Re: [obm-l] integral sem fazer a conta
Oi Augusto,
Essa notação é a mesma utilizada na linguagem
LaTeXpara redação de textos científicos. Com o uso a gente acaba se
acostumando, mas mesmo assim nem sempre é fácil vizualizar claramente a
expressão de primeira.
Perceba que termos precedidos de um '\' são macros
especiais. No caso, \int seria integral e \frac fração. O que vem seguinto em {}
são parâmetros para a macro, no caso, apenas para o \frac. Termos antecedidos
por '_' são subscritos e precedidos por '^' são sobrescritos. Utiliza-se isso
para os extremos da integral.
Assim podemos ter como exemplo:
P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i
Como a representação por meio de somatório de um
polinômio de grau n e coeficientes "'a' índice 'i'"
Espero que essa breve explicação facilite o
entendimento de outras fórmulas nesse formato maluco que certamente
virão.
Até mais
Vinicius Fortuna
- Original Message -
From:
Augusto
César Morgado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, June 05, 2002 8:27
PM
Subject: Re: [obm-l] integral sem fazer a
conta
Eu, e creio que muitos outros,
quero manifestar minha admiraçao por quem consegue entender alguma coisa
escrita em tao exotica notaçao.Morgadoozorio_loof wrote:
GX8IQU$[EMAIL PROTECTED]
type="cite">Observe que se vc desmembrar aintegral em duas,a primeira será \int_{-1}^1\frac{du}{u^2 + (1-x^2)/x^2} e a outraserá zero (integral de umafunção ímpar no limite simétrico), daíé imediato o resultado procurado.\int_{-1}^1 \frac{du}{u^2 +(1-x^2)/x^2} =2\int_0^1 \frac{du}{u^2 +(1-x^2)/x^2}.[]'sLuiz.
Sauda,c~oes,Alguém poderia me mostrar por que\int_{-1}^1 \frac{(1+u)du}{u^2 +(1-x^2)/x^2} =
2\int_0^1 \frac{du}{u^2 +(1-x^2)/x^2}
sem fazer as contas?Observe as mudanças nos limites daintegral
e no numerador do integrando.Ou me dizer um livro de Cálculo quemostra
isso de maneira geral?Como sempre, \frac{A}{B} = A/B.[]'sLuís
[obm-l] RES: [obm-l] área do qudrilátero
Sugestao (complete-a!): A ideia eh calcular soh a area de BGF (metade de S); de fato, use que S(BGF)/S(BMD) = BG/BM . BF/BD onde S(BMD) = S/4 é conhecida. (i) Como calcular BG/BM?? Olhe o triangulo retangulo BCM, mostre que CG é altura. A partir daí, sai via relações métricas no triângulo retângulo. (ii) Como calcular BF/BD ?? Essa é um tiquinho mais difícil... Eu faria pelo Teorema de Menelaus no triangulo BMD com secante CGF... Daí você tira FB/FD e, consequentemente, BF/BD. Esse é o jeito que eu vi mais rápido... Divirta-se!! :) Abraço, Ralph -Mensagem original- De: Rafael WC [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: terça-feira, 4 de junho de 2002 20:01 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] área do qudrilátero Olá Pessoal! Esta aqui também não estou vendo o caminho. Aluma dica? Tem-se um quadrado ABCD de área S. Une-se os vértices A e B ao ponto médio M do lado CD, e une-se os vértices B e C ao ponto médio N do lado AD. O segmento AM intercepta os segmentos BN e CN nos pontos E e F, respectivamente, e o segmento BM intercepta o segmento CN no ponto G. Calcule a área do quadrilátero BEFG em função de S. Resposta: 4S/15 Se aluém puder ajudar... Obrigado, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup http://fifaworldcup.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RES: [obm-l] Progressálise_Combitmética + Duvidas sobre Logica Matematica
1) Determinar o valor lógico da proposicao: A expressao n^2-n+41 só produz numeros primos. Como eu posso provar que para TODOS os valores de n o resultado será um numero primo? Experimente n=41. :) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Livros de Inducao / Analitica
Olá amigos. Alguem poderia me indicar um livro/site que explique o método de Inducao Matematica? Quero um livro que nao seja o Matematica Elementar. Estou com duvidas principalmente (mas nao somente) em provar que inequacoes sao verdadeiras. Abusando, poderiam me falar um livro de Geometria Analitica (com tratamento de vetores) diferente do do Elon? = []s Ricardo Miranda Matematica - UFV [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br/ ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] integral sem fazer a conta
On Wed, Jun 05, 2002 at 08:27:19PM -0300, Augusto César Morgado wrote:
Eu, e creio que muitos outros, quero manifestar minha admiraçao por quem
consegue entender alguma coisa escrita em tao exotica notaçao.
