[obm-l] Re: [obm-l] triângulo
Aproveitando a sua figura: Eh fato conhecido que AF = AH = semiperimetro - CB por exemplo (pois CG+CF+AF+AH+HB+BG=2(CG+BG+AH)=perimetro, e BG+CG=BC). No seu problema, AF = AH = 3. Pondo EF=EI=x e ID=DH=y, basta notar que os triangulos AED e ACB sao semelhante para escrever (3-x)/5 = (3-y)/8 = (x+y)/7 = 6/20=3/10 donde x = 3/2; y = 3/5 e ID/DE=2/5. t+ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: RES: [obm-l] ..........
Do jeito que esta escrito nao me parececerto. Uma coisa eh encontrar o limite da sequencia definida porA_0 = x, A_n+1 = sqrt(5-A_n). Esse talvez seja o problema facil (tanto a existencia do limite qto o seu calculo) ao qual vc se refere. No caso da sua estrategia eh um pouco diferente... agora B_0 = x mas B_n+1 = sqrt[5-sqrt(5-B_n)]. Vc consegue provar que essa sequencia tem limite e q limB_n = limA_n, mas isso eh praticamente o proprio problema da prova.. Marcio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, May 17, 2002 12:17 AM Subject: Re: RES: [obm-l] .. Que tal essa estratégia ? Será que compliquei muito ? A equação é x=sqrt(5-sqrt(5-x)) ; se x vale sqrt(5-sqrt(5-x)), podemos substituir tendo x = sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-x. Se fizermos isso infinitas vezes, teremos um problema clássico que resumimos para x = sqrt(5-x), isto é, x^2 = 5 - x. Sendo a resposta a raiz positiva : (sqrt(21)-1)/2. Um abraço, Raul
Re: RES: [obm-l] ..........
Há um problema sério aqui. Esse argumento mostra que se x é um ponto fixo da função F, isto é F(x)=x, então esse mesmo x é um ponto fixo de FoFoFo.. ..oF(x). O contrário não é verdadeiro. Exemplo- seja F :R++ ---R++ definida por F(x)= 1 / x. O único ponto fixo ocorre em x=1. Agora FoF (x) = x para todo x em R++. O problema em questão pede o ponto fixo da segunda iterada, daí o problema. Um abraço. Claudio Casemiro. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, May 17, 2002 12:17 AM Subject: Re: RES: [obm-l] .. Que tal essa estratégia ? Será que compliquei muito ? A equação é x=sqrt(5-sqrt(5-x)) ; se x vale sqrt(5-sqrt(5-x)), podemos substituir tendo x = sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-x. Se fizermos isso infinitas vezes, teremos um problema clássico que resumimos para x = sqrt(5-x), isto é, x^2 = 5 - x. Sendo a resposta a raiz positiva : (sqrt(21)-1)/2. Um abraço, Raul
[obm-l] a. basica
Ae, olha este problema:
Seja P(x,y)=5x^2 -6xy +2y^2.
a)determine qnts elementos de {1,2...,100} são valores de P.
b)Prove q o produto de valores de P é um valor de P.
Será que alguém pode me dar uma ajuda?
Valeu!
