RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos: a*b*(a + b) = a^3 + b^3 e que a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) logo a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) (a + b)^3 = 4a*b*(a + b) supondo que a ou b sejam diferentes de zero: (a + b)^2 = 4a*b (a - b)^2 = 0 ou seja a = b agora vc conta quantos são... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Felipe Marinho Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola numerada com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para guardar as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ? Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. E com um grande abraço a todos, vou fechando mais este e-mail. Felipe Marinho _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro. Agradeço desde já mais uma vez, Abraços Felipe Marinho From: Guilherme Pimentel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300 Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos: a*b*(a + b) = a^3 + b^3 e que a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) logo a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) (a + b)^3 = 4a*b*(a + b) supondo que a ou b sejam diferentes de zero: (a + b)^2 = 4a*b (a - b)^2 = 0 ou seja a = b agora vc conta quantos são... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Felipe Marinho Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola numerada com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para guardar as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ? Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. E com um grande abraço a todos, vou fechando mais este e-mail. Felipe Marinho _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Ola Felipe, Guilherme e demais colegas desta lista, Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir atingir os objetivos ! Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a^2 - ab + b^2 reduzindo os termos semelhantes a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1 grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio Ralph. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1147,160502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400 Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro. Agradeço desde já mais uma vez, Abraços Felipe Marinho From: Guilherme Pimentel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300 Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos: a*b*(a + b) = a^3 + b^3 e que a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) logo a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) (a + b)^3 = 4a*b*(a + b) supondo que a ou b sejam diferentes de zero: (a + b)^2 = 4a*b (a - b)^2 = 0 ou seja a = b agora vc conta quantos são... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Felipe Marinho Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola numerada com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para guardar as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ? Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. E com um grande abraço a todos, vou fechando mais este e-mail. Felipe Marinho _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
[obm-l] CURSO
Olá pessoal gostaria de saber onde são ministrados cursos de olimpíadas aqui em Fortaleza. Pois já não sou aluno secundário e não tive a oportunidade de participar desde cedo decursos de olimpiadas. Tenho interesse de participar das olimpíadas a nível universitário. Agradeço desde já!! Fabio
[obm-l] CURSO
Olá pessoal gostaria de saber onde são ministrados cursos de olimpíadas aqui em Fortaleza. Pois já não sou aluno secundário e não tive a oportunidade de participar desde cedo decursos de olimpiadas. Tenho interesse de participar das olimpíadas a nível universitário. Agradeço desde já!! Fabio
Re: [obm-l] Por favor...
--- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sejam AB e BC dois lados adjacentes de um polígono regular de 9 lados, inscrito em uma circunferência de lado O. Seja M o ponto médio do lado AB e N o ponto médio do raio perpendicular a BC. Qual a medida do ângulo OMN ? Obrigado Raul Onde lê-se cincunferencia de lado O, creio que é circunferencia de centro O, nao eh mesmo? No triangulo ABO temos que, angulo OAB=OBA=70 e AOB=40 graus. Se tracarmos MO, dividiremos o angulo AOB em 2, e ficaremos entao com MOB=20, OBM=70. Tracando MN, temos que OMN=ONM, e já que MON é 40, entao OMN=ONM=70. = []s -- Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br/ ___ Yahoo! Encontros O lugar certo para você encontrar aquela pessoa que falta na sua vida. Cadastre-se hoje mesmo! http://br.encontros.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ..........