Morgado
Esta notação chama-se TeX e não é nada exótica na comunidade matemática.
Mesmo assim, acho que devemos tentar usar notações mais autoexplicativas.
E principalmente devemos evitar uma notação que para alguns membros da
lista é exótica quando há alternativas óbvias: pq, por exemplo,
escrever \frac{du}{u^2 + (1-x^2)/x^2} ao invés de du/(u^2 + (1-x^2)/x^2)?
A idéia aqui é que a lista seja lida e não TeXada ou processada com algum
outro programa.
Obrigado, []s, N.
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[obm-l] plana ajuda por favor urgente
Olá,gostaria da ajuda de vcs nas seguintes questões: 1.Os pontos P1,P2,... estão sobre uma circunferencia e são tais que o arco q une cada ponto ao seguinte mede 35º.O menor valor de n1 tal que Pn coincide com P1 é? 2.Para cada ponto pertencente ao interior e aos lados de um triangulo acutangulo ABC,considere a soma das suas distancias aos 3 lados do triangulo.O valor maximo desta soma é? 3.No triangulo ABC,AB=5 e BC=6.Qual a area maxima do triangulo ABC ,sabendo q o angulo C tem a maior medida possivel? Muito obrigado! té + Adherbal _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Como eu posso achar os professores Elon Lima e Gugu?Problema 6,IMO 2001-Soluçao
On Wed, Jun 05, 2002 at 10:29:55PM -0300, Luiz Antonio Ponce Alonso wrote: Olá amigo, Uma solução legal para este problema foi dada pelo Nicolau. Pergunte a ele e seria bom que pudesse colocar a solução nesta lista. Eu discordo do Tengan com relação à solução oficial. Esta apesar de artificiosa é bonita.Você já analisou-a??? Um abraço PONCE Eu j'a mandei para a lista, deve estar no arquivo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Combinações com repetições.
Gostaria de saber se combinações com repetições são exploradas no vestibular. Gostaria de saber onde encontro algo sobre isso, haja vista, que nos principais livros que abordam análise combinatória no ensino médio, ou mesmo em livros intermediarios, nunca vi menção sobre o assuntoaproveito pra mandar o problema abaixo ,onde tenho dúvidas sobre o que usar. Uma sorveteria tem sorvetes de 10 sabores diferentes. De quantos modos uma pessoa pode escolher seis bolas de sorvete, não necessáriamente de sabores diferentes?? Agradeço qualquer ajuda!! Korshinói
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Progressálise_Combitmética + Duvidas sobre Logica Matematica
On Thu, Jun 06, 2002 at 03:31:40PM -0300, Ralph Teixeira wrote: 1) Determinar o valor lógico da proposicao: A expressao n^2-n+41 só produz numeros primos. Como eu posso provar que para TODOS os valores de n o resultado será um numero primo? Experimente n=41. :) Btw, nenhum polin^omio n~ao constante P que assume valores inteiros nos inteiros tem a propriedade de P(n) ser primo para todo n. A prova n~ao 'e dif'icil, fica como exerc'icio. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Livros de Inducao / Analitica
O Luis Lopes escreveu um livro otimo chamado Manual de Induçao Matemática. Morgado Em Thu, 6 Jun 2002 16:22:04 -0300 (ART), Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] disse: Olá amigos. Alguem poderia me indicar um livro/site que explique o método de Inducao Matematica? Quero um livro que nao seja o Matematica Elementar. Estou com duvidas principalmente (mas nao somente) em provar que inequacoes sao verdadeiras. Abusando, poderiam me falar um livro de Geometria Analitica (com tratamento de vetores) diferente do do Elon? = []s Ricardo Miranda Matematica - UFV [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br/ ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Combinações com repetições.
