Re: [obm-l] sistema de equações
O sinal de ligaçao do primeiro membro da segunda equaçao nao seria - em vez de + ? Aih, bastaria somar as equaçoes. Em Mon, 6 Jan 2003 00:33:37 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: Olá pessoal, Estou resolvendo um sistema de equações e não estou chegando no resultado (que segundo o gabarito é zero) de jeito nenhum. Eu vou mostrar a questão e a maneira como eu conduzi para respondê-la, embora não conseguindo chegar na resoposta correta. Vejam: (PUC-SP) Se (3/11)*x + (8/7)*y = 2 (8/11)*x + (1/7)*y = -1 então x + y = é igual a: Resolução falaciosa: Primeiramente, dei a x/11 o valor de a e y/7 o valor de b, ficando (x/11)=a e (y/7)=b. Depois eu subtitui no sistema, ficando: 3a + 8b = 2 8a + b= -1 Multipliquei a 2ª equação por (-8) ficando: 3a + 8b = 2 -64a -8 b= 8 Somando as duas equações encontraremos: -61a = 10 , portanto a = (-10)/61, mas como eu disse no início que (x/11)=a, então temos x= 11*a , que resulta em x= (-110)/61. Substituindo este valor na primeira equação eu obtive y= (791/122). Importantíssimo: O problema pede para calcular x + y, e somando os vermelhos não chegamos ao resultado que o gabarito dá como certo que é 1. Qual o erro que estou cometendo, em vista da resolução acima? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações
Oi pessoal ! Se x + y = 0 = x = -y = -(3/11)y + (8/7)y = 2 = ((-21 + 88)/77)y =(67/77)y = 2 = y = 154/67 e -(8/11)y + (1/7)y = -1 = ((-56 + 11)/77)y = (-45/77)y = -1 = y = 77/45 Logo x + y não é zero. André T. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 06, 2003 3:33 AM Subject: [obm-l] sistema de equações Olá pessoal, Estou resolvendo um sistema de equações e não estou chegando no resultado (que segundo o gabarito é zero) de jeito nenhum. Eu vou mostrar a questão e a maneira como eu conduzi para respondê-la, embora não conseguindo chegar na resoposta correta. Vejam: (PUC-SP) Se (3/11)*x + (8/7)*y = 2 (8/11)*x + (1/7)*y = -1 então x + y = é igual a: Resolução falaciosa: Primeiramente, dei a x/11 o valor de "a" e y/7 o valor de "b", ficando (x/11)=a e (y/7)=b. Depois eu subtitui no sistema, ficando: 3a + 8b = 2 8a + b= -1 Multipliquei a 2ª equação por (-8) ficando: 3a + 8b = 2 -64a -8 b= 8 Somando as duas equações encontraremos: -61a = 10 , portanto a = (-10)/61, mas como eu disse no início que (x/11)=a, então temos x= 11*a , que resulta em x= (-110)/61. Substituindo este valor na primeira equação eu obtive y= (791/122). Importantíssimo: O problema pede para calcular x + y, e somando os vermelhos não chegamos ao resultado que o gabarito dá como certo que é 1. Qual o erro que estou cometendo, em vista da resolução acima?
[obm-l] Sistema de equações
Não. O sinal do segundo membro é mesmo, segundo o enunciado; positivo, ou seja, como eu enviei à lista: (3/11)*x + (8/7)*y = 2 (8/11)*x + (1/7)*y = -1 A única reitificação que gostaria de fazer é que o resultado do gabarito é 1 e não zero.
