Re: [obm-l] Equação trigonométrica
Multiplique tudo por 1|2 Dai sobra 1|2. senx+ Raiz(3)|2.cosx =1|2 Mas o 1 termo e igual a sen(x+pi|3)=sen (pi)|3 que e uma equacao simples de ser resolvida. Espero ter ajudado. From: Caio Voznak [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Equação trigonométrica Date: Mon, 8 Apr 2002 19:14:36 -0300 (ART) Olá amigos, Eu estava vendo uma prova de vestibular do IME quando me deparei coma seguinte questão: IME 1998 - Determine a solução da equação trigonométrica, senx + raiz(3)*cosx = 1, x Real Usei a seguinte estratégia multipliquei ambos os membros por (1 + sen x) obtendo: cos(x)*[raiz(3) * (1+senx) - cosx] = 0 cosx = 0 ignorei (3pi*n/2), sendo n natural, por não validar a equação inicial. Porém não consigo resolver a equação que restou. Gostaria de saber se estratégia que eu usei esta correta e se eu estou só me complicando fazendo isso.Por favor me ajudem. Abraço, Caio Voznak. ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] treino para olimpíadas....
1)Prove que [n/3]+[(n+2)/6]+[(n+4)/6]=[n/2]+[(n+3)/6], onde [x]=parte inteira de x. Existem 6 restos ma divisão de n por 6: i) n = 6k = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k] + [k + 1/3] + [k + 2/3] = 2k + k + k = 4k [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k] + [k + 1/2] = 3k + k = 4k ii) n = 6k + 1 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 1/6] + [k + 1/2] + [k + 5/6] = 2k + k + k = 4k [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 1/2] + [k + 2/3] = 3k + k = 4k iii) n = 6k + 2 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 2/3] + [k + 2/3] + [k + 1] = 2k + k + k + 1 = 4k + 1 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 1] + [k + 5/6] = 3k + 1 + k = 4k + 1 iv) n = 6k + 3 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 1] + [k + 5/6] + [k + 7/6] = 2k + 1 + k + k + 1 = 4k + 2 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 3/2] + [k + 1] = 3k + 1 + k + 1 = 4k + 2 v) n = 6k + 4 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 4/3] + [k + 1] + [k + 4/3] = 2k + 1+ k + 1+ k + 1 = 4k + 3 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 2] + [k + 7/6] = 3k + 2+ k + 1 = 4k + 3 vi) n = 6k + 5 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 5/3] + [k + 7/6] + [k + 3/2] = 2k + 1+ k + 1+ k + 1= 4k + 3 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 5/2] + [k + 3/2] = 3k + 2+ k + 1 = 4k + 3 Deu trabalho mas acho é isto aí, separando em todos os casos. 2) Existem inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985? Encare esta equação como sendo uma equação de segundo grau em m. Para que esta equação possua uma solução inteira então seu discriminante deve ser um quadrado perfeito: 36n^2 - 4(5.7n^2 - 1985) = k^2 = 36n^2 - 140n^2 + 4.1985 = k^2 = 4.1985 - 104n^2 = k^2 se n = 0 = k^2 = 4.1985 que não possui solução inteira se n = 1 = k^2 = 7836 que não possui solução inteira se n = 2 = k^2 = 7524 que não possui solução inteira se n = 3 = k^2 = 7004 que não possui solução inteira se n = 4 = k^2 = 6276 que não possui solução inteira se n = 5 = k^2 = 5340 que não possui solução inteira se n = 6 = k^2 = 4196 que não possui solução inteira se n = 7 = k^2 = 2844 que não possui solução inteira se n = 8 = k^2 = 1284 que não possui solução inteira se n = 9 = k^2 0 que não possui solução inteira Desta forma a equação proposta não possui soluções inteiras. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira Um abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
On Mon, Apr 08, 2002 at 06:19:38PM -0300, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.
Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).
Quando r é par, temos o seguinte resultado:
H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},
onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
raio de convergência).
Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
{1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
a expansão em séries de z/(e^z-1).
Como provar que os coeficientes desta série
são dados por B_0=1 (cálculo direto) e
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
Alguma referência?
Fiquei um pouco confuso. O que é explicação, o que é pergunta?
Em todo caso, há alguma coisa sobre B_n no livro Matemática Concreta
de Graham, Knuth, Patashnik. []s, N.
=
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En: [obm-l] Como Fazer isso, caro engenheiro?