Caro Korshinói, No segundo grau, me ensinaram a dissociar permutação, arranjo e combinação usando uma palavreado de ordem e natureza que em vez de me ajudar só fez uma confusão dos assuntos na minha cabeça. Existe uma fórmula que engloba todas as outras e que considero muito mais simples e esclarecedora. Suponha que temos elementos de vários tipos (possivelmente mais de um elemento de cada tipo). Para simplificar (com uma notação geral) vou chamar os tipos de: tipo 1, tipo 2, tipo 3, ..., tipo K. Vou dizer que temos a_1 elementos do tipo correspondente a 1, a_2 elementos do tipo 2, ..., a_K elementos do tipo K. De forma que dois elementos do mesmo tipo (por exemplo do tipo 3) não podem ser diferenciados um do outro, eles são idênticos. Agora considere uma caixa com todos esses elementos. A caixa tem, portanto, a_1+a_2+...+a_K = N elementos. Faço a seguinte pergunta: - De quantos modos posso retirar dessa caixa todos os N elementos (um por um) de forma que, como disse, dois elementos do mesmo tipo são indistingüiveis? Se você souber responder a essa pergunta, saberá responder a qualquer pergunta sobre combinações, arranjos e permutações. Mostrarei como no final. Primeiro vamos responder a essa pergunta. A idéia que tenho em mente é a seguinte. Inicialmente considere todos os N elementos (lembre-se que N = a_1+a_2+...+a_k) distintos entre si, e numere-os por 1, 2, , N. Pergunto: de quantos modos podemos retirar um por um os elementos da caixa? Bem, o primeiro elemento pode ser qualquer um dos N. O segundo pode ser qualquer um dos N-1 restantes (são todos distintos), portanto temos N*(N-1) modos pelo princípio fundamental da contagem. Seguindo assim, concluimos que temos N*(N-1)*(N-2)*...*2*1 = N! modos de retirar todos esse elementos da caixa. A idéia agora, é tranformar os a_1 primeiros elementos numerados (1, 2, ..., a_1) da caixa no tal tipo 1. Ou seja, façamos todos eles iguais. E fazemos a pergunta: de quantos modos podemos retirar os elementos um por um da caixa? Em cada um dos N! modos anteriores, temos os elementos 1, 2, ..., a_k presentes. Como identificamos esses elementos, cada permutação é identificada com muitas outras, para ser preciso, com exatamente a_1! outras. Por que? Suponhamos que em uma das N! permutações os elementos 1, 2,..., a_1 ocupem determinadas posições fixas. Nós podemos alternar esses elementos entre si e ainda teremos a mesma permutação (isso depois de identificar os elementos), e podemos fazer isso de a_1*(a_1-1)*(a_1-2)*...*2*1 = a_1 maneiras, pois em cada uma das posições fixas, em ordem, vamos dispondo os elementos 1, 2, ..., a_1. Portanto separamos as N! permutações anteriores em grupos de a_1! permutações e as identificamos, logo restam N! / a_1! permutações. Faça o mesmo raciocínio para a_2, identificando os elementos a_1+1, a_1+2, ..., a_1+a_2. E restará (N! / a_1!) / a_2! = N! / (a_1!*a_2!). Prossiga esse raciocínio até o tipo K. Restará N! / (a_1! * a_2! * a_3! *...* a_k!) ou, o que dá no mesmo, (a_1 + a_2 +...+ a_k)! / (a_1! * a_2!* a_3! *...* a_k!). Tentarei esclarecer com um exemplo o processo acima. Imagine que tenho 3 letras a, 2 letras b, e 5 letras c. E quero formar palavras de 10 letras utilizando todas elas. A idéia é começar perguntando. Se as dez letras forem diferentes (0, 1, ..., 9), quantos serão as palavras? Um total de 10!. Se idenfiticarmos as 3 primeiras letras (0, 1, 2) como sendo a letra a, quantas serão as pelavras? 10! / 3!. Se identificarmos as 2 letras seguinte (3, 4) como sendo a letra b, quantas palavras poderemos formar? 10! / (3! * 2!). Finalmente, se identificarmos as 5 últimas letras (5, 6, 7, 8, 9) como sendo a letra c, quantas palavras poderemos formar? 