Re: [obm-l] sistema de equações
On Mon, Jan 06, 2003 at 12:33:37AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou resolvendo um sistema de equações e não estou chegando no resultado (que segundo o gabarito é zero) de jeito nenhum. Eu vou mostrar a questão e a maneira como eu conduzi para respondê-la, embora não conseguindo chegar na resoposta correta. Vejam: (PUC-SP) Se (3/11)*x + (8/7)*y = 2 (8/11)*x + (1/7)*y = -1 então x + y = é igual a: ---end quoted text--- Resolvendo o sistema pelo caminho que voce adotou e subtraindo a segunda equacao da primeira, isolando y e etc, encontrei sempre o mesmo resultado: x+y=23/61, com x=-110/61 e y=133/61 Como o prof. Morgado salientou, eh estranho um sistema que pede x+y, estar na forma que esta e nao poder ser resolvido por uma simples soma/subtracao. Um possivel erro poderia ser um mal xerox no qual voce/outra pessoa trocou o 6y/7 na primeira equacao por 8y/7, assim seria apenas a soma das 2 equacoes e a resposta seria o procurado 1. -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Problemas de Geometria
Title: Help Caro Eder: Pode acreditar que os seus dois problemas de geometriaforem difíceis pra mim também. Repare que nos dois problemas aparecem, de uma forma ou de outra, ângulos inscritos em circunferências. Na maioria dos problemas envolvendo ângulos vale a pena checar para ver se alguma circunferência contém dois ou mais dos ângulos do problema ou, como no caso do problema 1, se você pode transladar algum ângulo de forma que ele fique inscrito na mesma circunferência que algum outro. Outros itens que aparecem com frequência e são a chave para a solução do problema são quadriláteros inscritíveis, paralelogramos, triângulos isósceles esemelhança de triângulos. Não existe um método fixopara se atacar problemas de geometria (especialmente a nível de olimpíada). No entanto, há uma grande probabilidade que estes problemas envolvam os elementos acima. O pior caso é quando você precisa construir uma reta ou segmento auxiliar a fim de fazer um dos itens acima aparecer. Aí, acho que só a experiência ajuda... Como treino, tente os seguintes problemas: 1) O triângulo ABC é isosceles, com AB = AC. O ângulo BAC mede 20 graus. Traçam-se os segmento BD e CE,(D em AC e entre A e C; E em AB e entre A e B) formando, com a base BC,ângulos de 60 e 50 graus, respectivamente. Calcule o valor do ângulo BDE. Dica: construa um segmento auxiliar que faça aparecer triângulos isósceles ou, com sorte, um triângulo equilátero. 2) Prove o Teorema de Ptolomeu: Num quadrilátero inscritível ABCD, vale AB*CD + AD*BC = AC*BD. Dica: um segmento auxiliar bem construído podeproduzir triângulos semelhantesestratégicos. 3) Dado um triângulo ABC, construa três circunferências tendo, cada uma, um dos lados do triângulo como diâmetro. Prove que os pontos de interseção de cada par de circunferências pertence a pelo menos um dos lados do triângulo. 4) No problema anterior, prove que as três cordas que unem os pontos de interseção de cada parcircunferências são concorrentes. Que ponto é esse (em relação ao triângulo ABC)? 5) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência. Prove que, qualquer que seja o ponto P no arco BC (que não contém o vértice A), teremos: PA = PB + PC. Dica: use um dos problemas anteriores. Um abraço, Claudio Buffara.
Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Se voces nao gostam de trigonometria,tentem por absurdo.Ai construa um paralelogramo conveniente Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na InternetBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Calma,nao viaje desse jeito!!As bissetrizes nao necessariamente se encaixam com os raios do incirculo.Assim sendo nao da para fazer a subtraçao e dizer que BI=IC. [EMAIL PROTECTED] wrote: -- Mensagem original --Olá,As demonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um ttriânguloABC,este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmentecompletas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, entãosuas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora, falta demonstrar a recíproca,ainda não provada:===OBS: Anexei uma figura para melhor visualização .Olá Eduardo , ai vai uma possível demonstração ;Se BD e CE são iguais e sabendo que o ponto de encontro das bissetrizes- incentro - é o centro da circunferência inscrita , temos ;BI = IC , poisEC = BDEC - r = BD - rEntão o triângulo IBC é isósceles .Agora observamos que os ângulos ICB e IBC são iguais .Como os segmentos CE e BD são bissetrizes , os ângulos ACI = ICB = IBC =ABI .Dae ficamos com os ângulos ;ACI + ICB = CIB + ABI ou então ; ângulo ABC = ângulo ACBProvando que o triângulo ABC é ISÓSCELES.Abraço .Rick|-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br ATTACHMENT part 2 image/gif Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Besouro Cartesiano