Quando a esfera está no alto do plano inclinado, estando parada, ela só tem energia potencial: (energia potencial) = (peso) x (altura, medida na vertical) onde (peso) = (massa) x (aceleração da gravidade: 9,8 ms^2) Em um ponto qualquer do plano, a esfera perdeu energia potencial e ganhou energia de rotação e energia cinética. Pela Primeira Lei da Termodinâmica, a energia total permanece constante. Logo, (perda de energia potencial) = (energia de rotação) + (energia cinética) onde (perda de energia potencial) = (peso) x (distância percorrida na vertical) (energia de rotação) = f(momento de inércia) (energia cinética) = ((massa) x (módulo(velocidade do CG))^2)/2 de onde se tira facilmente a (módulo(velocidade do CG)), que é a pergunta. Eu não tenho aqui comigo a fórmula que dá a energia de rotação em função do momento de inércia. Se houver interesse, posso consegui-la. JF (BScEE) -Mensagem Original- De: Heber Henrique Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 8 de Abril de 2002 23:32 Assunto: [obm-l] Como Fazer isso, caro engenheiro? USP2002- É dado um plano inclinado de um ângulo theta em relação à horizontal. Uma esfera de massa M e raio R é abandonada em repouso no ponto A do plano e passa a rolar sem escorregar. Sendo I=(2MR^2)/5 o momento de inércia da esfera em relação a um diâmetro, a velocidade do seu centro de massa, quando ela percorre um delta L=A-B, será.
Re: [obm-l] TN
Caros amigos: Este exercicio foi enviado para a lista jah faz algum tempo, mas parece-me que ainda nao foi respondida. Primeiramente, vamos pensar (apenas como ensaio) no caso de n ser par. Nesta situacao, 11 ... 1 ( n algarismos) eh divisivel por 11. Basta ver que [10^(n-2) +10^(n-4) + ... +10^2 + 1] . [10 + 1] = 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10 +1. Em outras palavras, (101010 ...101).(11) = 11 ... 1. Mais um exemplo: 11 ... 1 (quinze 1's) eh divisivel por 111 e tambem por 1.Observe que 15 = 3.5. As fatoracoes que se obtem sao 111=(1001001001001).(111) ou, se voces preferirem, 111=(111).(1). Jah deu para perceber como se pode generalizar o problema ? Conte o numero de zeros e 1's nas fatoracoes acima. Veja tambem a periodicidade com que eles aparecem. Se os exemplos que dei nao forem suficientes para se perceber a lei de formacao, construa mais alguns; faca n = 18, 21, 24, 28, etc. Se voce dispuser de algum software, farah isso rapidamente; se nao, faca no braco mesmo. Agora vamos aa solucao propriamente dita. Suponha que n = p.q, onde p e q sao inteiros maiores que 1 e menores que n. Verifique, agora, que [1 + 10 + 10^2 + ... + 10^(q-2) + 10^(q-1)].[1 + 10^q + 10^(2q) + ... + 10^((p -1).q)] = 10^(pq - 1) + 10^(pq - 2) + ... + 10 +1. Em outras palavras, 11 ... 1 (n algarismos) eh o produto de 11 ... 1 (q algarismos) por 10 ... 010 ... 010 ... 0 ... 1 (explico: 1 seguido de q - 1 zeros, 1 seguido de q -1 zeros, ... , 1). Um abraco a todos, Luiz Alberto Salomao Rubens Vilhena wrote: Ol, pessoal! Espero que me ajudem em minhas dvidas sobre Nmeros Inteiros.1) Se n composto ento o nmero 11111 (n vezes) tambm composto.Obrigado! Aproveite melhor a Web. Faa o download GRTIS do MSN Explorer : http://explorer.msn.com.br/intl.asp#po
[obm-l] Nao consigo resolver...
Bom dia a todos, será que alguém poderia me ajudar: f(x) = 2 / ( X^2 - 5X + 6); f(10) + f(11) +f (12) +... f(100)=? Obrigado.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Sauda,c~oes,
Oi Nicolau,
Vou olhar a referência com calma (já consultei ela
muito, para outros assuntos).
Explico o que quero: como achar o termo geral a_n
no desenvolvimento de f(z) = z/(e^z-1) ?
Bom, talvez a idéia seja ao contrário: achar f(z) tal que
a_n é dado por (com possível correção envolvendo 1/n!)
