Re: [obm-l] Re:

2002-12-21 Por tôpico Pedro Antonio Santoro Salomão 

- Original Message -
From: "Paulo Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Sunday, December 22, 2002 12:45 AM
Subject: [obm-l] Re:


> Não acompanhei todas as mensagens desta discussão, mas gostaria de
> observar que o problema em discussão aparece como o de número 303 -
> página 60 do livro "Selected Problems and Theorems  in Elementary
> Mathematics" da Mir:
>
> 303. A quadratic trinomial p(x)=ax^2+bx+c is such that the equation
> p(x)=x has no real roots. Prove that in this case te equation p(p(x))=x
> has no real roots either.

Esse problema tem uma solução simples, como já mencionou o Salvador. Como
p(x)=x não tem solução real então p(x)>x  ou p(x)p(x)>x  ou p(p(x))
> Abraços, Paulo
>
> ___
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> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>
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> Scan engine: VirusScan / Atualizado em 18/12/2002 / Versão: 1.3.13
> Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
>


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[obm-l] Re:

2002-12-21 Por tôpico Paulo Rodrigues 
Não acompanhei todas as mensagens desta discussão, mas gostaria de
observar que o problema em discussão aparece como o de número 303 -
página 60 do livro "Selected Problems and Theorems  in Elementary
Mathematics" da Mir:

303. A quadratic trinomial p(x)=ax^2+bx+c is such that the equation
p(x)=x has no real roots. Prove that in this case te equation p(p(x))=x
has no real roots either.

Abraços, Paulo

___
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[obm-l] onde comprar livros

2002-12-21 Por tôpico Jose Francisco Guimaraes Costa 




Um componente de um outro grupo do qual participo 
está pedindo ajuda para comprar os livros abaixo, ambos da Editora 
Saraiva:
 
- Problemas famosos e curiosos da 
matematica- Matematica divertida e delirante
 
Ele mora em Manaus e já tentou sebos virtuais e 
grandes livrarias, sem sucesso. 
 
Alguém poderia ajudá-lo?
 
JF 
(Rio)

[obm-l] Re: [obm-l] um pouco de combinatória

2002-12-21 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Rafael e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

1) A "formula" que voce apresentou fornece o NUMERO DE SOLUCOES INTEIRAS E 
NAO NEGATIVAS, isto e, sao as solucoes nas quais uma
ou mais das variaveis pode(m) assumir o valor zero.

Isto significa, claramente, que se (X1,X2,...,Xn) for uma solucao nao 
negativa, a solucao (Y1,Y2,...,Yn) tal que Yi=Xi+1 sera uma "solucao 
positiva", tal como voce busca ... De maneira geral, as solucoes INTEIRAS 
NAO NEGATIVAS de :

Y1 + Y2 + Y3 + ... + Yn = K - N

mantem uma bijecao com as solucoes POSITIVAS de :

X1 + X2 + X3 + ... + Xn = K

Bom. Daqui voce prossegue ...

2) O seu erro foi usar os fatores primos ... Um produto tal como o que voce 
deseja pode ser expresso como :

P = (5^A)*(6^B)*(7^C)*(9^D) onde A e B devem ser escolhidos em {0,1}, C em 
{0,1,2} e D em {0,1,2,3}. Observando  que a escolha de um nao impoe nenhum 
condicao sobre a escolha de qualquer outro, isto e, que as escolhas sao 
independentes, basta entao se lembrar do Principio Multiplicativo da Analise 
Combinatoria.

Bom. Daqui voce prossegue ...

Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,2223,211202






From: "rafaelc.l" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] um pouco de combinatória
Date: Sat, 21 Dec 2002 20:57:02 -0200


 Pessoal:

  - É sabido que o número de soluções inteiras positivas
de uma equação do tipo: x1+x2+x3+...+xn=K , é:

 (n+K-1)!/(n-1)!.K!

Eu queria saber o número de soluções inteiras e positivas
sem que nenhuma das variáveis x1,x2...xn pudesse ser nula.


- quantos números diferentes podem ser formados
multiplicando alguns(ou todos) dos números
1,5,6,7,7,9,9,9,?

 Eu tentei fazer colocando o produto deles em fatores
primos: 2.3^7.5.7^2, aí achei todos os produtos
possíveis: 2.8.2.3=96. Mas não é a resposta correta, pois
tem produtos que dão o mesmo número. Pergunta: como vou
saber quais produtos dão o mesmo número?





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[obm-l] um pouco de combinatória

2002-12-21 Por tôpico rafaelc.l 

 Pessoal:

  - É sabido que o número de soluções inteiras positivas 
de uma equação do tipo: x1+x2+x3+...+xn=K , é: 
   
 (n+K-1)!/(n-1)!.K!

Eu queria saber o número de soluções inteiras e positivas 
sem que nenhuma das variáveis x1,x2...xn pudesse ser nula.


- quantos números diferentes podem ser formados 
multiplicando alguns(ou todos) dos números 
1,5,6,7,7,9,9,9,?
   