Nao te dou certeza mas acho que isso sai com Kronecker.Tente ver as Eurekas e depois eu tento em casa. Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Para minimizar a duração da jornada de (5,8) até (-11/2,-3/2) o besouro deverá passar pela origem (0,0) gastando 7.57 unidades de tempo. Este é um problema clássico da física - o da refração dos raios luminosos quando há mudança do meio por onde eles se propagam. O belo arco-iris é o exemplo mais comum. Ele explica, também, porque a piscina parece mais rasa do que na realidade é. Diz a Lei da Refração (Lei de Snell): n1 sin(theta1) = n2 sin(theta2) onde n1: índice de refração do meio onde está o raio incidente n2: índice de refração do meio onde está o raio refratado theta1: ângulo formado entre o raio incidente e a normal à superfície de separação dos meios theta2: ângulo formado entre o raiorefratado e a normal à superfície de separação dos meios O índice de refração, por sua vez, é proporcional à velocidade de propagação da luz (do som, do besouro, etc) no meio. Quer dizer, quanto maior a velocidade de propagação, maior o índice de refração - no caso presente, o índice de refração dos quadrantes 1,3 e 4 é o dobro do índice de refração do quadrante 2. Como o seno de um ângulo não pode ser maior do que 1, temos um problemaquando alguma coisa vem de um meio rápido e entra num meio lento. A partir de um certo ângulo de incidência - chamado ângulo crítico - não mais existe refração (o raio não "entra" no outro meio) e sim reflexão (a superfície de separação dos meios funciona com um espelho). Olhe a superfície - calma - de um lago, de um ponto logo acima da superfície - V não vai ver o fundo do lago, e sim o céu. É fácil mostrar que arc sin (theta-crítico) = n2/n1 (no caso presente, theta-critico=30 graus). É por causa desse ângulo crítico que o besouro tem que evitar o quadrante 2. Se ele fosse em linha reta da origem para o destino, o ângulo de incidência entre os quadrantes 1 e 2 seria 42 graus, maior que o ângulo crítico, o que faria com o besouro "ricocheteasse" de volta para o quadrante 1. É claro que se pode provar isso matematicamente, bastando armar as equações e ver que o percurso de tempo mínimo - se forçarmos o besouro a entrar no quadrante 2 - vai ter que passar pelo reino dos complexos, o que provavelmente mataria nosso pobre animal. Como sou engenheiro, e vi pelo "jeitão" que o ângulo de incidência estava muito grande, montei a função que dá o tempo que queríamos minimizar - em função dos pontos em quea trajetóriacorta os eixos "y" e "x" - emandei o Mathematica traçar o mapa da mina. Nãodeu outra: ele passa pela origem. JF PS: Quem quiser ver uma explicação da Lei de Refração em linguagem bastante simples, vá até: http://scienceworld.wolfram.com/physics/AngleofRefraction.html - Original Message - From: larryp To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 31, 2002 7:26 AM Subject: [obm-l] Besouro Cartesiano e 2003 Dois problemas bonitinhos: 1) Um besouro no plano cartesiano quer (?) ir do ponto (5,8) até o ponto (-11/2,-3/2). Sua velocidade é constante, igual a 2 unidades / minuto, exceto quando está no segundo quadrante (x0 e y0), no qual sua velocidade é apenas 1 unidade / minuto. Qual o trajeto que minimizará a duração de sua jornada? 2) Prove que existe uma potência de2 cujos primeiros quatro algarismos são 2, 0, 0 e 3. Sugestão: Log(2) na base 10 é irracional. Obs: O resultado continua válido se ao invés de 2 tivermos qualquer inteiro positivo que não seja uma potência de 10 e se ao invés de 2, 0, 0 e 3, tivermos uma sequência arbitrariamente longa de algarismos quaisquer (naturalmente, com o primeiro diferente de zero). Um abraço, Claudio Buffara. Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Triângulos-continuação
