Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existência e Unicidade
Nao tenho certeza absoluta (ja faz um tempo que vi isso), mas existe uma condicao um pouco mais fraca que Lipschitz que garante a unicidade, conhecida como criterio de Osgood: x'=f(x,t) x(t0)=x0 tem solucao unica se |f(x1,t)-f(x2,t)|<=G(|x1-x2|), onde G e uma funcao definida dos reais positivos nos reais positivos e satisfaz integral de 1/G(s) de 0 ate 1 = +oo (mais infinito) Na verdade me parece que essa condicao e necessaria e suficiente. Um excelente livro sobre o assunto e o de P. Hartman, Ordinary Differential equations. Mas nao e um livro pra ler gostoso, acho que e mais pra consultas... Abraco, Salvador On Thu, 28 Nov 2002, Nicolau C. Saldanha wrote: > On Thu, Nov 28, 2002 at 11:07:49AM -0300, bruno lima wrote: > > > > Nao vou ser formal ! > > > > Sendox' =f(x) um campo vetorial no R^n. > > > > Se f(x) é uma aplicação de Lipschitz, ie, > > > > D( f(x),f(y) )<=KD(x-y) pra todos x,y no R^n .D é a distancia > > > > entao dado qualquer ponto do R^n existe uma única solução que num certo > > instante passa por esse ponto (Condição inicial ou Problema de Cauchy) > > > > Quero saber se a condição Lipschitz é necessária?? Me parece que não.. > > É necessária sim. Considere no caso n=1 a função f(x) = x^(1/3). > Considere as soluções x0(t) = 0 e > > x1(t) = 0 para t <= 0 > x1(t) = (sqrt(6)/3) t^(3/2) para t > 0 > > > E se eu trocar aplicação de Lipschitz por aplicação de Holder?? Isso é > > necessário?? > > O exemplo acima é Hölder. Você pode trocar 1/3 no expoente por qq outro > racional p/q com p e q ímpares, 0 < p/q < 1, e obter exemplos similares. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re:desigualdade
> On Wed, Nov 27, 2002 at 11:21:28AM -0200, diegoalonsoteixeira wrote: > > a,b,c pertence aos reais a,b,c>0 > > Obrigado pelas respostas > > prove que > > (2a+2b+c)^3/abc >= 108 > > Seja d = c/2. Precisamos provar que > > (2a + 2b + 2d)^3 >= 108 ab * 2d > > ou > > (a+b+d)^3 >= 27 abd > > ou > > (a+b+d)/3 >= (abc)^(1/3) > > o que é a conhecida desigualdade entre a média aritméti ca e a geométrica... > > []s, N. > === == > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > === == > __ Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Sequencia de Fibonacci um Enigma
On Thu, Nov 28, 2002 at 04:31:23PM -0200, Osvaldo Corrêa wrote: > Olá lista, > > Sou novo na lista e desculpe se meu assunto é meio offtopic. > > Bem, estou com uma questão do Livro" Teoria elementar dos Números" do > autor Edgard de Alencar filho, a questão é a 23 do capitulo 17. > Na verdade, tenho um verdadeiro enigma. > a questão é a seguinte: > > (Fn Fn+3)^2 + (2Fn+1 Fn+2)^2 = (F2n+3)^2 Para Todo n >= 1 Como f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) f(n) = f(n+2) - f(n+1) temos f(n+3) f(n) = f(n+2)^2 - f(n+1)^2 Assim (f(n) f(n+3))^2 + (2 f(n+1) f(n+2))^2 = (f(n+2)^2 - f(n+1)^2)^2 + (2 f(n+2) f(n+1))^2 = (f(n+2)^2 + f(n+1)^2)^2 A última igualdade segue expandindo tudo mas também é a forma usual de construir ternos pitagóricos: a = u^2 - v^2, b = 2uv, c = u^2 + v^2, a^2 + b^2 = c^2 Falta apenas provar que f(n+2)^2 + f(n+1)^2 = f(2n+3) Isto segue da identidade entre matrizes (0 1) ( f(n-1) f(n) ) F = ( ) ; F^n = () (1 1) ( f(n) f(n+1) ) facilmente demostrável por indução (e muito útil) considerando o coeficiente (2,1) de F^(n+1) F^(n+2) = F^(2n+3). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Geometria de doido!!!