[]´s
Adherbal
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Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Ola Felipe, tudo legal ? Nao ha do que agradecer ! Muitas outras pessoas aqui na lista tambem tem SENTIMENTOS EDUCADOS, de forma que nao raro voce as vera sendo uteis respondendo a uma questao simples com a mesma naturalidade com que demonstram brilhantismo intelectual solucionando um problema complicado. Eu li em algum lugar um problema que pode ser resolvido por uma equacao do 2 grau. Talvez voce queira propor a seus alunos de 8 serie : Num tonel ha, a principio, 100 litros de agua. Enche-se um balde de capacidade K ( K litros ) com a agua deste tonel. A agua e jogada fora. O balde e entao cheio com vinho puro e, a seguir, o vinho contido no balde e despejado no tonel. O tonel volta a ter 100 litros, agora de mistura. Repete-se os 4 passos abaixo N vezes : 1) Enche-se o balde com a mistura que ha no tonel 2) O conteudo do balde e, entao, lancado fora. 3) O Balde e cheio com vinho puro 4) O conteudo do balde e despejado no tonel. Terminada as operacoes, um quimico analisa o conteudo do tonel e descobre que ha 36 litros de agua e 64 litros de vinho puro. Qual a capacidade do balde, em funcao de N ? Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 6,1256,170502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 23:11:57 -0400 Caro Paulo, Mais uma vez aqui, tento expressar toda minha gratidão para com todos os amigos aqui da lista, e especialmente.. à você. Paulo, na verdade, a questão era para ser explicada a alunos de 1o. grau mesmo (8a. série). Bem, é o seguinte, sou aluno de uma instituição pública de ensino do Estado do Amazonas (curso agora o 2o. grau)... porem, venho desde o começo do ano ajudando os alunos da 8a. série para se prepararem para as provas de Matemática do Colégio Naval. Nossas condições dentro da escola não são muito boas, e em muitas das vezes... nosso próprio professor desconhece determinado assunto. Por este motivo, tenho aqui na lista, a única saída para o esclarecimento de certas dúvidas. Muitas vezes, eu mesmo, não consigo fazer certos exercícios que venho passando aos alunos... e quando isso ocorre, eu venho até a lista aqui, procurar alguma ajuda. E Paulo, mais uma vez, Obrigado mesmo por tudo. Sua ajuda, assim como a de todos, tem sido de grande importância para nossos alunos aqui do Amazonas. E em nome de todos eles, venho aqui deixar um grande abraço a você, e a todos os demais amigos que dessa lista participam. Obrigado mesmo, Felipe Marinho From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 14:51:09 + Ola Felipe, Guilherme e demais colegas desta lista, Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir atingir os objetivos ! Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a^2 - ab + b^2 reduzindo os termos semelhantes a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1 grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio Ralph. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1147,160502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400 Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que
[obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana
ANSWER:Bem,apoveito e respondo o e-mail do Bruno.Bem,acho que o intuito nao seria o de explora-los. Afinal,so porque NINGUEM RECEBE SALARIO nao significa que nao possa responder.Fiquei espantado pela demora.Certa vez o Nicolau me respondeu uma questao 1 semana depois que enviei o e-mail.E agora fiquei mo cara sem resposta.Talvez nao me interpretei direito... Mas se as questoes estavam mal-formuladas,por que nao me avisaram? Corrigindo:1)p*q+r tambem pertence ao dito conjunto.E o r e o n sao iguais(erros de grafia e pressa). 