Isto de fato e usar Stewart. larryp [EMAIL PROTECTED] wrote: A demonstração da volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB, respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois teoremas: 1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e 2. Lei dos cossenos. No triângulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD = CE = x. Usando o teorema (1), teremos: D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou seja: AD = b*c/(a+c) CD = a*b/(a+c) E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou seja: AE = b*c/(a+b) BE = a*c/(a+b) Agora o passo mais importante da demonstração: Aplicamos a lei dos cossenos aos triângulos AEC e BEC, mas ao invés de usar os ângulos ACE e BCE (que seriam a escolha óbvia, já queque são iguais, pois CE é bissetriz) usamos os ângulos AEC e BEC, que sâo suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M. Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*cos(AEC) Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2*BE*CE*cos(BEC) Ou seja, b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 - 2*x*b*c/(a+b)*M a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2+ 2*x*a*c/(a+b)*M Agora, M não tem nada a ver com o que queremos provar. Assim, a idéia é fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a primeira equação por a, a segunda por b: a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 - 2*x*a*b*c/(a+b)*M b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2+ 2*x*a*b*c/(a+b)*M E somamos as duas equações: a*b*(a+b)= a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2 Dividindo por a+b: a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2 Resolvendo para x^2: x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ] De maneira inteiramente análoga, usando os triângulos ADB e BDC (sem esquecer que BD = EC = x), obtemos: x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ] Ou seja, b - b*c^2/(a+b)^2 = c - b^2*c/(a+c)^2 == b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ] Suponhamos agora que b c. Então, por esta última expressão, teremos que ter, necessariamente: c/(a+b)^2 b/(a+c)^2. No entanto b c ==a+b a+c == (a+b)^2 (a+c)^2 == 1/(a+c)^2 1/(a+b)^2 == b/(a+c)^2 c/(a+b)^2 == CONTRADIÇÃO Analogamente, se supusermos que b c também cairemos em contradição. A única conclusão possível é que b = c, ou seja, AB = AC e ABC é isosceles. - Original Message - From: Eduardo Estrada To: Olimpíada Matemática Sent: Tuesday, December 31, 2002 12:11 AM Subject: [obm-l] Triângulos-continuação Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na InternetBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
- Original Message - From: Andre Linhares To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 12:29 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont. Sim, é verdade quese duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passapor esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Sefosse verdade, poderíamos usar seus argumentos paraprovar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o quelogicamente nao é verdade. From: Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Wed, 1 Jan 2003 18:48:30 -0300 (ART) Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração, mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, Eduardo - Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Se voce e quem eu penso que e,tenho coisas a te dizer: 1)O incirculo,e nao o circuncirculo,toca os caras do triangulo :-) 2)A soluçao pode ou nao ser forçada,mas e errada.O que voce esta dizendo implicitamente e que oincirculo toca os lados no mesmo lugar das bissetrizes.Isso so valeno triangulo equilatero. :0 [EMAIL PROTECTED] wrote: ==Eu não forcei nada , acho que minha demostração é válida.Sempre aprendi que o circuncentro tóca todos os lados do triângulo .Ou não ?Já que você tem dus bissetrizes , o ponto de encontro das duas , só podeser o ponto de encontro da terceira .Não sei se me entendeu ,mais acho minha solução é válida , não é cheiade conta igual a sua , mais não vejo problema algum em faze-la.Você disse que nem em todos os triângulos o circulo inscrito tengenciatodos os lados ? Desconheço isso .Na demostração , eu entendi que partindo do fato de que tenho duas bissetrizesIGUAIS , provar que os lados são iguais .== =|-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Triângulos-continuação
