[obm-l] Desafio Dificio (raposas e galinhas)
Ae Rafael, Mandou ver Esta é uma da solucões!!! []`s Murilo Lima [obm-l] Desafio Dificio (raposas e galinhas) 1 2 3 4 5 a |___|___|___|___|___| b |___|___|___|___|___| c |___|___|___|___|___| d |___|___|___|___|___| e |___|___|___|___|___| Raposas: b4, b5, c5, e3, e4 Galinhas: a1, a2, d1 Desafio Dificio (raposas e galinhas) Date: Tue, 15 Jul 2003 20:02:17 -0300 Vc é capaz de distribuir em um tabuleiro 5x5, 5 raposas e 3 galinhas de tal forma que nenhuma raposa ataque alguma das 3 galinhas? Sabe-se que as raposas se movimentam como rainhas no jogo de xadrez. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IMO - Problema 2
Caro Paulo,
Usualmente o termo equacao de Pell se refere ao caso j=1 (e o coeficiente
de b^2 nao depende nem de a nem de b). Nao entendi como concluir uma solucao na
linha que voce propos. Por outro lado eu consegui (depois de tropecar um pouco)
achar uma solucao, que reproduzo abaixo, depois de algum espaco, para nao
atrapalhar quem queira pensar mais no problema.
...
...
...
...
...
...
Vamos la':
Se b=1 o problema e' achar todos os a tais que a^2/2a=a/2 e' inteiro. Isso
nos da' as solucoes {(a,1),a par}. Vamos supor agora b=2.
Se 2ab^2-b^3+1 divide a^2 entao tambem divide a^2.(2b^2)-a(2ab^2-b^3+1)=
=a(b^3-1) e (1-b^3)(2ab^2-b^3+1)+(2b^2)(a(b^3-1))=(1-b^3)^2. Sejam entao
d=mdc(a,1-b^3), a=kd, 1-b^3=ud. Temos que mdc(k,u)=1 e que 2ab^2-b^3+1 divide
mdc(a^2,(1-b^3)^2)=d^2, ou seja, d(2kb^2+u) divide d^2, e logo 2kb^2+u divide
d. Portanto, tambem temos que 2kb^2+u divide b(2kb^2+u)+2kud=ub+2k. Temos agora
dois casos:
i)d=kb^2. Entao |u|=|(1-b^3)/d| b^3/(kb^2)=b/k. Nesse caso,
|2kb^2+u|=2kb^2-|u| 2kb^2-b/k, enquanto |ub+2k| b^2/k+2k. Como b=2, 2kb^2-
b/k=kb^2+b(kb-1/k)=b^2/k+2(2k-1/k)=b^2/k+2k, donde |2kb^2+u| |ub+2k|, e
portanto devemos ter ub+2k=0, donde b(1-b^3)+2a=dub+2dk=0, e logo a=b(b^3-1)/2.
Isso nos da' a^2/(2ab^2-b^3+1)=b^2/4, que e' inteiro quando b e' par. Isso nos
da' (todas) as solucoes nesse caso i): {(b(b^3-1)/2,b), b par}.
ii)d kb^2. Aqui, como 2kb^2+u divide d, devemos ter kb^2|d|=|2kb^2+u|=
=2kb^2-|u|, donde |u|kb^2. Assim, temos ab^2=kb^2d |ud|=b^3-1 b^3, donde
a b, ou seja, b=a+1. Como 2ab^2-b^3+1 e' congruente a 1 modulo b^2, ou
2ab^2-b^3+1=1 ou |2ab^2-b^3+1|=|1-b^2|=b^2-1=(a+1)^2-1=a^2+2a a^2, mas,
nesse caso, 2ab^2-b^3+1 nao pode dividir a^2. Assim, devemos ter 2ab^2-b^3+1=1,
donde 2ab^2=b^3, e b=2a. Isso nos da' as solucoes do caso ii): {(a,2a)}.
Conclusao: as solucoes do problema sao dadas por: {(a,1), a inteiro positivo
par}, {(b(b^3-1)/2,b), b inteiro positivo par} ou {(a,2a), a inteiro positivo}.