Tá, mas pq sqrt(5-x)=x se x=sqrt 5- sqrt(5-x)? Me diz mais uma coisa: Não daria pra resolver esta questão elevando os membros ao quadrado até tirar os radicais e depois achando as raízes do polinômio por girard? É só substituir que vc pode observar que a igualdade vale. Elevar ao quadrado requer muita força bruta, pode tentar, se conseguir me avisa!!! Daniel == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] == === __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Apelo: Mais da Iberoamericana
Meu,que coisa e essa?Ate agora ninguem me respondeu -- Mensagem original -- Alo turma!!Tenho mais perguntas a fazer(da Iberoamericana): 1)Ache todos os naturais n de 3,2 ou 1 digito tal que o quadrado de n seja o cubo da soma dos digitos. 2)Encontre o menor n tal que se pegarmos n dos 999 primeiros inteiros positivos sempre se acham 4 numeros diferentes a,b,c,d com a+2*b+3*c-4*d=0. 3)L0 e tal que -L^2+1998*L+1=0.Seja a recorrencia a(0)=1 e a(n+1)=parte inteira de L*a(n)=[L*a(n)].Calcule a(1998)mod 1998(x mod y e o resto de x por y). 4)na mesa da banca de lideres da OIM estao lideres de P paises de modo que se dois lideres quaisquer sao de mesmo pais entao seus vizinhos direitos nao sao.Quantos lideres ha no maximo? 5)Sabe-se que num conjunto de primos se p e q sao elementos(iguais ou nao)entao p*q+r,em que r e constante.Quantos elementos tem S com n=4?Generalize o r. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] ..........
Hmmm, eu já vi esta questão antes, há de se tomar cuidado. A equação é x=sqrt(5-sqrt(5-x)). Concordo que: SE x=sqrt(5-x) ENTÃO x é raiz da equação original. Mas isso NÃO GARANTE que estas são as únicas soluções Então, eu faria no braço elevando coisas ao quadrado (e tomando cuidado com raízes estranhas): x^2=5-sqrt(5-x) sqrt(5-x)=5-x^2 5-x=25-10x^2+x^4 x^4-10x^2+x+20=0 Como resolver isto? Se eu pelo menos achasse algumas raízes eu podia fatorar... Mas pera aí, eu sei algumas raízes! Afinal as raízes de x = sqrt(5-x), ou seja, x^2+x-5=0 são raízes da minha equação. Isso sugere a fatoração: x^4-10x^2+x+20=0 (x^2+x-5)(x^2-x-4)=0 E as raízes são quatro: x=(-1+-sqrt(21))/2 x=(1+-sqrt(17))/2 Agora basta conferir e ver se alguma delas é raiz estranha introduzida quando elevamos ao quadrado. De fato, note que podemos reverter os passos acima (tirando a raiz quadrada nos passos-chave) exatamente quando 5-x^2=0 (isto é) -sqrt(5)=x=sqrt(5) E x=0 (para que sqrt(x^2)=x de fato) Quais das quatro raízes estão entre 0 e 5? Concluímos que as raízes verdadeiras da equação são: (sqrt(21)-1)/2 ~= 1.791 e (sqrt(17)-1)/2 ~= 1.562 Abraço, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] triângulo
Oi de novo! Já que ninguém respondeu, estou mandando a minha resolução que achei horrível! Por isso quero saber se alguém tem alguma idéia de fazer de uma maneira mais simples do que isso. --- Rafael WC [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal! Alguém conseguiria resolver essa pra mim? Não tô conseguindo... AB = 8,AC = 5 e BC = 7 são os lados de um triangulo ABC. Inscreve-se neste triangulo uma circunferencia e traça-se-lhe a tangente paralela ao lado BC, cujos pontos de interceção com os lados AB e AC são D e E. Calcular a razão ID/IE, sendo I o ponto de contato da tangente DE com a circunferencia inscrita no ABC. Estou enviando uma figura pra ver se ajuda. Na figura desenhei o triângulo ABC, inscrevi uma circunferência de centro O, cujos pontos de tangência aos lados AAC, BC e AB são respectivamente F, G, H. Depois tracei uma tangente ao círculo paralela ao lado BC, com ponto de tangência I e cruzando os lados AB e AC em D e E. Ainda marquei dois ângulos que iremos precisar, os ângulos ABC e ACB, que chamei de b e c respectivamente. Primeiro vamos calcular a altura do triângulo para sabermos o seno e cosseno dos ângulos b e c. Poderíamos usar aqui a lei dos cossenos, mas também podemos usar a fórmula de Herão para a área, que é dada por: área = raiz[p.