[obm-l] pi e exp
Olá pessoal, Vou enviar agora uma questão parecida com uma que um dos membros da lista enviou há pouco tempo. A diferença é que a minha está mais restrita de modo que se possa dar uma resposta sem utilizar conceitos como logaritmos (que foi utilizado na outra questão) e nem conceitos de matemática superior. Vejamos: Considere, com 5 casas decimais, os números irracionais transcendentes pi= 3,14159 e e= 2,71828. Agora, responda aos seguintes quesitos: a) Qual o maior pi^e ou e^pi ? b)Qual a diferença entre o maior e o menor entre pi^e e e^pi ? resp: a) e^pi b) 0,68153
Re: [obm-l] matrizes
Fazendo as contas, A^3 = (-8)I A^(2001)= [-8I]^667 = - (2^2001)I A^2003 = - (2^2001)(A^2) Em Thu, 27 Mar 2003 02:27:43 -0300, Mário_Pereira [EMAIL PROTECTED] disse: Desculpem: Sendo a matriz A Calcule A elevado no expoente 2003 Mário Mário = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Probabilidade
Oi Pessoal , por favor me ajudem, a resolver esta questão que caiu no vestibular da CESCEM -1970. Dois individuos A e B vão jogar cara ou coroa com uma moeda honesta.eles combinamlançar a moeda cinco vezes e ganha o jogo aquele que ganhar em tres ou mais lançamentos. Cada um aposta R$28,00 . Feitos os dois primeiros lançamentos , em ambos dos quais A vence , eles resolvem encerrar o jogo.Do ponto de vista probabilistico de que forma devem ser repartidos os R$56,00. resposta : R$49,00 para A e R$7,00 para B. Desde já muito abrigado. Um abraço. Amurpe. __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] 6/pi^2
on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at [EMAIL PROTECTED] wrote: Se dois números naturais e distintos são escolhidos aleatoriamente, prove que a chance de esses números não terem nenhum fator em comum é 6/pi^2? Caro Helder: Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido. Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade de A e B serem ambos multiplos de p. Assim, P(p) = 1/p^2 e 1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator primo p em comum. A partir disso, concluimos que: P(A e B primos entre si) = (1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... = PRODUTORIO (1 - P(p)) = p primo PRODUTORIO (1 - 1/p^2) p primo Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo 1), teremos: 1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... ) Assim, PRODUTORIO (1 - 1/p^2) = p primo = 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) p primo Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a: infinito SOMATORIO 1/n^2 n = 1 pois se a decomposicao de n em fatores primos eh: n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao: 1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak) e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) p primo Alem disso, o valor de: infinito SOMATORIO 1/n^2 n = 1 eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por exemplo) Logo, PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6 p primo e, portanto, P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Probabilidade
Oi, Amurpe: Dois individuos A e B vão jogar cara ou coroa com uma moeda honesta.eles combinamlançar a moeda cinco vezes e ganha o jogo aquele que ganhar em tres ou mais lançamentos. Cada um aposta R$28,00 . Feitos os dois primeiros lançamentos , em ambos dos quais A vence , eles resolvem encerrar o jogo.Do ponto de vista probabilistico de que forma devem ser repartidos os R$56,00. Se o jogo continuasse B sé venceria se ganhasse os três lançamentos restantes == P(B vencer) = 1/2^3 = 1/8 == P(A vencer) = 1 - 1/8 = 7/8 Logo, Valor Esperado por A = 1/8 * 56 = R$ 7,00 == Valor Esperado por B = 7/8 * 56 = R$ 49,00 resposta : R$49,00 para A e R$7,00 para B. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l]Re: Re:[obm-l] n³ + 100 é divi por n + 10
Perdoe-me mas não quis dizer que o resto é 900(mesmo estando escrito) quis dizer que ao efetuarmos a divisão,falta 900 para que o resto seja zero. Daí a conclusão é a mesma que outros já tiveram. - Original Message - From: Alexandre A da Rocha To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 26, 2003 4:00 PM Subject: [obm-l]Re: Re:[obm-l] n³ + 100 é divi por n + 10 Caro jgb1, suaajuda nao me parece fazer nenhum sentido... de onde vc tirou que "Dividindon³ + 100por n+10, resta 900"?O proprio enunciado da questao afirma quedividindon³ + 100por n+10, resta 0. Sera que vc pode 'post' aqui o raciocinio usado na sua afirmacao? Grato, Auggy P.S.O raciocinio que eu usei para resolver foi: Sendo A divisivel por C B A e tal que B tambem e divisivel por C = (A-B) tambem e divisivel por