Abracos,
Gugu
Quoting Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]:
Ola Cicero e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
A sua ideia e uma observacao valida, mas parece-me que o problema exige um
tratamento maior... Com efeito, se em :
F(a,b) = a^2/(2ab^2 - b^3 + 1)
fizermos a^2 = 2ab^2 - b^3 + 1 e olharmos para esta desigualdade como uma
ineguacao do 2 grau em a, teremos UMA CONDICAO NECESSARIA para que F(a,b)
seja um inteiro, entretanto, esta condicao nao e SUFICIENTE, pois numa
fracao P/Q podemos ter P = Q e, no entanto, P/Q nao ser inteiro. Por
exemplo : 8/5. Todavia, e muito bom que voce pense na questao. E todos os
estudantes, sobretudo os olimpicos, devem seguir o seu exemplo.
Vou te dar uma linha de pensamento para voce explorar.
Vamos colocar a funcao F(a,b) da seguinte forma :
F(a,b) = a^2 / [ (2a - b)*b^2 + 1 ]. Fazendo G(a,b) = 2a - b, segue que :
F(a,b) = a^2 / [ G(a,b)*b^2 + 1 ]
PARA TODO i inteiro, a equacao G(a,b)=i = 2a - b = i tem uma
infinidade de solucoes inteiras, pois MDC(2,-1) = 1 divide i, qualquer que
seja i. Mais que isso, para todo i, dado que
(a,b)=(0,- i) e uma solucao particular, TODAS as solucoes de G(a,b) = i
serao da forma :
a = - t, b= - i - 2t , t um inteiro qualquer
Conforme voce deve saber do estudo da equacao diofantina AX + BY = C.
E importante observar que procedendo assim EXAURIMOS TODAS AS POSSIVEIS
SOLUCOES, pois, qualquer que sejam os inteiros a e b imaginaveis, 2a - b
e tambem um inteiro, isto e, existe um inteiro i tal que 2a - b = i e,
consequentemente, os inteiros a e b que imaginamos pertencerao a alguma
das infinitas equacoes 2a - b = i. E igualmente importante observar que i
e diferente de k entao os cnjuntos solucoes de 2a - b = i e de 2a - b= k
sao disjuntos, pois as retas b = 2a - i e
b=2a - k sao paralelas, se i for diferente de k.
Bom, fixado o que eu disse acima, seja 2a - b = i. Da infinidade de pares
(a,b) que satisfazem a esta equacao, procuramos aqueles para os quais :
a^2/(i*b^2 + 1) = j , j um inteiro.
Vamos colocar esta equacao assim :
a^2 = i*j*b^2 + j = a^2 - (i*j)*b^2 = j
E entao ? Esta reconhecendo a equacao acima ? Creio que sim. Afinal, ela e
famosissima : E a conhecidissima EQUACAO DE PELL !
Bom, Voce deve conhecer os fatos basicos sobre a equacao de Pell. E so
concatenar inteligentemente o que voce sabe que a solucao sai serena e
tranquila. E aqui eu te deixo so, pra voce continuar ...
ABRE PARENTESES
O estudo das equacoes diofantinas, da EQUACAO DE PELL em particular, e um
dos acontecimentos mais emocionantes na vida de um estudante de Matematica.
Voce vai ficando chateado de nao encontrar ideias novas e, de repente, se
defronta com esta equacao, que traz novidades e surpresas impares, que em
muito se afastam da mediocridade e rotina de outros temas. Esta equacao e
quase um revigorante intelectual, que devemos
Re: [obm-l] Sequencias
Boa noite,
Sobre seqüências de números reais que tem a propriedade
Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
há uma coisa a mais que talvez mereça ser citada:
Vale o seguinte resultado:
Suponha que a seqüência (x_k) de reais tem a propriedade acima.
Se a é o limite inferior de (x_k) e b é o limite superior de (x_k) (a ou
b podem ser +- infinito) então para todo ponto z pertencente a [a,b]
existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k) que converge para z.
(Chame-se a esta propriedade P*)
A recíproca disto é falsa, mas vale a seguinte coisa, se (x_k) tem a
propriedade P* existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k), tal
que (x_(k_j)) tem
mesmo limite inferior que (x_k), mesmo limite superior que (x_k), e a
seqüência (x_(k_j)) tem a propriedade
lim | x_{k_{j+1}} - x_{k_j} | = 0
As demonstrações disso eu fiz há algum tempo atrás, mas acho mais
divertido deixar para vocês pensarem.
Manuel Garcia
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias
Pessoal,
Disse bobagem no item c).
Obrigado pela correcao, Manoel.
Segue o e-mail dele abaixo com a correcao.
Mais uma vez obrigado ao Manoel.