3)Resto da DIVISAO,ta? 4)Eu modifiquei os enunciados(de modo imperceptivel:no lugar de lideres da OIM estava representantes). Mas e isso mesmo,a ideia e IGUALZINHA Meu,sera que me fiz claro? Um abraço.Peterdirichlet -- Mensagem original -- Ola Dirichlet, Ninguem respondeu, MUITO PROVAVELMENTE, porque as suas questoes, 1) Estao mal formuladas. Por exemplo, voce escreveu : 5)Sabe-se que num conjunto de primos se p e q sao elementos(iguais ou nao)entao p*q+r,em que r e constante.Quantos elementos tem S com n=4?Generalize o r. p*q+r O QUE ? E ESSE n=4, O QUE E ? Essa mal formulacao EVIDENTE impossibilita uma solucao pode ter lancado uma descrenca quanto a correcao do enunciado das demais questoes. 2) A maioria delas ja tem solucao nos arquivos de mensagens que o Prof Nicolau guarda. por exemplo, voce escreveu : 1)Ache todos os naturais n de 3,2 ou 1 digito tal que o quadrado de n seja o cubo da soma dos digitos. Esta questao ( ou outra semelhante ) ja foi respondida e a solucao esta no arquivos de mensagens a que me referi acima. La voce vai ver uma linha de raciocinio proxima de : (a+b)^3=(10a+b)^2 = a+b = [(10a+b)/a+b]^2 e portanto a+b e quadrado perfeito e a+b divide 10a+b. Como a+b = 18, os possiveis valores quadrado de a+b serao ... 3)L0 e tal que -L^2+1998*L+1=0.Seja a recorrencia a(0)=1 e a(n+1)parte inteira de L*a(n)=[L*a(n)].Calcule a(1998)mod 1998(x mod y e o resto de x por y). RESTO DE QUE ? ADVINHANDO ... Se x e a unica solucao positiva da equacao do 2 grau do enunciado de sua questao e [x] e a funcao maximo inteiro, o problema consiste em determinar o valor de [x...[x[x[x]]]...] com 1998 colchetes. como [x] = k se k = x K+1 entao [x[x]] e a anlise de [kx] e assim sucessivamente. ESTA QUESTAO JA FOI RESOLVIDA NA LISTA ! 4)na mesa da banca de lideres da OIM estao lideres de P paises de modo que se dois lideres quaisquer sao de mesmo pais entao seus vizinhos direitos nao sao.Quantos lideres ha no maximo ? FALTAM INFORMACOES ! Se P=3, sejam A,B e C lideres, dispostos ao longo de uma mesa nesta ordem. Posso sempre inserir entre dois deles o terceiro, de forma que a direita de cada um nao havera duplicacao. EVIDENTEMENTE que este processo pode ser extendido AD INFINITUM ! Meu, que coisas sao essas?Ate agora ninguem ENTENDEU !! Um abraco Paulo Santa Rita 5,1827,160502 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Apelo: Mais da Iberoamericana Date: Thu, 16 May 2002 14:21:45 -0300 Meu,que coisa e essa?Ate agora ninguem me respondeu -- Mensagem original -- Alo turma!!Tenho mais perguntas a fazer(da Iberoamericana): 1)Ache todos os naturais n de 3,2 ou 1 digito tal que o quadrado de n seja o cubo da soma dos digitos. 2)Encontre o menor n tal que se pegarmos n dos 999 primeiros inteiros positivos sempre se acham 4 numeros diferentes a,b,c,d com a+2*b+3*c-4*d=0. 3)L0 e tal que -L^2+1998*L+1=0.Seja a recorrencia a(0)=1 e a(n+1)=parte inteira de L*a(n)=[L*a(n)].Calcule a(1998)mod 1998(x mod y e o resto de x por y). 4)na mesa da banca de lideres da OIM estao lideres de P paises de modo que se dois lideres quaisquer sao de mesmo pais entao seus vizinhos direitos nao sao.Quantos lideres ha no maximo? 5)Sabe-se que num conjunto de primos se p e q sao elementos(iguais ou nao)entao p*q+r,em que r e constante.Quantos elementos tem S com n=4?Generalize o r. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
[obm-l] Re: [obm-l] a. basica
ANSWER:Eu tenho o livrito da Iberoamericana.A dica e tentar completar o
quadrado.Ai se resolvem os dois trechos.Se nao entender me avise!
Um abraço.Peterdirichlet
-- Mensagem original --
Ae, olha este problema:
Seja P(x,y)=5x^2 -6xy +2y^2.
a)determine qnts elementos de {1,2...,100} são valores de P.
b)Prove q o produto de valores de P é um valor de P.
Será que alguém pode me dar uma ajuda?
Valeu!
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[obm-l] Derivada
Olá amigos da lista. Alguém pode me ajudar com esta? 1) Sabe-se que x está no intervalo a=x=b, com a0. Queremos aproximar x por meio de outro número t em [a,b] de maneira que o erro relativo mod(t-x)/x; (mod(x) representa o valor absoluto de x); seja tão pequeno quanto possível. Represente M(t) o valor máximo de mod(t-x)/x quando x varia de a a b. (a) Provar que este máximo ocorre num dos pontos extremos x=a ou x=b. (b) Provar que M(t) é mínimo quando t é a média harmônica de a e b.
Re: RES: [obm-l] ..........