(p - AB).(p - AC).(p - BC)] onde p = semi-perímetro Como AB = 8, AC = 5 e BC = 7, o semi perímetro é: 2p = 8 + 5 + 7 2p = 20 p = 10 E a área será: área = raiz[p.(p - AB).(p - AC).(p - BC)] área = raiz[10.(10 - 8).(10 - 5).(10 - 7)] área = raiz(10.2.5.3) área = raiz(10.10.3) área = 10.raiz(3) Então podemos encontrar a altura AK do triângulo, relativa ao lado BC por exemplo: área = base x altura/2 área = BC x AK/2 10.raiz(3) = 7 x AK/2 20.raiz(3) = 7 x AK AK = 20.raiz(3)/7 Então podemos achar seno, cosseno e tangente de b e c: sen b = AK/AB sen b = [20.raiz(3)/7]/8 sen b = [20.raiz(3)/7].(1/8) sen b = [5.raiz(3)/7].(1/2) sen b = 5.raiz(3)/14 cos² b + sen² b = 1 cos² b + [5.raiz(3)/14]² = 1 cos² b = 1 - [5.raiz(3)/14]² cos² b = 1 - 75/196 cos² b = (196 - 75)/196 cos² b = 121/196 cos b = 11/14 tg b = sen b/cos b tg b = [5.raiz(3)/14]/(11/14) tg b = 5.raiz(3)/11 sen c = AK/AC sen c = [20.raiz(3)/7]/5 sen c = [20.raiz(3)/7].(1/5) sen c = 4.raiz(3)/7 cos² c + sen² c = 1 cos² c + [4.raiz(3)/7]² = 1 cos² c = 1 - [4.raiz(3)/7]² cos² c = 1 - 48/49 cos² c = (49 - 48)/49 cos² c = 1/49 cos c = 1/7 tg c = sen c/cos c tg c = [4.raiz(3)/7]/(1/7) tg c = 4.raiz(3) Como ED é paralela a BC, quando traçamos os raios OI e OG até os pontos de tangência, eles formam um segmento de reta GI, pois os dois raios são perpendiculares a duas paralelas por um mesmo ponto. No quadrilátero BGOH, como a soma dos ângulos internos tem que dar 360°, sabemos que o ângulo GOH = 180° - b. Como GOI = 180° (pois vimos que é uma reta), concluímos que HOI = b (pois é suplementar de GOH). Os triângulos ODH e ODI são congruentes, pois são triângulos retângulos com dois lados congruentes: o lado OD comum e os lados OH e OI, que são raios da circunferência. Assim, o ângulo entre esses lados é congruente. Isso quer dizer que OD divide o ângulo HOI (que vale b) em dois ângulos congruentes, de medida b/2. Com isso, podemos achar o lado DI em função de OI, pela tangente de b/2. Pela fórmula da tangente do arco duplo temos: tg 2x = 2.tg x/(1 - tg² x) (tg 2x).(1 - tg² x) = 2.tg x tg 2x - (tg 2x).(tg² x) = 2.tg x (tg 2x).(tg² x) - tg 2x + 2.tg x = 0 Fazendo x = b/2, temos: (tg 2x).(tg² x) - tg 2x + 2.tg x = 0 (tg 2.b/2).(tg² b/2) - tg 2.b/2 + 2.tg b/2 = 0 (tg b).(tg² b/2) - tg b + 2.tg b/2 = 0 Como sabemos o valor de tg b: [5.raiz(3)/11].(tg² b/2) - 5.raiz(3)/11 + 2.tg b/2 = 0 multiplica tudo por 11, [5.raiz(3)].(tg² b/2) - 5.raiz(3) + 11.2.tg b/2 = 0 [5.raiz(3)].(tg² b/2) - 5.raiz(3) + 22.tg b/2 = 0 multiplica tudo por raiz(3), [5.raiz(3)].(tg² b/2) - 5.raiz(3) + 22.tg b/2 = 0 (5.3).(tg² b/2) - 5.3 + 22.raiz(3).tg b/2 = 0 15.(tg² b/2) - 15 + 22.raiz(3).tg b/2 = 0 Mas iso é uma equação do segundo grau. Vamos chamar tg b/2 de y, para facilitar: 15.