Um abraco,
Salvador
On Wed, 16 Jul 2003, Manuel Valentim Pera wrote:
Salvador,
Mande um email para a lista dizendo que isso foi um engano, e' falso...
Eu procuro voce amanha e mostro um contra-exemplo.
A ideia e' comecar em 1 diminuir de 1/2 em 1/2 ate' ficar negativo
depois cresca de 1/3 em 1/3 ate' passar 1, depois diminuir de 1/4 em 1/4
ate' ficar negativo, ai' cresce de 1/5 em 1/5 ate'...
Essa sequencia tem a propriedade desejada, e todos os pontos do
intervalo [0,1] sao pontos limite da sequencia.
Valem algumas coisas mais.
Abraco,
Mane'
On Wed, 16 Jul 2003, Salvador Addas Zanata wrote:
On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
a) x_{k} é limitada.
Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.
b) x_{k} é convergente.
Nao eh, pelo exemplo acima.
c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria 2
pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
hipotese. Lembre que num compacto, toda seq. tem pontos de acumulacao.
Abraco,
Salvador
agradeço qualquer ajuda !
--
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Sequencias
Outro contra-exemplo simpatico para o item c) e' x_k=cos(raiz(k)).
Abracos,
Gugu
Quoting Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED]:
Pessoal,
Disse bobagem no item c).
Obrigado pela correcao, Manoel.
Segue o e-mail dele abaixo com a correcao.
Mais uma vez obrigado ao Manoel.
Um abraco,
Salvador
On Wed, 16 Jul 2003, Manuel Valentim Pera wrote:
Salvador,
Mande um email para a lista dizendo que isso foi um engano, e'
falso...
Eu procuro voce amanha e mostro um contra-exemplo.
A ideia e' comecar em 1 diminuir de 1/2 em 1/2 ate' ficar negativo
depois cresca de 1/3 em 1/3 ate' passar 1, depois diminuir de 1/4 em 1/4
ate' ficar negativo, ai' cresce de 1/5 em 1/5 ate'...
Essa sequencia tem a propriedade desejada, e todos os pontos do
intervalo [0,1] sao pontos limite da sequencia.
Valem algumas coisas mais.
Abraco,
Mane'
On Wed, 16 Jul 2003, Salvador Addas Zanata wrote:
On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
a) x_{k} é limitada.
Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.
b) x_{k} é convergente.
Nao eh, pelo exemplo acima.
c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria
2
pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
hipotese. Lembre que num compacto, toda seq. tem pontos de acumulacao.
Abraco,
Salvador
agradeço qualquer ajuda !
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[obm-l] Elevador
On Wed, Jul 16, 2003 at 09:03:30PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Num prédio de apartamentos há 7 elevadores que param em não mais que 6 andares. É possível ir de um andar a qualquer outro sem trocar de elevador. Qual é o número máximo de andares que esse prédio pode ter? (RPM/IME/USP) O problema est bem legal. Ainda nao completei uma solucao mas vou mandar meus resultados parciais. N = 14 De fato, temos no maximo 42 paradas (uma parada est um par (i,j) onde i est um andar, j est um elevador, e o elevador j para no andar i). Se N 11 devemos ter pelo menos tres paradas por andar (pois duas paradas nos dao apenas dois elevadores que atingem no maximo 10 outros andares). Assim 3N = 42 e N = 14. N = 12 Basta observar a configuracao abaixo onde um + indica que o elevador para naquele andar e um . indica que ele nao para. Os andares estao um em cima do outro, claro, e os elevadores um ao lado do outro. Observe que 6 elevadores foram suficientes. +++... +++... +++... +..++. +..++. +..++. .+.+.+ .+.+.+ .+.+.+ ..+.++ ..+.++ ..+.++ Eu fiz uns diagramas e me convenci que N = 13 mas a prova foi meio bracal, no caso a caso, e pode estar errada. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
On Thu, Jul 17, 2003 at 01:08:25AM -0300, Alexandre Daibert wrote: Aonde eu consigo o download deste programa aí??? q programas q tem amis bom de matemática??? alguém pode me ajudar? O maple e o mathematica sao programas comerciais e voce nao pode fazer um download gratuito legal. Existem outros programas que fazem algumas das coisas que o maple e o mathematica fazem e que podem ser obtidos gratuitamente, inclusive alguns que sao software livre (no sentido gnu). O mupad est comercial mas existe uma versao que pode ser usada legalmente sem abrir a carteira. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Elevador
Acho que tem um jeito de mostrar que N = 13:
Suponha N = 14
Sejam E1, ..., E7 o conjunto de andares em que os elevadores param.