Este roteiro eu ja tinha em mente.Te desafio a fazer so com senos. larryp [EMAIL PROTECTED] wrote: A demonstração da volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB, respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois teoremas: 1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e 2. Lei dos cossenos. No triângulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD = CE = x. Usando o teorema (1), teremos: D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou seja: AD = b*c/(a+c) CD = a*b/(a+c) E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou seja: AE = b*c/(a+b) BE = a*c/(a+b) Agora o passo mais importante da demonstração: Aplicamos a lei dos cossenos aos triângulos AEC e BEC, mas ao invés de usar os ângulos ACE e BCE (que seriam a escolha óbvia, já queque são iguais, pois CE é bissetriz) usamos os ângulos AEC e BEC, que sâo suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M. Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*cos(AEC) Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2*BE*CE*cos(BEC) Ou seja, b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 - 2*x*b*c/(a+b)*M a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2+ 2*x*a*c/(a+b)*M Agora, M não tem nada a ver com o que queremos provar. Assim, a idéia é fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a primeira equação por a, a segunda por b: a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 - 2*x*a*b*c/(a+b)*M b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2+ 2*x*a*b*c/(a+b)*M E somamos as duas equações: a*b*(a+b)= a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2 Dividindo por a+b: a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2 Resolvendo para x^2: x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ] De maneira inteiramente análoga, usando os triângulos ADB e BDC (sem esquecer que BD = EC = x), obtemos: x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ] Ou seja, b - b*c^2/(a+b)^2 = c - b^2*c/(a+c)^2 == b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ] Suponhamos agora que b c. Então, por esta última expressão, teremos que ter, necessariamente: c/(a+b)^2 b/(a+c)^2. No entanto b c ==a+b a+c == (a+b)^2 (a+c)^2 == 1/(a+c)^2 1/(a+b)^2 == b/(a+c)^2 c/(a+b)^2 == CONTRADIÇÃO Analogamente, se supusermos que b c também cairemos em contradição. A única conclusão possível é que b = c, ou seja, AB = AC e ABC é isosceles. - Original Message - From: Eduardo Estrada To: Olimpíada Matemática Sent: Tuesday, December 31, 2002 12:11 AM Subject: [obm-l] Triângulos-continuação Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na InternetBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] LIVRO: 10 primeiras Olimpiadas Iberoamericanas
Tente falar com a Nelly pelo telefone ou e-mail.Se eu nao me engano e 0XX21 25295077 e ela te dara as instruçoes.Mas corra que este livro e raro!!! Helder Oliveira de Castro [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Eduardo Wagner, Como faço para adquirir este livro (10 primeiras Olimpiadas Iberoamericanas), que você me recomendou? Valeus, Helder Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na InternetBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Princípio_de_Dirichlet
Este ja e bem famoso.Se voce analisar os restos das divisoes desses numeros (uma porrada de unzes) pode perceber que ha dois iguais. [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros amigos, muita paz! Feliz ano novo a todos! Como resolver a seguinte questão referente a Dirichlet: Prove que todo número natural tem um múltiplo que se escreve, na base 10, apenas com os algarismos 0 e 1. Fonte: Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Autores: Augusto César de Oliveira Morgado João Bosco Pitombeira de Carvalho Paulo Cezar Pinto Carvalho Pedro Fernadez ATT. João Carlos Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Triângulos-cont.
Meu,tentem entender que a afirmaçao "os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo" nao e 100% verdade.Basta tentar demonstrar que voce ve que ha excesso de dados contraditorios.E geralmente quando se fala de demonstraçao elegante todos pensam em triangulos e semelhanças.Da pra parar de ser sonhador?Tente esse problema por exemplo:seja ABC um triangulo isosceles de base BC e cevianas EC e BD,tal que m(A)=20,m(DBC)=60,m(BCE)=50,calcule m(BDE). Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração,mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na InternetBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Problemas de Geometria