Ola Raul e demais colegas desta lista, A sua estrategia, neste caso, esta correta, pois ela leva a um resultado correto com passos corretos. Mas me parece que voce nao entendeu em plenitude porque ela funcionou, dai nao ter podido justificar com clareza seus argumentos ... Seja Y(X)= sqrt(5-X). O que sera sqrt(5 - sqrt(5-X)) ? Sera, sem duvida nenhuma, Y(Y(X)). Portanto, resolver a equacao sqrt(5 - sqrt(5-X)) = X Equivale a perguntar : Para quais X, Y(Y(X))=X ? Evidentemente que podemos generalizar este raciocinio... Por exemplo, uma equacao como sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X)))= X pode ser parafraseada na pergunta : Para quais X, Y(Y(Y(X)))=X ? O que voce observou e que a solucao de Y(X)=X e a mesma da solucao de Y(X) composta consigo mesma N vezes, certo ? Sera sempre certo isso ? Por que ocorre este fenomeno ? Para que voce possa entender em plenitude o que esta ocorrendo e num estalar de dedos ser capaz de resolver qualquer equacao desta natureza com qualquer quantidade de radicais, faca o seguinte : 1) Observe que a solucao de Y(X)= X e a interseccao do grafico de Y=X com o grafico de Y=sqrt(5 - X) 2) Trace os dois graficos mencionados acima. 3) Interprete geometricamente o processo representado pela equacao. Exemplo. Resolver : sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X)))= X Claramente que devemos ter 5 - X = 0 isto e : X = 5. Tomando um X=X1 qualquer no intervalo (0,5) o valor Y1=sqrt(5 - X1) e a ordenada do grafico de Y=sqrt(5-X) no ponto X=X1. Por este ponto trace uma paralela ao eixo OX ate encontrar a reta Y=X. Seja (X2,Y2) este ponto. Trace por este ponto uma vertical ate encontrar o grafico de Y=sqrt(5 - X). Este novo ponto Y3 sera tal que Y3=sqrt(5 - sqrt(5 - X1)). Repita o processo acima. Voce vai encontrar um ponto Y4 em Y=sqrt(5-X) tal que : Y4=sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X1))) O que voce procura e ONDE COMECAR, isto e, voce procura o ponto X tal que Y4=X, isto e, a solucao de : X = sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X1))) Nas condicoes do seu problema o ponto que satisfaz uma tal exigencia e precisamente o X de X=sqrt(5-X). POR ESTA RAZAO, quando voce passou do processo infinito para o finito as coisas funcionaram. Em Sistemas Dinamicos diriamos que o ponto de X=sqrt(5-X) e o PONTO ESTAVEL da questao. Qualquer outro ponto - NAS CONDICOES DO SEU PROBLEMA - implicaria numa divergencia e fuga, conforme voce pode verificar heuristicamente usando os graficos e as interpretacoes que dei. Observe que aqui tivemos uma motivacao EMINENTEMENTE TOPOLOGICA, mas existem teoremas que normatizam este procedimento, mas que acredito nao seria apropriado falar sobre isso aqui e agora. De qualquer forma, voce vai se sentir mais seguro quando voltar a pensar em questoes semelhantes e nao vai se intimidar com equacoes como esta, mesmo que o numero de radicais seja muito grande. Um problema irmao deste seria : Seja Xn+1= KXn(1-Xn). Discuta a convergencia de Xn, se fixados Xo=R e sendo dado K. Muitos autores chamam esta funcao de FUNCAO LOGISTICA e ela e excelente para se ver com clareza estas coisas. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1925,170502 From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, May 17, 2002 12:17 AM Subject: Re: RES: [obm-l] .. Que tal essa estratégia ? Será que compliquei muito ? A equação é x=sqrt(5-sqrt(5-x)) ; se x vale sqrt(5-sqrt(5-x)), podemos substituir tendo x = sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-x. Se fizermos isso infinitas vezes, teremos um problema clássico que resumimos para x = sqrt(5-x), isto é, x^2 = 5 - x. Sendo a resposta a raiz positiva : (sqrt(21)-1)/2. Um abraço, Raul _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