C. se B = n³ + 100, pelo enunciado e A = n³ + 1000 ( fator de n+10 n³ + 100 ) entao A-B = 900 e o resto da solucao se iguala a sua. - Original Message - From: fgb1 To: obm-l Sent: Wednesday, March 26, 2003 12:26 PM Subject: Re:[obm-l] n³ + 100 é divi por n + 10 Dividindon³ + 100por n+10, resta 900, ou seja, procuramos um ninteiro e maior possivel que ao dividirmos n+10 por 900 o restoeh zero. Assim n =890, pois nesse caso, n+10 eh igual a 900 e deixa resto zero na divisao por 900. Logo 9+8 +0 = 17 Espero ter ajudado. De: [EMAIL PROTECTED] Para: OBM <[EMAIL PROTECTED]> Cópia: Data: Wed, 26 Mar 2003 12:34:49 -0300 Assunto: [obm-l] n³ + 100 é divi por n + 10 Pessoal, recebi essa questão e até agora não consegui nada: O maior inteiro positivo n para o qual n³ + 100 é divisível por n + 10 é tal que a soma dos seus algarismos vale: resposta: 17 Veja se alguém consegue me ajudar. Valeu! Rafael. ___ Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 19/03/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Tel. 2676-6854 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 26/03/2003 / Versão: 1.3.13Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
[obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2
Esse e o Helder Toshiro que conheço!!!So devo dizer uma coisa:esse resultado nao e rigoroso,e a demonstraçao real disso ai consiste em considerar os pontos visiveis da origem do reticulado N*N e sua densidade.Basicamente 2 pontos quaisquer desse reticulado infinito sao ditos visiveis entre si quando o segmento reto que os liga nao contem outro ponto alem dos ditos. A densidade desse conjunto seria o porcentual de espaço que ele ocupa em relaçao aos outros.Demonstrando que a densidade e 6/(pi)² acaba.Grosso modo a probabilidade e so uma interpretaçao. -- Mensagem original -- on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at [EMAIL PROTECTED] wrote: Se dois números naturais e distintos são escolhidos aleatoriamente, prove que a chance de esses números não terem nenhum fator em comum é 6/pi^2? Caro Helder: Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido. Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade de A e B serem ambos multiplos de p. Assim, P(p) = 1/p^2 e 1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator primo p em comum. A partir disso, concluimos que: P(A e B primos entre si) = (1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... = PRODUTORIO (1 - P(p)) = p primo PRODUTORIO (1 - 1/p^2) p primo Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo 1), teremos: 1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... ) Assim, PRODUTORIO (1 - 1/p^2) = p primo = 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) p primo Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a: infinito SOMATORIO 1/n^2 n = 1 pois se a decomposicao de n em fatores primos eh: n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao: 1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak) e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) p primo Alem disso, o valor de: infinito SOMATORIO 1/n^2 n = 1 eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por exemplo) Logo, PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6 p primo e, portanto, P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Integral de Lebesge
Estou começando a estudar essas coisas por agora, então tambem sou meio leigo. Estou usando o livro Elements of integration (Bartle) e tambem Medida e Integração (Pedro Fernandez - Projeto Euclides). o primeiro livro, to achando melhor e pra começar a estudar basta análise na Reta e um poucode topologia. A idéia é mais o menos como vc disse, sendo f: W - R onde W é um conjunto "complicado" de se trabalhar,mas vc conhece o coneito de medida em Wentão pode-se calcular integral de lebesgue dessa função. E vale o seguinte: Se uma função é Riemann integravel então ela tb é Lebesgue integrável e essas integrais coincidem. Porem o conjunto das lebesgue integravel é maior que as de riemann integravel. Por exemplo a funcao de Dirichlet: vale 0 nos racionais e 1 nos irracionaisélebesgue integravel mas nao é Riemann integravel. Outra coisa (esse é fortíssimo) definindo medida desubconjuntos da Reta por: - uma funcao que leva o vazio no 0;- medida de alguem é sempre positiva; - medida da uniao disjunta é soma das medidas Acho que tem uma outra, mas nao me lembro qual, de todo jeito, medida é algo como massa, volume, comprimento. Vale que: existem subconjuntos da reta que não sao mensuraveis (podem ser medidos). Naqueles que sao mensuraveis, vc pode definir uma estrutura