Title: Help Obrigado pelas dicas e pelos problemas propostos,Cláudio.Eu nunca fiz aula de preparação para olimpíada e tenho ralado sozinho mesmo.Só fui me interessar mais pelo assunto depois que concluí o ensino médio e por causa de uns vestibulares difíceis que tentei com sucesso(ITA e IME).Só me resta agora participar do nível universitário.O problema é que as questões são bem difíceis,mais dirigidas a quem vinha fazendo olimpíadas continuamente...Mas acho que vou participar,não custa nada.Valeu! - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 06, 2003 5:00 PM Subject: [obm-l] Problemas de Geometria Caro Eder: Pode acreditar que os seus dois problemas de geometriaforem difíceis pra mim também. Repare que nos dois problemas aparecem, de uma forma ou de outra, ângulos inscritos em circunferências. Na maioria dos problemas envolvendo ângulos vale a pena checar para ver se alguma circunferência contém dois ou mais dos ângulos do problema ou, como no caso do problema 1, se você pode transladar algum ângulo de forma que ele fique inscrito na mesma circunferência que algum outro. Outros itens que aparecem com frequência e são a chave para a solução do problema são quadriláteros inscritíveis, paralelogramos, triângulos isósceles esemelhança de triângulos. Não existe um método fixopara se atacar problemas de geometria (especialmente a nível de olimpíada). No entanto, há uma grande probabilidade que estes problemas envolvam os elementos acima. O pior caso é quando você precisa construir uma reta ou segmento auxiliar a fim de fazer um dos itens acima aparecer. Aí, acho que só a experiência ajuda... Como treino, tente os seguintes problemas: 1) O triângulo ABC é isosceles, com AB = AC. O ângulo BAC mede 20 graus. Traçam-se os segmento BD e CE,(D em AC e entre A e C; E em AB e entre A e B) formando, com a base BC,ângulos de 60 e 50 graus, respectivamente. Calcule o valor do ângulo BDE. Dica: construa um segmento auxiliar que faça aparecer triângulos isósceles ou, com sorte, um triângulo equilátero. 2) Prove o Teorema de Ptolomeu: Num quadrilátero inscritível ABCD, vale AB*CD + AD*BC = AC*BD. Dica: um segmento auxiliar bem construído podeproduzir triângulos semelhantesestratégicos. 3) Dado um triângulo ABC, construa três circunferências tendo, cada uma, um dos lados do triângulo como diâmetro. Prove que os pontos de interseção de cada par de circunferências pertence a pelo menos um dos lados do triângulo. 4) No problema anterior, prove que as três cordas que unem os pontos de interseção de cada parcircunferências são concorrentes. Que ponto é esse (em relação ao triângulo ABC)? 5) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência. Prove que, qualquer que seja o ponto P no arco BC (que não contém o vértice A), teremos: PA = PB + PC. Dica: use um dos problemas anteriores. Um abraço, Claudio Buffara.
[obm-l] Sylvester / Conway
Title: Help
CaroPaulo Santa Rita:
Eis aqui um resumo dadiscussãoaté agora sobre o problema de
Conway:
O PROBLEMA:
Dados um conjunto X com N elementos e M subconjuntos próprios de X tais que
cada par (não ordenado) de elementos de X pertence a exatamente um destes
subconjuntos, prove que M = N.
AS SUAS DUAS PISTAS:
LEMA1:Para todo "a" pertencente a X, se R(a) é o número
de subconjuntos que contém "a", então 2 = R(a) M.
LEMA2: Se A(i) é um dos subconjuntos dados e "a" não pertence a A(i),
então R(a) |A(i)|.
Já concordamos que estesdoislemas podem ser provados sem muita
dificuldade. O grande mérito do Conway foi perceber que estes eram
osfatosrelevantes para a solução do problema.
O que eu fiz em seguida foi inventar mais dois lemas (apesar de não ter
conseguido demonstrar o segundo).
Seja X = { 1, 2, ..., N } e sejam A(1), A(2), ..., A(M) os subconjuntos
próprios de X.
LEMA 3:
R(1) + R(2) + ... + R(N) = |A(1)| + |A(2)| + ... + |A(M)|
DEM:
Contar de duas formas o número de pares ordenados (i , A(j) ), 1
= i = N e 1 = j = M, tais que "i"pertence a A(j).
(i) Para cada "i", existem R(i) subconjuntos A(j) tais que"i"
pertence a A(j).
Assim, o número de pares ordenados é igual a R(1) + R(2) + ... +
R(N);
(ii) Para cada "j", o subconjunto A(j) possui | A(j) | elementos.
Assim, o número de pares ordenados é igual a |A(1)| + |A(2)| + ... +
|A(M)|.
Essa idéia de contar pares ordenados eu tirei de um problema sobre o
princípio das gavetas (dados 2^(N-1) + 1 subconjuntos de um conjunto de N
elementos, existem dois destes subconjuntostais que um é uma parte própria
do outro)
LEMA4:
SeM = N, então é possível escolherM elementos DISTINTOS de
X (digamos x(1), x(2), ..., x(M) ) tais que,x(j) não pertence a A(j), 1
=j = M.
DEM:
Como, para todo j, A(j) é um subconjunto PRÓPRIO de X, sempre será possível
escolherum elemento x(j) tais que x(j) não pertence a A(j).
Resta, portanto, mostrar que os x(j) podem ser escolhidos distintos dois a
dois, e foi aqui que eu me compliqueimas tenho a sensação de que o resultado
é verdadeiro. Acho que em algum lugar pode entrar o LEMA 1 ( 2 = Ra M
).
De posse destes 4 lemas (supondo, é claro, que o último seja realmente
verdadeiro), a demonstração do teorema pode ser concluída por contradição:
Suponhamos que M N.