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
Imagino que primeiro Bernoulli descobriu estes números
tentando achar as fórmulas de somas de i^k.
O problema posto desta maneira foi resolvido na ref.
abaixo para o caso dos números de Fibonacci.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 9 de abril de 2002 13:42
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
On Mon, Apr 08, 2002 at 06:19:38PM -0300, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.
Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).
Quando r é par, temos o seguinte resultado:
H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},
onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
raio de convergência).
Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
{1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
a expansão em séries de z/(e^z-1).
Como provar que os coeficientes desta série
são dados por B_0=1 (cálculo direto) e
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
Alguma referência?
Fiquei um pouco confuso. O que é explicação, o que é pergunta?
Em todo caso, há alguma coisa sobre B_n no livro Matemática Concreta
de Graham, Knuth, Patashnik. []s, N.
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Re: [obm-l] Nao consigo resolver...
--- Orestes [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom dia a todos, será que alguém poderia me ajudar: f(x) = 2 / ( X^2 - 5X + 6);f(10) + f(11) +f (12) +... f(100)=? Obrigado. Olá Orestes! Experimente verificar os primeiros números depois de fatorar o denominador: f(x) = 2/(X^2 - 5X + 6) f(x) = 2/(X - 2).(X - 3) f(10) = 2/8.7 f(11) = 2/9.8 f(12) = 2/10.9 ... f(99) = 2/97.98 f(100) = 2/98.99 Veja se não facilita... Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Tax Center - online filing with TurboTax http://taxes.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Nao consigo resolver...
Agora use tambem 1/8.7 = 1/7 - 1/8 etc Rafael WC wrote: [EMAIL PROTECTED]"> --- Orestes [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom dia a todos, ser que algum poderia me ajudar:f(x) = 2 / ( X^2 - 5X + 6);f(10) + f(11) +f(12) +... f(100)=?Obrigado. Ol Orestes!Experimente verificar os primeiros nmeros depois defatorar o denominador:f(x) = 2/(X^2 - 5X + 6)f(x) = 2/(X - 2).(X - 3)f(10) = 2/8.7f(11) = 2/9.8f(12) = 2/10.9...f(99) = 2/97.98f(100) = 2/98.99Veja se no facilita...Rafael.=Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]http://www.rwcinoto.hpg.com.br/__Do You Yahoo!?Yahoo! Tax Center - online filing with TurboTaxhttp://taxes.yahoo.com/=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
[obm-l] Questão:
Alguém tem uma solução para o seguinte problema? Mostre que a sucessor do produto de quatro inteiros positivos consecutivos é sempre um quadrado perfeito. _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Questão:
At 23:39 09/04/02 -0300, you wrote: Alguém tem uma solução para o seguinte problema? Mostre que a sucessor do produto de quatro inteiros positivos consecutivos é sempre um quadrado perfeito. veja só: n(n+1)(n+2)(n+3)+1= n(n+3) (n+1)(n+2)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n+1)^2 (usei que x(x+2)+1=(x+1)^2) Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Nao consigo resolver...
Obrigado ao Rafael WC e ao Augusto César Morgado, ajudaram muito. - Original Message - From: Augusto César Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 09, 2002 7:33 PM Subject: Re: [obm-l] Nao consigo resolver... Agora use tambem 1/8.7 = 1/7 - 1/8 etcRafael WC wrote: [EMAIL PROTECTED] type="cite">--- Orestes [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom dia a todos, será que alguém poderia me ajudar:f(x) = 2 / ( X^2 - 5X + 6);f(10) + f(11) +f(12) +... f(100)=?Obrigado.Olá Orestes!Experimente verificar os primeiros números depois defatorar o denominador:f(x) = 2/(X^2 - 5X + 6)f(x) = 2/(X - 2).(X - 3)f(10) = 2/8.7f(11) = 2/9.8f(12) = 2/10.9...f(99) = 2/97.98f(100) = 2/98.99Veja se não facilita...Rafael.=Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]http://www.rwcinoto.hpg.com.br/__Do You Yahoo!?Yahoo! Tax Center - online filing with TurboTaxhttp://taxes.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]= ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.338 / Virus Database: 189 - Release Date: 14/3/2002
[obm-l] ajuda
Olá, gostaria de ajuda nestas 2 questões: 1.Prove que existem infinitos nºs da forma 1999...9991 que são múltiplos de 1991. 2.Prove que existem infinitos primos da forma 4k +3 Obrigada! Fê _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