(tg² b/2) - 15 + 22.raiz(3).tg b/2 = 0 15.y² - 15 + 22.raiz(3).y = 0 15.y² + 22.raiz(3).y - 15 = 0 E pela fórmula de Báskara encontramos que: y = [-11.raiz(3) +- 17.raiz(3)]/15 tg b/2 = [-11.raiz(3) +- 14.raiz(3)]/15 Como b/2 é um ângulo do primeiro quadrante, sua tangente é positiva: tg b/2 = [-11.raiz(3) + 14.raiz(3)]/15 tg b/2 = 3.raiz(3)/15 tg b/2 = raiz(3)/5 E finalmente encontramos: tg b/2 = ID/OI raiz(3)/5 = ID/OI ID = OI.raiz(3)/5 E agora faremos as mesmas contas para encontrar IE em função de OI. No quadrilátero CGOF, como a soma dos ângulos internos tem que dar 360°, sabemos que o ângulo GOF = 180° - c. Como GOI = 180° (pois vimos que é uma reta), concluímos que FOI = c (pois é suplementar de GOF). Da mesma forma são congruentes os triângulos OEI e OEF: são retângulos e têm dois lados congruentes, OE (comum) e OI = OF (raios). Assim, o ângulo entre esses lados é congruente. Isso quer dizer que OE divide o ângulo FOI (que
[obm-l] Boa questão de probabilidade
Aí vai galera... Uma pessoa coloca sua bicicleta na única vaga ainda vazia na grade de um estacionamento de bicicletas de um supermercado. Observa que a sua bicicleta está entre 9 outras e a vaga que ocupa não fica em qualquer das duas extremidades da grade. Depois das compras a pessoa volta e encontra, além da sua, apenas 5 das 9 bicicletas ainda estacionadas na grade. Pede-se: 1. A probabilidade de a pessoa encontrar vazia a vaga adjacente à direita da sua bicicleta. 2. A probabilidade de a pessoa encontrar vazias as duas vagas adjacentes à da sua bicicleta. 3. A probabilidade de a pessoa encontrar vazia a vaga adjacente àesquerda da sua bicicleta ou a vaga adjacente à direita da sua bicicleta, admitindo-se que os dois eventos sejam independentes. 4. A probabilidade de a pessoa encontrar vazia a vaga da extremidade esquerda da grade. Grato. Marcelo
Re: [obm-l] Apelo: Mais da Iberoamericana
At 14:21 16/05/02 -0300, you wrote: Meu,que coisa e essa?Ate agora ninguem me respondeu Ninguém é pago para isso. Bruno -- Mensagem original -- Alo turma!!Tenho mais perguntas a fazer(da Iberoamericana): 1)Ache todos os naturais n de 3,2 ou 1 digito tal que o quadrado de n seja o cubo da soma dos digitos. 2)Encontre o menor n tal que se pegarmos n dos 999 primeiros inteiros positivos sempre se acham 4 numeros diferentes a,b,c,d com a+2*b+3*c-4*d=0. 3)L0 e tal que -L^2+1998*L+1=0.Seja a recorrencia a(0)=1 e a(n+1)=parte inteira de L*a(n)=[L*a(n)].Calcule a(1998)mod 1998(x mod y e o resto de x por y). 4)na mesa da banca de lideres da OIM estao lideres de P paises de modo que se dois lideres quaisquer sao de mesmo pais entao seus vizinhos direitos nao sao.Quantos lideres ha no maximo? 5)Sabe-se que num conjunto de primos se p e q sao elementos(iguais ou nao)entao p*q+r,em que r e constante.Quantos elementos tem S com n=4?Generalize o r. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Boa questão de probabilidade
Ola marcelo e demais colegas desta lista, Se a vaga era a unica e a bicicleta ficou entre nove outras biciletas e porque o estacionamento comporta 10 vagas. Enumerando estas vagas da esquerda para a direita, a partir de 1, a vaga em que o protagonista colocou a bicileta so pode ser uma dentre 2,3,4,5,6,7,8 e 9. Quando ele volta, encontra apenas 5 das 9 outras biciletas que haviam. Portanto, 4 biciletas foram retiradas. De quantas maneiras e possivel retirar 4 de um total de 9 ? Evidentemente : BINOM(9,4). Dentre estas possibilidades, em quais a vaga a direita da vaga ocupada pela bicicleta do protagonista ficou vazia ? Fixando esta vaga, isto e, supondo que a bicicleta que la estava foi retirada, posso retirar 3 outras bicicletas de um total de oito de BINOM(8,3) maneiras. A probabilidade que voce procura