Suponha, SPG, que 1 pertence a E1, E2, E3
Cada elemento deve aparecer em exatamente 3 conjuntos.
E1 - {1}, E2 - {1}, E3 - {1} tem 15 elementos no total
Devemos ter 13 elementos distintos, pois o 1º andar deve poder ser levado a
todos os demais...
Isso nos diz que há 2 andares que são repetidos, ie: eles aparecem em
exatamente dois elevadores dentre {E1, E2, E3}.
Pegue um desses andares repetidos, ele se conecta com (no máximo) 5 + 4 = 9
andares distintos somente usando dois dos 3 primeiros elevadores, ele
precisa estar em um terceiro elevador que o conecte aos 4 (ou mais) andares
restantes...
Um fato importante é que os 4 andares restantes aparecem em um único
elevador de E1, E2, E3, o elevador que não contém o andar escolhido no
início.
Como vamos ter que repetir esses mesmos 4 andares num outro elevador caímos
num problema:
Pra cada um desses andares restantes, em dois elevadores conseguimos apenas
conectá-los a 5 + 2 = 7 andares diferentes, faltam mais 6 andares pra cada
um deles, e é impossível conectá-los com os nossos elevadores.
[ ]'s
On Wed, Jul 16, 2003 at 09:03:30PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Num prédio de apartamentos há 7 elevadores que param
em não mais que 6 andares.
É possível ir de um andar a qualquer outro sem trocar de elevador. Qual é
o
número máximo de andares que esse prédio pode ter? (RPM/IME/USP)
O problema est bem legal. Ainda nao completei uma solucao mas vou mandar
meus resultados parciais.
N = 14
De fato, temos no maximo 42 paradas (uma parada est um par (i,j) onde
i est um andar, j est um elevador, e o elevador j para no andar i).
Se N 11 devemos ter pelo menos tres paradas por andar
(pois duas paradas nos dao apenas dois elevadores que atingem
no maximo 10 outros andares). Assim 3N = 42 e N = 14.
N = 12
Basta observar a configuracao abaixo onde um + indica que o elevador
para naquele andar e um . indica que ele nao para. Os andares estao
um em cima do outro, claro, e os elevadores um ao lado do outro.
Observe que 6 elevadores foram suficientes.
+++...
+++...
+++...
+..++.
+..++.
+..++.
.+.+.+
.+.+.+
.+.+.+
..+.++
..+.++
..+.++
Eu fiz uns diagramas e me convenci que N = 13 mas a prova foi
meio bracal, no caso a caso, e pode estar errada.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ...
Nicolau,é ridícula essa sua atitude.Qualquer pessoa de bom senso sabeq tenho razão.Meu intuito não é de brigar com os inscritos,mas de conscientizar. João Paulo - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, July 17, 2003 9:45 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ... On Sun, Jul 13, 2003 at 09:19:01AM -0300, Marcelo Rufino de Oliveira wrote: Caro João Paulo,Oi Marcelo e outros,O João Paulo [EMAIL PROTECTED] foi expulso da lista por persistenteincapacidade de se comportar com um minimo de adequacao. Voce pode, claro,escrever pessoalmente para ele.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Email.it, the professional e-mail, gratis per te: clicca qui Sponsor: Vuoi un notebook potente, funzionale ideale per il lavoro? Clicca qui
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Em minha opinião o melhor software desse tipo eh o Matlab... Não sei para os Matemáticos, mas para os engenheiros com certeza é. Ele também é comercial. Existe um software chamado Scilab (livre, licensa publica GNU) que é parecido, mas não tem tantos toolkits quanto o Matlab. []s David - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, July 17, 2003 9:52 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE... On Thu, Jul 17, 2003 at 01:08:25AM -0300, Alexandre Daibert wrote: Aonde eu consigo o download deste programa aí??? q programas q tem amis bom de matemática??? alguém pode me ajudar? O maple e o mathematica sao programas comerciais e voce nao pode fazer um download gratuito legal. Existem outros programas que fazem algumas das coisas que o maple e o mathematica fazem e que podem ser obtidos gratuitamente, inclusive alguns que sao software livre (no sentido gnu). O mupad est comercial mas existe uma versao que pode ser usada legalmente sem abrir a carteira. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