A partir doLEMA 4, supondo escolhidos os M elementos distintos de X (
x(1) , x(2), ..., x(M) ), tais que x(j) não pertence a A(j), 1 = j = M,
formamos a soma:
R(x(1)) + R(x(2)) + ... + R(x(M)), a qual, peloLEMA 2, é maior do que
|A(1)| + |A(2)| + ... + |A(M)|.
Por outro lado, temos naturalmente:
R(1) + R(2) + ... + R(N) R(X(1)) + R(x(2)) + ... + R(x(M)), já que,
por hipótese, M N, e peloLEMA 1, R(i) = 2 para cada "ï".
Ou seja: R(1) + ... + R(N) |A(1)| + ... + |A(M)|, o que contradiz
oLEMA 3.
Assim, somos forçados a concluir que M = N.
Comentários serão muito bem vindos.
Um abraço,
Claudio Buffara.
[obm-l] Polinômios
Olá pessoal, Como calcular esta questão de vestibular referente a polinômios: (UC- MG) A soma dos valores de A, B e C tal que (2x - 3)/x(x + 1) = A/x + (Bx + C)/(x + 1) é ? Obs: A resposta é 2 (segundo meu gabarito) Eu tentei isolar o A, B, C em um dos membros, mas não consegui. Mas acho que envolve o conceito de identidade de polinômios, não? pois o x não irá se anular. Mas através da identidade de polinômios estou chegando a B =0 , C= 2 e A = -3 que somando não dá 2 :-(
[obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Voce deve fazer a igualdade dos numeradores. Faca o seguinte: (2x-3)/x(x+1) = A(x+1)/x(x+1) + (Bx+C).x/x(x+1) (2x-3)/x(x+1)=(Bx^2 + x(A+C)+ A)/x(x+1) Entao temos B=0, A+C=2 e A=-3. Dessa forma, A+B+C=-3+0+5=2. Esse sera um recurso util quando voce estiver calculando algumas integrais de funcoes desse tipo. Voce fara a expansao em fracoes parciais. Mas isso e pra quando voce fizer o curso de calculo. Leandro Los Angeles, EUA. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 06, 2003 1:52 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Polinômios Olá pessoal, Como calcular esta questão de vestibular referente a polinômios: (UC- MG) A soma dos valores de A, B e C tal que (2x - 3)/x(x + 1) = A/x + (Bx + C)/(x + 1) é ? Obs: A resposta é 2 (segundo meu gabarito) Eu tentei isolar o A, B, C em um dos membros, mas não consegui. Mas acho que envolve o conceito de identidade de polinômios, não? pois o x não irá se anular. Mas através da identidade de polinômios estou chegando a B =0 , C= 2 e A = -3 que somando não dá 2 :-(
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
(UC- MG) A soma dos valores de A, B e C tal que (2x - 3)/x(x + 1) = A/x + (Bx + C)/(x + 1) é ? Tirando o mínimo temos: 2x - 3 = Ax + A + Bx^2 + Cx Facilmente percebemos que B tem que ser 0. E como A é a unica incognita sem x, tem que valer -3. Substituindo os valores temos: 2x - 3 = -3x -3 + Cx 2x = -3x + Cx C = 5 portanto, A + B +C = -3 + 0 + 5 = 2 Gabriel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Fw: [obm-l] Um paradoxo de deixar os cabelos em pé
Quem propôs este paradoxo foi umamericano que adorava guerras e morreu desconhecido e muito jovem. JF - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 05, 2003 1:25 PM Subject: [obm-l] Um paradoxo de deixar os cabelos em pé Ele não pode se barbear porque só barbeia aqueles que não se barbeiam a si mesmos. Mas se ele não se barbeia a si mesmo, faz parte dos que não se barbeiam a si mesmos, logo, pode se barbear... mas não pode se barbear porque só barbeia aqueles que não se barbeiam a si mesmos... etc, etc,.
[obm-l] Re: [obm-l] Fw: [obm-l] Um paradoxo de deixar os cabelos em pé
Pensei que esse fosse um paradoxo atribuído aRussel
[Bertrand Russel (1872-1970)], que não morreu
jovem.
O enunciado formal desse paradoxo é:
Seja Z o conjunto de todos os
conjuntos que não contém a si mesmo como membro, isto é,
Z = {X / X Ï X}
Pergunta: Z pertence ou não a si mesmo?