On Wed, Nov 27, 2002 at 01:37:53PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > > Essa questao de Geometria e "so pra macho",segundo o cara que me propos.Eu > consegui achar uma soluçao viajada demais mas valida.Vamos ver como esses > caras se saem: > > Considere um quadrado de diagonal 2^(1/2) decomposto em varios poligonos de > diametro no maximo 30^(-1).Demonstre que existe um poligono com pelo menos > seis vizinhos(poligonos vizinhos=contem pelo menos um ponto em comum) A questão é bem legal mas se entrasse em uma olimpíada não contaria como geometria... e o diâmetro é muito menor do que o necessário... Vou supor que os polígonos são convexos mas o caso geral não é muito mais difícil. Podemos supor sem perda de generalidade que não existem quatro polígonos com um ponto comum (se existirem perturbe um pouco perto da quadrupla fronteira) e que polígonos vizinhos sempre têm um lado em comum. Pegue o polígono P0 que contem o centro do quadrado. Se ele tem >= 6 vizinhos acabou. Senão ele tem k <= 5 vizinhos P1, ..., Pk em roda. P1 e P2 têm outro vizinho comum além de P0 (do outro lado); chamemos este vizinho de P(k+1). Analogamente P(k+i) é vizinho de Pi e P(i+1) para i < k e P(2k) é vizinho de Pk e P1. A esta altura P1 já tem 5 vizinhos: P0, P2, Pk, P(k+1) e P(2k) (a rigor você deve considerar também o caso de P(k+1) e P(2k) serem *iguais*; este caso fica a cargo do leitor). Se existir outro vizinho acabou, senão P(k+1) e P(2k) devem ser vizinhos. Analogamente, para que P2, ..., Pk tenham <= 5 vizinhos devemos ter P(k+1),...,P(2k) em roda. A esta altura cada um destes k polígonos tem 4 vizinhos assim para que nenhum deles ganhe mais de 1 novo vizinho seria necessário ter um único polígono dando a volta, que não seria convexo. Assim, demonstramos que dado um polígono ou ele, ou um vizinho dele, ou um vizinho de um vizinho dele tem >= 6 vizinhos. Se o diâmetro dos polígonos é d estes polígonos todos estão contidos em uma bola de raio 3d. Assim 1/7 (ao invés de 1/30) já estaria bom. Tenho outra demonstração, talvez depois eu mande. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Sequencia de Fibonacci um Enigma
Olá lista, Sou novo na lista e desculpe se meu assunto é meio offtopic. Bem, estou com uma questão do Livro" Teoria elementar dos Números" do autor Edgard de Alencar filho, a questão é a 23 do capitulo 17. Na verdade, tenho um verdadeiro enigma. a questão é a seguinte: (Fn Fn+3)^2 + (2Fn+1 Fn+2)^2 = (F2n+3)^2 Para Todo n >= 1 A seqüência de fibonacci é definida da seguinte maneira: a definição de um numero da seqüência e soma de seus dois antecessores, logo Fn = Fn-1 + Fn-2 sendo n o índice da posição do numero na seqüência como no exemplo abaixo: F1 F20 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 Bem, vamos até onde cheguei. Primeiro eu tentei por indução, desta forma igualei n a 1 e verifiquei que é verdadeiro. Igualei n a k e fiz as subistituiçoes e montei a minha hipótese (Fk Fk+3)^2 + (2Fk+1 Fk+2)^2 = (F2k+3)^2 (Hipótese) Depois montei a tese igualando n a k+1 e fazendo as substituições. (Fk+1 Fk+4)^2 + (2Fk+2 Fk+3)^2 = (F2k+5)^2 (Tese) O problema e que não consegui fazer as substituições com a hipótese para chegar na resolução deste problema. Alguém tem uma sugestão para solução deste problema? Será que a solução pode ser feita de outra maneira que não seja indução? Agradeço a todos da Lista Osvaldo Corrêa Universidade Estadual de Goiás - UEG
[obm-l] Re: [obm-l] Existência e Unicidade
On Thu, Nov 28, 2002 at 11:07:49AM -0300, bruno lima wrote: > > Nao vou ser formal ! > > Sendox' =f(x) um campo vetorial no R^n. > > Se f(x) é uma aplicação de Lipschitz, ie, > > D( f(x),f(y) )<=KD(x-y) pra todos x,y no R^n .D é a distancia > > entao dado qualquer ponto do R^n existe uma única solução que num certo > instante passa por esse ponto (Condição inicial ou Problema de Cauchy) > > Quero saber se a condição Lipschitz é necessária?? Me parece que não.. É necessária sim. Considere no caso n=1 a função f(x) = x^(1/3). Considere as soluções x0(t) = 0 e x1(t) = 0 para t <= 0 x1(t) = (sqrt(6)/3) t^(3/2) para t > 0 > E se eu trocar aplicação de Lipschitz por aplicação de Holder?? Isso é > necessário?? O exemplo acima é Hölder. Você pode trocar 1/3 no expoente por qq outro racional p/q com p e q ímpares, 0 < p/q < 1, e obter exemplos similares. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Existência e Unicidade
Nao vou ser formal ! Sendo x' =f(x) um campo vetorial no R^n. Se f(x) é uma aplicação de Lipschitz, ie, D( f(x),f(y) )<=KD(x-y) pra todos x,y no R^n .D é a distancia entao dado qualquer ponto do R^n existe uma única solução que num certo instante passa por esse ponto (Condição inicial ou Problema de Cauchy) Quero saber se a condição Lipschitz é necessária?? Me parece que não.. E se eu trocar aplicação de Lipschitz por aplicação de Holder?? Isso é necessário?? Em geral existe condição necessaria sobre f tal que eu garanto existencia e unicidade??Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida, grátis e fácil. Faça o download do discador agora mesmo.