e, portanto : P = BINOM(8,3)/BINOM(9,4) = 56/126 Os outros itens podem ser tratados como variacoes ou acrescimos a esta linha de raciocinio. Um abraco Paulo Santa Ritya 5,1904,160502 From: Marcelo Roseira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Boa questão de probabilidade Date: Thu, 16 May 2002 18:10:05 -0300 Aí vai galera... Uma pessoa coloca sua bicicleta na única vaga ainda vazia na grade de um estacionamento de bicicletas de um supermercado. Observa que a sua bicicleta está entre 9 outras e a vaga que ocupa não fica em qualquer das duas extremidades da grade. Depois das compras a pessoa volta e encontra, além da sua, apenas 5 das 9 bicicletas ainda estacionadas na grade. Pede-se: 1. A probabilidade de a pessoa encontrar vazia a vaga adjacente à direita da sua bicicleta. 2. A probabilidade de a pessoa encontrar vazias as duas vagas adjacentes à da sua bicicleta. 3. A probabilidade de a pessoa encontrar vazia a vaga adjacente à esquerda da sua bicicleta ou a vaga adjacente à direita da sua bicicleta, admitindo-se que os dois eventos sejam independentes. 4. A probabilidade de a pessoa encontrar vazia a vaga da extremidade esquerda da grade. Grato. Marcelo _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Por favor...
--- Claudio [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Raul. Chame de N o ponto médio do arco BC. Chame de L o ponto médio do raio ON. Note que o triângulo ANO 'é equilátero ! A circunferência de diâmetro AO contém os pontos M e L. Conclua que o ângulo procurado mede 30 º . Saludos. Claudio Casemiro. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 16, 2002 1:26 AM Subject: [obm-l] Por favor... Sejam AB e BC dois lados adjacentes de um polígono regular de 9 lados, inscrito em uma circunferência de lado O. Seja M o ponto médio do lado AB e N o ponto médio do raio perpendicular a BC. Qual a medida do ângulo OMN ? Obrigado Raul Enviei uma outra resolucao, que está errada. Nao tinha visto .. N o PONTO MEDIO DO RAIO PERP. A BC... Fiz com M o médio de AB e N o medio de BC. Mals.. = []s -- Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br/ ___ Yahoo! Encontros O lugar certo para você encontrar aquela pessoa que falta na sua vida. Cadastre-se hoje mesmo! http://br.encontros.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Por favor...
--- Claudio [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Raul. Chame de N o ponto médio do arco BC. Chame de L o ponto médio do raio ON. Note que o triângulo ANO 'é equilátero ! A circunferência de diâmetro AO contém os pontos M e L. Conclua que o ângulo procurado mede 30 º . Saludos. Claudio Casemiro. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 16, 2002 1:26 AM Subject: [obm-l] Por favor... Sejam AB e BC dois lados adjacentes de um polígono regular de 9 lados, inscrito em uma circunferência de lado O. Seja M o ponto médio do lado AB e N o ponto médio do raio perpendicular a BC. Qual a medida do ângulo OMN ? Obrigado Raul Enviei uma outra resolucao, que está errada. Nao tinha visto .. N o PONTO MEDIO DO RAIO PERP. A BC... Fiz com M o médio de AB e N o medio de BC. Brigado pra Fernanda M, que me perguntou de onde eu tinha tirado aquilo e me fez achar o erro =P = []s -- Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br/ ___ Yahoo! Encontros O lugar certo para você encontrar aquela pessoa que falta na sua vida. Cadastre-se hoje mesmo! http://br.encontros.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ..........