[]s, Josimar
- Original Message -
From:
Jose
Francisco Guimaraes Costa
To: obm-l
Sent: Tuesday, January 07, 2003 12:21
AM
Subject: [obm-l] Fw: [obm-l] Um paradoxo
de deixar os cabelos em pé
Quem propôs este paradoxo foi umamericano
que adorava guerras e morreu desconhecido e muito jovem.
JF
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, January 05, 2003 1:25 PM
Subject: [obm-l] Um paradoxo de deixar os cabelos em pé
Ele não pode se barbear porque só barbeia
aqueles que não se barbeiam a si mesmos. Mas se ele não se barbeia a si mesmo,
faz parte dos que não se barbeiam a si mesmos, logo, pode se barbear... mas
não pode se barbear porque só barbeia aqueles que não se barbeiam a si
mesmos... etc, etc,.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: [obm-l] Um paradoxo de deixar os cabelos em pé
Caros,
tive a mesma impressão do Josimar e o mathworld
sugere a mesma informação
http://mathworld.wolfram.com/BarberParadox.html.
Abraço,
Eduardo.
Porto Alegre, RS.
- Original Message -
From:
Josimar
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, January 06, 2003 9:38
PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: [obm-l]
Um paradoxo de deixar os cabelos em pé
Pensei que esse fosse um paradoxo atribuído
aRussel [Bertrand Russel (1872-1970)], que não
morreu jovem.
O enunciado formal desse paradoxo é:
Seja Z o conjunto de todos os
conjuntos que não contém a si mesmo como membro, isto é,
Z = {X / X Ï X}
Pergunta: Z pertence ou não a si mesmo?
[]s, Josimar
- Original Message -
From:
Jose
Francisco Guimaraes Costa
To: obm-l
Sent: Tuesday, January 07, 2003 12:21
AM
Subject: [obm-l] Fw: [obm-l] Um
paradoxo de deixar os cabelos em pé
Quem propôs este paradoxo foi umamericano
que adorava guerras e morreu desconhecido e muito jovem.
JF
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, January 05, 2003 1:25 PM
Subject: [obm-l] Um paradoxo de deixar os cabelos em pé
Ele não pode se barbear porque só
barbeia aqueles que não se barbeiam a si mesmos. Mas se ele não se barbeia a
si mesmo, faz parte dos que não se barbeiam a si mesmos, logo, pode se
barbear... mas não pode se barbear porque só barbeia aqueles que não se
barbeiam a si mesmos... etc, etc,.
[obm-l] Re: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
-- Mensagem original -- Meu,tentem entender que a afirmaçao os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo nao e 100% verdade.Basta tentar demonstrar que voce ve que ha excesso de dados contraditorios.E geralmente quando se fala de demonstraçao elegante todos pensam em triangulos e semelhanças.Da pra parar de ser sonhador?Tente esse problema por exemplo:seja ABC um triangulo isosceles de base BC e cevianas EC e BD,tal que m(A)=20,m(DBC)=60,m(BCE)=50,calcule m(BDE). === OBS:(Figura anexa ) Olá Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Esse eu tive que viajar !!!É tão pequeno que parece ser fácil , mais na verdade é bem complicado . Vamos ver ... Fazendo com que BD seja o raio da circunferência de centro em B , traçaremos o arco FG . Como o triângulo ABC é isósceles , os ângulos ABC e ACB , são iguais a 80° Como o triângulo EBC é isósceles , o segmento EF = CG , já que subtraímos do raio BD a mesma medida , BE = BC . O triângulo FBD é isósceles , então BFD = BDF = 80° Assim , AFD = 100° e FDA = 60° O triângulo ADB é isósceles , fazendo com que o segmento DA = DG . Concluímos que os triângulos AFD e DCG são iguais , pois possuem mesmos ângulos e um lado igual . Se são iguais o segmento FD = CG , e como vimos que EF = CG , temos FD = FE . Mais um triângulo isósceles aparece , que no caso é o FED . O ângulo que queremos é o BDE , e como BDA = 140°, temos : 60° + 50° + BDE = 140° BDE = 30° Abraço Rick |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br attachment: tria_.gif