algebrica. E nessa estruturaa reta se torna um conjunto compacto (O quê ?? Ai meu jesus cristin...) o pior é que vc vai ver que essas coisas fazem sentido na teoria. Daqui uns dias quando aprender mais, volto a falar. Henrique Branco [EMAIL PROTECTED] wrote: Hey pessoal!Andei lendo um pouco (muito pouco) na Internet sobre a integral de Lebesge eela parece um instrumento muito mais poderoso que a integral de Riemann.Pelo que li, ao invés de particionar o eixo X, particionamos o Y eintegramos. Mas isso envolve coisas como "Lebesge's measures", das quais nemtenho idéia do que são.Gostaria de maiores informações sobre essa integral e, se possível, algunsexemplos de integração por Lebesge para funções do tipo polinomial ou, atémesmo, funções não integráveis por Riemann, como sen(x)/x.Grato,Henrique.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora (corrigindo)
Claudio, obrigado pela explicação, ela é bem mais exclarecedora do que a outra que eu tinha, valeu mesmo. Ass: Marcelo Paiva __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2
Oi, JP e Helder: Mas não é verdade que o ponto (m,n) é visível a partir da origem se e somente se mdc(m,n) = 1? Depois, como você define densidade do conjunto de pontos visíveis? Eu acho que tem que ser o limite de algum quociente do tipo: #(pontos visíveis pertencentes a um conjunto A) / #(pontos de A) onde A é algo como um disco contendo a origem e cujo raio tende a infinito. Ou seja, bem parecido com a definição de probabilidade como o limite de uma frequência relativa. Assim, eu acho que se a interpretação probabilística não for rigorosa, a interpretação como densidade também não será. Será que alguém na lista pode formalizar este problema? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 27, 2003 1:14 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2 Esse e o Helder Toshiro que conheço!!!So devo dizer uma coisa:esse resultado nao e rigoroso,e a demonstraçao real disso ai consiste em considerar os pontos visiveis da origem do reticulado N*N e sua densidade.Basicamente 2 pontos quaisquer desse reticulado infinito sao ditos visiveis entre si quando o segmento reto que os liga nao contem outro ponto alem dos ditos. A densidade desse conjunto seria o porcentual de espaço que ele ocupa em relaçao aos outros.Demonstrando que a densidade e 6/(pi)² acaba.Grosso modo a probabilidade e so uma interpretaçao. -- Mensagem original -- on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at [EMAIL PROTECTED] wrote: Se dois números naturais e distintos são escolhidos aleatoriamente, prove que a chance de esses números não terem nenhum fator em comum é 6/pi^2? Caro Helder: Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido. Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade de A e B serem ambos multiplos de p. Assim, P(p) = 1/p^2 e 1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator primo p em comum. A partir disso, concluimos que: P(A e B primos entre si) = (1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... = PRODUTORIO (1 - P(p)) = p primo PRODUTORIO (1 - 1/p^2) p primo Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo 1), teremos: 1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... ) Assim, PRODUTORIO (1 - 1/p^2) = p primo = 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) p primo Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a: infinito SOMATORIO 1/n^2 n = 1 pois se a decomposicao de n em fatores primos eh: n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao: 1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak) e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) p primo Alem disso, o valor de: infinito SOMATORIO 1/n^2 n = 1 eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por exemplo) Logo, PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6 p primo e, portanto, P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Fw: [obm-l] Probabilidade
Correção: Eu troquei as bolas. De fato, é: P(B vencer) = 1/8 == E(B) = R$ 7,00 == E(A) = R$ 49,00. Claudio. - Original Message - From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 27, 2003 11:40 AM Subject: Re: [obm-l] Probabilidade Oi, Amurpe: Dois individuos A e B vão jogar cara ou coroa com uma moeda honesta.eles combinamlançar a moeda cinco vezes e ganha o jogo aquele que ganhar em tres ou mais lançamentos. Cada um aposta R$28,00 . Feitos os dois primeiros lançamentos , em ambos dos quais A vence , eles resolvem encerrar o jogo.Do ponto de vista probabilistico de que forma devem ser repartidos os R$56,00. Se o jogo continuasse B sé venceria se ganhasse os três lançamentos restantes == P(B vencer) = 1/2^3 = 1/8 == P(A vencer) = 1 - 1/8 = 7/8 Logo, Valor Esperado por A = 1/8 * 56 = R$ 7,00 == Valor Esperado por B = 7/8 * 56 = R$ 49,00 resposta : R$49,00 para A e R$7,00 para B. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2
