando pelos três pontos (que você disse serem
não-colineares). Logo, existe uma única parábola passando pelos três
pontos.
Você pode verificar que esse argumento (até a parte do "a
não é zero, pois...") continua valendo para um caso mais geral: por n pontos
de RxR com abscissas distintas 2 a 2, passa no máximo uma função polinomial de
grau n-1.
David
-Mensagem original-De:
Eder <[EMAIL PROTECTED]>Para:
[EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data:
Quarta-feira, 20 de Fevereiro de 2002 16:38Assunto: [obm-l]
???
Olá,
Será que alguém poderia ajudar nesta
questão:
"Considere três pontos no plano cartesiano,não
colineares e com abcissas distintas duas a duas.Qual o número de funções
quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam
aos seus gráficos?"
Essa questão foi do vestibular de uma
universidade não lá muito conceituada,mas eu ainda não matei a
charada...
[obm-l] Teorema dos Quatro Quadrados de Lagrange
Oi, Jose, corroborando o Nicolau, o livro eh excelente mesmo, se voce morar no Rio pode escanear aqui em casa. Abracos, olavo. >From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Teorema dos Quatro Quadrados de Lagrange >Date: Thu, 21 Feb 2002 16:28:47 -0200 > >On Thu, Feb 21, 2002 at 02:07:54PM -0300, Jose Francisco Guimaraes Costa >wrote: > > Alguém saberia me dizer onde posso encontrar a demonstração do Teorema >dos > > Quatro Quadrados de Lagrange? Ou, pelo menos, a linha básica seguida na > > demonstração? > >Uma referência é o capítulo 20 de "An Introduction to the Theory of >Numbers", >de Hardy and Wright. Aliás um ótimo livro, recomendo a compra a quem tiver >interesse pelo assunto. []s, N. >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] ???
Desculpe, eu tinha escrito "por n pontos de
RxR com abscissas distintas 2 a 2, passa no máximo uma
função polinomial de grau n-1", que é certo mas claro
que não é a conclusão que a gente queria. Queria dizer
"por n pontos de RxR com abscissas distintas 2 a 2, existe uma única
função polinomial de grau no máximo n-1 cujo gráfico
passa".
David
-Mensagem original-De:
David Daniel Turchick <[EMAIL PROTECTED]>Para:
[EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data:
Quinta-feira, 21 de Fevereiro de 2002 09:53Assunto: Re:
[obm-l] ???
Você conhece o Teorema de Cramer? Ele
diz que um sistema linear de n equações a n incógnitas
tem solução única se, e somente se, o determinante da
matriz dos coeficientes for não-nulo.
Sendo os pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3), queremos
encontrar a,b,c reais tais que a*(x_i)^2+b*x_1+c=y_i,
i=1,2,3. Acabamos então de montar um sistema linear de 3
equações a 3 incógnitas, a, b e c. A matriz dos
coeficientes é {[(x_1)^2, x_1, 1], [(x_2)^2, x_2, 1], [(x_3)^2, x_3,
1]}, cujo determinante é (x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_3-x_2) (a matriz
é de Vandermonde, então é fácil). Isso só
seria zero se tivéssemos coincidência de pelo menos duas
abscissas, o que você explicitou não acontecer. Logo, pelo
Teorema de Cramer, EXISTEM ÚNICOS a,b,c reais que satisfazem o
sistema. Fora isso, o a não é zero, pois se fosse,
teríamos a reta bx+c passando pelos três pontos (que você
disse serem não-colineares). Logo, existe uma única
parábola passando pelos três pontos.
Você pode verificar que esse argumento (até a
parte do "a não é zero, pois...") continua valendo
para um caso mais geral: por n pontos de RxR com abscissas distintas 2 a 2,
passa no máximo uma função polinomial de grau
n-1.
David
-Mensagem
original-De: Eder <[EMAIL PROTECTED]>Para:
[EMAIL PROTECTED]
<[EMAIL PROTECTED]>Data:
Quarta-feira, 20 de Fevereiro de 2002 16:38Assunto:
[obm-l] ???
Olá,
Será que alguém poderia
ajudar nesta questão:
"Considere três pontos no plano
cartesiano,não colineares e com abcissas distintas duas a
duas.Qual o número de funções quadráticas
que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam
aos seus gráficos?"
Essa questão foi do vestibular de
uma universidade não lá muito conceituada,mas eu ainda
não matei a
charada...
Re: [obm-l] Teorema dos Quatro Quadrados de Lagrange
On Thu, Feb 21, 2002 at 02:07:54PM -0300, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > Alguém saberia me dizer onde posso encontrar a demonstração do Teorema dos > Quatro Quadrados de Lagrange? Ou, pelo menos, a linha básica seguida na > demonstração? Uma referência é o capítulo 20 de "An Introduction to the Theory of Numbers", de Hardy and Wright. Aliás um ótimo livro, recomendo a compra a quem tiver interesse pelo assunto. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Teorema dos Quatro Quadrados de Lagrange
Alguém saberia me dizer onde posso encontrar a demonstração do Teorema dos Quatro Quadrados de Lagrange? Ou, pelo menos, a linha básica seguida na demonstração? A resposta ideal seria um endereço na net, mas se for necessário tirar cópia de páginas de algum livro ou revista, estou disposto a pagar pelas cópias e pelos direitos de copiar. JF = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] ???
