[obm-l] Re: [obm-l] Divisão de polinômios

[Eric Campos Bastos Guedes]

 Ae pessoal, to precisando de uma ajudinha nessa questão:

 Provar que o polinômio P(x) = x^999 + x^888 + x^777  x^111 + 1 é
 divisível por x^9 + x^8 + x^7 ... x + 1

Basta provar que todas as (distintas) raizes de

Q(x) = x^9 + x^8 + ... + x + 1

sao tambem raizes de P(x).

Veja que Q(x)(x-1) = x^10 - 1;
logo as raizes de Q(x) sao as raizes decimas da unidade, com excessao da
propria unidade.
Seja x uma raiz de Q(x); mostrarei que ela eh tambem raiz de P(x);
note que x^999 = ((x^10)^99)*x^9 = (1^99)*x^9 = x^9, etc.
entao 0=Q(x)=P(x)

e toda raiz de Q(x) eh raiz de P(x)

Abrac,os,

Eric.

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[obm-l] Teoria dos Numeros

[adr.scr.m]

Alguem poderia fazer essas questoes para  
mim ?

Determine todos os primos que sao a soma e  
a diferenca de 2 primos.

Determine todos inteiros positivos 
x,y,z,tais  que z divide xy-1,x divide zy-1
e y divide zx-1.

Obrigado.
Adriano.

 
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[obm-l] Re:

[Eduardo Casagrande Stabel]

From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED]
  2.Determine o menor nº natural n tal que a soma dos quadrados dos seus
 divisores (incluindo 1 e n)é igual a (n+3)^2

Oi Fernanda e pessoal,

olhem só o que eu fiz nesse problema.
Seja n um inteiro positivo. Se d divide n e d não é a raiz quadrada de n
então (n/d) é diferente de d e também divide n. E também vale
d^2 + (n/d)^2  2*raiz(d^2 * n^2/d^2) = 2*n
de forma que se n não é quadrado perfeito e possui K divisores diferente de
1 e de n então
s(n)  1 + n^2 + Kn.
se n é quadrado perfeito e possui K+1 divisores alem de 1 e de n então
s(n)  1 + n^2 + (K-1)n.
Ou seja, se K=6 então certamente s(n)  1 + n^2 + 6n = (n+3)^2, portanto n
deve possuir no máximo 8 divisores. Se n é fatorado em n=2^a * 3^b * 5^c *
... a quantidade de divisores de n é igual a (a+1)*(b+1)*(c+1)*... portanto
só dois desses a, b, c, ... podem ser diferentes de 0 pois (1+1)*(1+1)*(1+1)
= 8. Devemos ter n da seguinte forma: p, pq, p^2q, p^2, p^3, p^4, p^5, p^6
ou p^7 onde p e q devem ser primos. De cara descartamos o caso de n ser
primo, o caso de n ser quadrado de primo também é fácil de ver que não
implica s(n) = (n+3)^2, sobram: pq, p^2q, p^3, p^4, p^5, p^6 ou p^7. Para o
primeiro (pq), eu contrei a menor solução com n = 7*41 = 287. Para o segundo
(p^2q) eu mostrei que q6 daí deve ser do tipo 2p^2, 3p^2 ou 5p^2. Os casos
que são potências de primo, fiz algumas estimativas que mostram que p6,
resta analisar portanto 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 2^7, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, 3^7,
5^3, 5^4, 5^5, 5^6, 5^7 mas não cheguei a testar se nesses casos
s(n)=(n+3)^2. É claro que o problema já está reduzido em trabalho, mas ainda
está difícil de completar a solução. Alguém tem uma idéia?

Eduardo.

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