Re: [obm-l] da Vunesp
Sendo f uma função injetora,os itens b,e podem ser eliminados.Pelos dados da questão,não se pode afirmar com certeza o que consta nos itens a,c.Resta o item d.De fato,se f for sobrejetora,para todo a pertencente a B,existe x pertencente a A tal que a=f(x). Acho que é isso... - Original Message - From: pichurin <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, November 28, 2002 1:03 AM Subject: [obm-l] da Vunesp > Sejam A e B dois conjuntos não vazios tais que > a sua intersecção é o conjunto vazio e seja f de A em > B uma função injetora.Se a é um elemento de B então, > para x pertencente a A, a equação f(x)=a > a) Não tem solução > b)tem duas soluções > c) tem umaúnica solução > d) terá solução se a função f for sobrejetora > e) tem mais que duas soluções. > > > > ___ > Yahoo! Acesso Grátis > Internet rápida, grátis e fácil. Faça o download do discador agora mesmo. > http://br.acesso.yahoo.com/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Duvidas sobre R4+
Em 2001, o livro do Laczkovich foi editado pela MAA
(The Mathematical Association of America). É possível
comprá-lo diretamente com a MAA:
www.maa.org
ou na Amazon.
Abraços, Edmilson.
--- Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Caro Rafael.
> V. pode colocar 1 ponto no R^0 e, em geral n+1
> pontos no R^n,
> qualquer que seja o numero natural n.
> Como V. diz que conhece pouco de algebra linear nao
> vou
> fazer comentarios sobre outros "valores" de n e me
> ater a
> n natural.
> Nestes casos ha muitas metricas (topologicamente)
> equivalentes
> no R^n.
> A "mais simples", para o seu problema, talvez seja a
> seuinte:
> Seja e_i=(0,0, ... ,0,1,0, ... ,0) uma n-upla cujo
> n-esimo elemento
> e 1 e os demais sao zero e 0=(0, ... ,0) a origem,
> entao:
> Os n vetores e_i sao uma base do R^n.
> Dados dois pontos x=(x_1,x_2, ... ,x_n) e
> y=(y_1,y_2, ... ,y_n)
> a funcao d(x,y)=max|x_i-y_i| e uma das metricas
> equivalentes
> a usual.
> O conjunto cujos n+1 elementos sao a origem e os e_i
> e tal
> que a distancia entre dois quaiosquer de seus pontos
> e um.
>
>
> O livro de Miklos Laczkovich, Conjecture and Proof,
> editado em
> Budapeste, Hungria (1998) por TypoTEX, tem pelo
> menos dois
> capitulos a respeito. Nao tenho a mais minimar ideia
> de como
> obter o livro, que eu considero excelente mais nao
> muito facil.
> Ele e elementar no sentido que nao exige
> pre-requisitos.
>
> Espero ter ajudado.
>
> Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de
> Sao Paulo
> Departamento de Matematica Aplicada Instituto de
> Matematica e Estatistica
> Rua do Matao, 1010 Butanta -
> Cidade Universitaria
> Caixa Postal 66 281 phone
> +55-11-3091-6162/6224/6136
> 05311-970 - Sao Paulo - SP fax
> +55-11-3091-6131
> Agencia Cidade de Sao Paulo
> .
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] da Vunesp
D f sobrejetiva significa precisamente isto: para todo a pertencente a B, a equação f(x) = a tem soluçao x pertencente a A. O fato de f ser injetiva significa que f(x) = a não pode ter mais de uma soluçao. pichurin wrote: Sejam A e B dois conjuntos não vazios tais que a sua intersecção é o conjunto vazio e seja f de A em B uma função injetora.Se a é um elemento de B então, para x pertencente a A, a equação f(x)=a a) Não tem solução b)tem duas soluções c) tem umaúnica solução d) terá solução se a função f for sobrejetora e) tem mais que duas soluções. ___ Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida, grátis e fácil. Faça o download do discador agora mesmo. http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re:[obm-l] Livros - EDO e Sist. Din.
> > (1) Alguem ja leu os livros: Geometric Theor y of Dynamical Systems(Spring- Verlag) e Introdução aos Sistemas Dinâmicos (p rojeto Euclides IMPA) ambos de Jacob Palis e Wellington Mello?? > > É que mandaram eu ler o primeiro porem aqui em Goiânia só achei o segundo gostaria de sabe r se tem muita diferença. > > (2) Alguem conhece um bom livro de Teoria Qu alitativa de EDO (pode ser em inglês mesmo)? Especialmente que fale de conjugação de campos vetoriais. Estou usando o do Sotomayor Lições de EDO, porém est a parte de conjugação é muito pequena com pouc os exemplos. > > rapaz eu acko que o livro do V. arnold tem algo sobre isso que vc ta querendo,e de EDO so nao lembro o titulo,tem em ingles e portugues > > > > - > Yahoo! Acesso Grátis > Internet rápida, grátis e fácil. Faça o down load do discador agora mesmo. __ Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