 Eu tentei fazer colocando o produto deles em fatores 
primos: 2.3^7.5.7^2, aí achei todos os produtos 
possíveis: 2.8.2.3=96. Mas não é a resposta correta, pois 
tem produtos que dão o mesmo número. Pergunta: como vou 
saber quais produtos dão o mesmo número?




 
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Re: [obm-l] Re:

2002-12-21 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Prof Morgado e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante 
efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. Considerem agora 
o problema :

Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c  e
p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.

Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem ser as 
traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao literal do 
enunciado de um idioma para outro ...

Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, que os 
cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de ideias, me 
lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um dos 
proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua estulticia, 
para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele"

Um abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
7,1812,211202






From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re:
Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200

Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao p(x) = 
x reduz-se a  x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu discriminante 
eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE que 
p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equaçao. Assim 
como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem de 
Salvador Addas Zanata).
Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens 
anteriores, pois ele estah errado.
Morgado

Eder wrote:

Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:



Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0 has 
no real roots.



- Original Message -

From: A. C. Morgado 

To: [EMAIL PROTECTED] 

Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM

Subject: Re: [obm-l] Re:




Wagner wrote:

Oi pessoal !



2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
de zero.

 Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da
ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda
função não tem raiz real a primeira também não tem.



Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a  ;
 f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>

f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
=4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.

Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0
=> 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>

2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0  => h(x) =
6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.

Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas
provar que h(x) não possui raízes reais.

Se h(x) não possui raízes reais então :  36(a^2)(b^2)
-24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>

12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 =>
b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )



Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:

Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac <
0  => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,

logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.



Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1
=0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =

=c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>

módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
{-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y

f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax
+b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b)   ; f ' (x) =0 =>

(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.

O primeiro caso implica em: x= -b/2a

O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b).

Vamos provar que delta < 0 :  4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) <
0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ).

Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a =>

f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)
+c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =

=a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
-c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>

módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2)
-c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.

Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo
definido f(x) também tem, e se g(x)

tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem
raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma

raiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimo e se a < 0, g(x)
tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos

que consi

Re: [obm-l] Re:

2002-12-21 Por tôpico Salvador Addas Zanata 


Como eu falei num e-mail anterior, se fosse p(p(x))=x, nao zero, ai o
problema e possivel. Nesse caso, so se usa a continuidade da funcao (caso
particular do teorema de Scharkowsky)


Abraco,

Salvador


On Sat, 21 Dec 2002, A. C. Morgado wrote:

> Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao 
> p(x) = x reduz-se a  x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu 
> discriminante eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, 
> NAO EH VERDADE que p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da 
> referida equaçao. Assim como esse, ha muitos contraexemplos que podem 
> ser dados (vejam mensagem de Salvador Addas Zanata).
> Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens 
> anteriores, pois ele estah errado.
> Morgado
> 
> Eder wrote:
> 
> > Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:
> >
> >  
> >
> > Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0 
> > has no real roots.
> >
> >  
> >
> > - Original Message -
> >
> > From: A. C. Morgado 
> >
> > To: [EMAIL PROTECTED] 
> >
> > Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
> >
> > Subject: Re: [obm-l] Re:
> >
> >
> >
> >
> > Wagner wrote:
> >
> >> Oi pessoal !
> >>
> >>  
> >>
> >> 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
> >> de zero.
> >>
> >>  Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da
> >> ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
> >> módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
> >> depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
> >> f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda
> >> função não tem raiz real a primeira também não tem.
> >>
> >>  
> >>
> >> Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a  ;
> >>  f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
> >>
> >> f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
> >> =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
> >>
> >> Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0
> >> => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
> >>
> >> 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0  => h(x) =
> >> 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
> >>
> >> Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas
> >> provar que h(x) não possui raízes reais.
> >>
> >> Se h(x) não possui raízes reais então :  36(a^2)(b^2)
> >> -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
> >>
> >> 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 =>
> >> b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
> >>
> >>  
> >>
> >> Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
> >>
> >> Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac <
> >> 0  => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
> >>
> >> logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.
> >>
> >>  
> >>
> >> Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1
> >> =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =
> >>
> >> =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>
> >>
> >> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
> >> {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
> >>
> >> f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax
> >> +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b)   ; f ' (x) =0 =>
> >>
> >> (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
> >>
> >> O primeiro caso implica em: x= -b/2a
> >>
> >> O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b).
> >>
> >> Vamos provar que delta < 0 :  4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) <
> >> 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ).
> >>
> >> Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a =>
> >>
> >> f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)
> >> +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
> >>
> >> =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
> >> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
> >>
> >> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2)
> >> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
> >>
> >> Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo
> >> definido f(x) também tem, e se g(x)
> >>
> >> tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem
> >> raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma
> >>
> >> raiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimo e se a < 0, g(x)
> >> tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos
> >>
> >> que considerar 2 casos : a > 0 e a < 0.
> >>
> >> Suponha que a primeira hipótese seja falsa:
> >>
> >> a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a
> >> -b/2a +1/4a +c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
> >>
> >> -4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 =>
> >