Tá, mas pq sqrt(5-x)=x se x=sqrt 5- sqrt(5-x)? Me diz mais uma coisa: Não daria pra resolver esta questão elevando os membros ao quadrado até tirar os radicais e depois achando as raízes do polinômio por girard? É só substituir que vc pode observar que a igualdade vale. Elevar ao quadrado requer muita força bruta, pode tentar, se conseguir me avisa!!! Vc tem razão, elevei tudo ao quadrado, depois achei um polinômio de 4 grau. Apliquei girard e achei um sistema de 4 equações e 4 incógnitas.Esgotei minha força bruta como vc diz para isolar uma variavel e quando consegui, achei o mesmo polinômio de 4 grau nessa incógnita. Mas eu ainda não entendi seu raciocínio. Substituir o q e onde??? se vc puder me mostrar seu resultado todo, ficarei grato. == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] rio.br == === __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] == === == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] == === __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Caro Paulo, Mais uma vez aqui, tento expressar toda minha gratidão para com todos os amigos aqui da lista, e especialmente.. à você. Paulo, na verdade, a questão era para ser explicada a alunos de 1o. grau mesmo (8a. série). Bem, é o seguinte, sou aluno de uma instituição pública de ensino do Estado do Amazonas (curso agora o 2o. grau)... porem, venho desde o começo do ano ajudando os alunos da 8a. série para se prepararem para as provas de Matemática do Colégio Naval. Nossas condições dentro da escola não são muito boas, e em muitas das vezes... nosso próprio professor desconhece determinado assunto. Por este motivo, tenho aqui na lista, a única saída para o esclarecimento de certas dúvidas. Muitas vezes, eu mesmo, não consigo fazer certos exercícios que venho passando aos alunos... e quando isso ocorre, eu venho até a lista aqui, procurar alguma ajuda. E Paulo, mais uma vez, Obrigado mesmo por tudo. Sua ajuda, assim como a de todos, tem sido de grande importância para nossos alunos aqui do Amazonas. E em nome de todos eles, venho aqui deixar um grande abraço a você, e a todos os demais amigos que dessa lista participam. Obrigado mesmo, Felipe Marinho From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 14:51:09 + Ola Felipe, Guilherme e demais colegas desta lista, Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir atingir os objetivos ! Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a^2 - ab + b^2 reduzindo os termos semelhantes a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1 grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio Ralph. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1147,160502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400 Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro. Agradeço desde já mais uma vez, Abraços Felipe Marinho From: Guilherme Pimentel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300 Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos: a*b*(a + b) = a^3 + b^3 e que a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) logo a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) (a + b)^3 = 4a*b*(a + b) supondo que a ou b sejam diferentes de zero: (a + b)^2 = 4a*b (a - b)^2 = 0 ou seja a = b agora vc conta quantos são... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Felipe Marinho Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola
Re: RES: [obm-l] ..........
Que tal essa estratégia ? Será que compliquei muito ? A equação é x=sqrt(5-sqrt(5-x)) ; se x vale sqrt(5-sqrt(5-x)), podemos substituir tendo x = sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-x. Se fizermos isso infinitas vezes, teremos um problema clássico que resumimos para x = sqrt(5-x), isto é, x^2 = 5 - x. Sendo a resposta a raiz positiva : (sqrt(21)-1)/2. Um abraço, Raul
[obm-l] Espacial
As arestas laterais de um paralelepípedo, medidas em cm, são números ímpares consecutivos e a área lateral do mesmo é de 142cm quadrados. Qual é o volume do paralelepípedo ? Obrigado pela atenção, Raul
Re: [obm-l] Espacial
Olá Raul! Esse enunciado esta correto ? Se as arestas laterais do paralelepipedo são numeros impares consecutivos então não da um paralelogramo. [EMAIL PROTECTED] escreveu: As arestas laterais de um paralelepípedo, medidas em cm, são números ímpares consecutivos e a área lateral do mesmo é de 142cm quadrados. Qual é o volume do paralelepípedo ? Obrigado pela atenção, Raul ___ Yahoo! Encontros O lugar certo para você encontrar aquela pessoa que falta na sua vida. Cadastre-se hoje mesmo! http://br.encontros.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