10! / (3! * 2! * 5!). E essas são as palavras com 3 a's, 2 b's e 5 c's. COMBINAÇÕES Quantos são os subconjuntos de P elementos de um conjunto com N elementos? Enumeramos os N elementos: 1, 2, ..., P, P+1, ..., N. De quantos modos podemos permutá-los, ou seja, tirá-los um por um de uma caixa? Exatamente N!. Se identificarmos os P primeiros (1, 2, ..., P) por a, restará N! / P! maneiras. Se identificarmos os N-P últimos (P+1, ..., N) por b, restará N! (P! * (N-P)!). Para cada palavra (aabbaba...ba) corresponde o suconjunto dos elementos cujos números são as posições de a nessa palávra. E para cada subconjunto de P elementos dos N números, corresponde uma palavra (abaa...ba) onde os a's estão na posicão dos elementos selecionados e os b's dos elementos deixados de lado. ARRANJOS Quantas são os conjuntos ordenados de P elementos de um conjunto com N elementos? Enumeramos os N elementos: 1, 2, ..., P, P+1, ..., N. De quantos modos podemos permutá-los, ou seja, tirá-los um por um de uma caixa? Exatamente N!. Identificamos os N-P últimos por b, restará N! / (N-P)! permutações. Para cada palavra (1bbPb...23b) corresponde uma subconjunto de P elementos onde o primeiro é a posição onde se encontra o 1, o segundo corresponde à posição onde está o 2, e
[obm-l] Desafio
Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista: "Suponha a', a'', ., an são números reais positivos, com n2 e que a'.a''.a'''an=4 Nesta situação, a repeito do produto: P=(1+a')(1+a'')...(1+an) temos: n+3 a.)P2 n b.)P5 n+1 c.)P2 n+1 d.)P5 e.)n.d.a.
[obm-l] Exercicio olimpiada passada..
22. Seja f uma função de Z em Z definida como f(x) = x/10 se x é divisível por 10 e f(x) = x + 1 caso contrário. Se a0 = 2001 e an+1 = f(an), qual é o menor valor de n para o qual an = 1? 20. (B) Temos a1 = 2002, a2 = 2003, , a9 = 2010, a10 = 201, a11 = 202, , a19 = 210, a20 = 21, a21 = 22, , a29 = 30, a30 = 3, a31 = 4, , a37 = 10 e finalmente a38 = 1. Não entendi , pq a38= 1, já que os numeros só eram divididos por 10 quando chegassemos a 10 , 20 , 30 Alguem poderia explicar?
Re: [obm-l] pai e filho
Eu acredito que essa resolução é boa, mas provavelmente tem outras(sem usar muitas letras) que eu ainda não consegui pensar: Sendo: n=número de jogos p=fichas do pai f=fichas do filho v=vitórias do pai v'=vitórias do filho as fichas do pai é dada pela equação: p=100 +4v -6v' as fichas do filho é dada pela equação: f=100 -4v +6v' e o número de jogos é dado por: n= v + v' como após vinte jogos: n=20 e como n= v + v' então v' = 20 - v e f=3p portanto: 100-4v+6v'=3(100+4v-6v') 16v - 24v' = 200 dividindo tudo por 8 temos: 2v - 3v'=25 ecomo v'= 20-v temos v=17 Resposta: o pai venceu 17 jogos. - Original Message - From: aleixocarvalho [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 05, 2002 10:09 PM Subject: [obm-l] pai e filho em um jogo de fichas,o pai sai com 100 fichas, assim como seu filho, quando o pai perde o filho ganha 6 fichas do pai, e quando o filho perde o pai ganha 4 fichas do pai.Após 20 jogos o filho tem 3 vezes as fichas do pai. Pergunta: quntos jogos o pai ganhou. gostaria de saber a solucao, com resolucao rafael __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] manual de indução matemática
Qual a editora? Onde pode ser comprado? JF - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, June 06, 2002 6:25 PM Subject: Re: [obm-l] Livros de Inducao / Analitica O Luis Lopes escreveu um livro otimo chamado Manual de Induçao Matemática. Morgado Em Thu, 6 Jun 2002 16:22:04 -0300 (ART), Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] disse: Olá amigos. Alguem poderia me indicar um livro/site que explique o método de Inducao Matematica? Quero um livro que nao seja o Matematica Elementar. Estou com duvidas principalmente (mas nao somente) em provar que inequacoes sao verdadeiras. Abusando, poderiam me falar um livro de Geometria Analitica (com tratamento de vetores) diferente do do Elon? = []s Ricardo Miranda Matematica - UFV [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br/ ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Progressálise_Combitmética + Duvidas sobre Logica Matematica