Uma. JP - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 20, 2002 4:27 PM Subject: [obm-l] ??? Olá, Será que alguém poderia ajudar nesta questão: "Considere três pontos no plano cartesiano,não colineares e com abcissas distintas duas a duas.Qual o número de funções quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos?" Essa questão foi do vestibular de uma universidade não lá muito conceituada,mas eu ainda não matei a charada...
[obm-l] Está quase na hora (agora sao 18:58)
Está quase na hora (veja abaixo) Quarta-feira reserva aos numerólogos, matemáticos e curiosos em geral um evento histórico. Durante um minuto, haverá uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio. Logo depois das oito da noite, teremos a data 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002. Em marcação digital, o momento será 20:02 20/02 2002. Trata-se de uma perfeita simetria numérica, chamada na matemática capicua (grupo de algarismos que, lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa, dão o mesmo número). A última ocasião em que ocorreu tal padrão foi às 11h11 de 11 de novembro do ano , formando a data 11h11 11/11/. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112) -ou seja, é bem improvável que estejamos aqui para comemorar. Depois dessa, nunca mais haverá outra capicua -em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30. Se você não quer perder o minuto exato, fique de olho no relógio abaixo e não se esqueça de erguer um brinde! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Questao sobre polinomios
Essa eh uma questao q eu vi recentemente no sci.math e eh bem interessante... Determine todos os polinomios f satisfazendo: f(x^2 - x +1) = [f(x)]^2 - f(x) + 1,f(0)=0. Abracos, Marcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] ???
Você conhece o Teorema de Cramer? Ele diz
que um sistema linear de n equações a n incógnitas tem
solução única se, e somente se, o determinante da matriz
dos coeficientes for não-nulo.
Sendo os pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3), queremos
encontrar a,b,c reais tais que a*(x_i)^2+b*x_1+c=y_i,
i=1,2,3. Acabamos então de montar um sistema linear de 3
equações a 3 incógnitas, a, b e c. A matriz dos
coeficientes é {[(x_1)^2, x_1, 1], [(x_2)^2, x_2, 1], [(x_3)^2, x_3, 1]},
cujo determinante é (x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_3-x_2) (a matriz é de
Vandermonde, então é fácil). Isso só seria zero se
tivéssemos coincidência de pelo menos duas abscissas, o que
você explicitou não acontecer. Logo, pelo Teorema de Cramer,
EXISTEM ÚNICOS a,b,c reais que satisfazem o sistema. Fora isso, o a
não é zero, pois se fosse, teríamos a reta bx+c passando
pelos três pontos (que você disse serem não-colineares).
Logo, existe uma única parábola passando pelos três
pontos.
Você pode verificar que esse argumento (até a
parte do "a não é zero, pois...") continua valendo para
um caso mais geral: por n pontos de RxR com abscissas distintas 2 a 2, passa no
máximo uma função polinomial de grau n-1.
David
-Mensagem original-De:
Eder <[EMAIL PROTECTED]>Para:
[EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data:
Quarta-feira, 20 de Fevereiro de 2002 16:38Assunto: [obm-l]
???
Olá,
Será que alguém poderia ajudar
nesta questão:
"Considere três pontos no plano
cartesiano,não colineares e com abcissas distintas duas a duas.Qual o
número de funções quadráticas que podem ser
encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus
gráficos?"
Essa questão foi do vestibular de uma
universidade não lá muito conceituada,mas eu ainda não
matei a charada...
Re: [obm-l] ???
Função quadrática: y = ax^2 + bx + c São dados três pontos: (xi, yi), i=1,2,3 Tem-se então o seguinte sistema linear : x1^2.a + x1.b + c = y1 x2^2.a + x2.b + c = y2 x3^2.a + x3.b + c = y3 Como os pontos não são colineares, não é possível escrever uma equação como combinação linear das outras. Dessa forma o sistema admite uma única solução. Os valores de a, b, c dessa solução determinam portanto a única função quadrática que passa pelos pontos dados. Até mais [ Vinicius José Fortuna ] [ [EMAIL PROTECTED] ] [ Visite www.viniciusf.cjb.net ] On Wed, 20 Feb 2002, Eder wrote: > Olá, > > Será que alguém poderia ajudar nesta questão: > > "Considere três pontos no plano cartesiano,não colineares e com > abcissas distintas duas a duas.Qual o número de funções quadráticas > que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos > seus gráficos?" > > Essa questão foi do vestibular de uma universidade não lá muito conceituada,mas eu >ainda não matei a charada... > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