Caro Claudio,
A interpretacao mais usual e' tomar A igual a um quadrado (como
{m,n inteiros | 1=m,n=N}). O argumento do Claudio Buffara pode ser
formalizado. Ai vai outro: o problema, nesse caso e' equivalente a estimar o
numero de pares (m,n) com mdc(m,n)=1 e 1=m=n=N (isso vai ser essencialmente
a metade de #(pontos visiveis pertencentes ao conjunto A). Nosso problema
agora e' estimar soma(n=1 ate' N)(phi(n))=
=soma(n=1 ate' N)(soma(d divide n)(mu(d).n/d))=
=soma(d=1 ate' N)(mu(d).soma(j=1 ate' [N/d])(j))=
=soma(d=1 ate' N)(mu(d).[N/d].([N/d]+1)/2=
=N^2.soma(d=1 ate' N)(mu(d)/d^2)/2+O(N.log(N))=
=N^2.soma(d=1 ate' infinito)(mu(d)/d^2)/2+O(N.log(N))=
=(3/Pi^2).N^2+O(N.log(N)), o que prova o resultado (para ver que
soma(d=1 ate' infinito)(mu(d)/d^2)=6/Pi^2, basta ver que
soma(d=1 ate' infinito)(mu(d)/d^2).soma(d=1 ate' infinito)(1/d^2)=
=soma(m=1 ate' infinito)((soma(d divide m)(mu(d))/m^2)=1).
Essa estimativa tambem da' o mesmo limite para outras escolhas de A, como
os seus quartos de disco, com um pouco mais de trabalho (por exemplo
aproximando A por unioes de retangulos, como no calculo de integrais de
Riemann)...
Abracos,
Gugu
Oi, JP e Helder:
Mas não é verdade que o ponto (m,n) é visível a partir da origem se e
somente se mdc(m,n) = 1?
Depois, como você define densidade do conjunto de pontos visíveis?
Eu acho que tem que ser o limite de algum quociente do tipo:
#(pontos visíveis pertencentes a um conjunto A) / #(pontos de A)
onde A é algo como um disco contendo a origem e cujo raio tende a infinito.
Ou seja, bem parecido com a definição de probabilidade como o limite de uma
frequência relativa.
Assim, eu acho que se a interpretação probabilística não for rigorosa, a
interpretação como densidade também não será.
Será que alguém na lista pode formalizar este problema?
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, March 27, 2003 1:14 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2
Esse e o Helder Toshiro que conheço!!!So devo dizer uma coisa:esse
resultado
nao e rigoroso,e a demonstraçao real disso ai consiste em considerar os
pontos visiveis da origem do reticulado N*N e sua densidade.Basicamente
2 pontos quaisquer desse reticulado infinito sao ditos visiveis entre si
quando o segmento reto que os liga nao contem outro ponto alem dos ditos.
A densidade desse conjunto seria o porcentual de espaço que ele ocupa em
relaçao aos outros.Demonstrando que a densidade e
6/(pi)² acaba.Grosso modo a probabilidade e so uma interpretaçao.
-- Mensagem original --
on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Se dois números naturais e distintos são escolhidos
aleatoriamente, prove que a chance de esses números
não terem nenhum fator em comum é 6/pi^2?
Caro Helder:
Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido.
Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade
de
A
e B serem ambos multiplos de p.
Assim, P(p) = 1/p^2 e
1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator
primo
p
em comum.
A partir disso, concluimos que:
P(A e B primos entre si) =
(1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... =
PRODUTORIO (1 - P(p)) =
p primo
PRODUTORIO (1 - 1/p^2)
p primo
Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo 1),
teremos:
1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... )
Assim,
PRODUTORIO (1 - 1/p^2) =
p primo
= 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
p primo
Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a:
infinito
SOMATORIO 1/n^2
n = 1
pois se a decomposicao de n em fatores primos eh:
n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao:
1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak)
e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de
PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
p primo
Alem disso, o valor de:
infinito
SOMATORIO 1/n^2
n = 1
eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por
exemplo)
Logo,
PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6
p primo
e, portanto,
P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] ajuda10
On Wed, Mar 26, 2003 at 09:57:04PM -0300, Helter Skelter wrote: 10 Num vôo com capacidade para 100 pessoas,... Para enviar um monte de perguntinhas é bem mais simpático enviar um e-mail só do que um por pergunta. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