Com o pedido de desculpas antecipado pela possibilidade de ser uma pergunta boba, o que quer dizer ... que assume valores inteiros nos inteiros ..., no teorema mencionado pelo N abaixo? JF - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, June 06, 2002 5:13 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Progressálise_Combitmética + Duvidas sobre Logica Matematica On Thu, Jun 06, 2002 at 03:31:40PM -0300, Ralph Teixeira wrote: 1) Determinar o valor lógico da proposicao: A expressao n^2-n+41 só produz numeros primos. Como eu posso provar que para TODOS os valores de n o resultado será um numero primo? Experimente n=41. :) Btw, nenhum polin^omio n~ao constante P que assume valores inteiros nos inteiros tem a propriedade de P(n) ser primo para todo n. A prova n~ao 'e dif'icil, fica como exerc'icio. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Progressálise_Combitmética + Duvidas sobre Logica Matematica
Para x inteiro, P(x) eh inteiro Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: 006601c20dc4$71e3c9a0$8710dcc8@jf"> Com o pedido de desculpas antecipado pela possibilidade de ser uma perguntaboba, o que quer dizer "... que assume valores inteiros nos inteiros ...",no teorema mencionado pelo N abaixo?JF- Original Message -From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Thursday, June 06, 2002 5:13 PMSubject: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Progresslise_Combitmtica +Duvidas sobre Logica Matematica On Thu, Jun 06, 2002 at 03:31:40PM -0300, Ralph Teixeira wrote: 1) Determinar o valor lgico da proposicao: "A expressao n^2-n+41 sproduz numeros primos".Como eu posso provar que para TODOS os valores de n o resultado ser umnumero primo? Experimente n=41. :) Btw, nenhum polin^omio n~ao constante P que assume valores inteirosnos inteiros tem a propriedade de P(n) ser primo para todo n.A prova n~ao 'e dif'icil, fica como exerc'icio.[]s, N.=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]= =Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
[obm-l] Re: [obm-l] Desafio [correção]
Caro Bruno e colegas,
minha conclusão foi errônea, como muitas de outras mensagens minhas.
O fato de P = (1 + RAIZ_n(4))^n implica, por exemplo que:
P = 2^n, já que 1 + RAIZ_n(4) 2
O meu erro foi achar que RAIZ_n(4) tende a zero quando n cresce, isso não é
verdade. Essa seqüência tende a 1, de modo descrescente.
Mesmo assim *acho* que a alternativa correta é e).
Pois para n=1, podemos fazer P=5. De modo que a) não pode valer. As
alternativas b) e d) certamente não valem. Não sei quanto a c). Vou pensar
mais a respeito.
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Caro Bruno,
a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar
índices
para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer
exponenciação
geralmente se usa ^, aí as alternativas seriam P2^(n+3), P5^n, e assim
por diante.
Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz
que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
No caso do seu problema. Temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante
me
parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
Fazendo a multiplicação, temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética = média geométrica em cada
um dos colchetes.
P = 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
De forma mais compacta
P = 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } =
1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
= (1 + RAIZ_n(4))^n
((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e
geométrica.
Portanto P = (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a1)
vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 +
RAIZ_n(4), a base da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
alternativa correta é e).
Um abraço!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Bruno
Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
Suponha a', a'', ., an são números reais positivos, com n2 e que
a'.a''.a'''an=4
Nesta situação, a repeito do produto:
P=(1+a')(1+a'')...(1+an) temos:
n+3
a.)P2
n
b.)P5
n+1
c.)P2
n+1
d.)P5
e.)n.d.a.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
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[obm-l] ajuda: colegio naval
Caros amigos, Estou precisando de provas de matemática do colegio naval para ajudar na preparação do filho de meu amigo. Caso alguém tenha alguma ou um site em que posso adquiri-las ficaria muito grato. Desde já fico agradecido por qualquer ajuda futura Um abraço De seu amigo PONCE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
