Re: [obm-l] EsaEx - Quero Passar !
Title: Re: [obm-l] EsaEx - Quero Passar ! on 15.08.03 01:07, João at [EMAIL PROTECTED] wrote: Só as curtas agora! 1) Mostre que a soma de todas as raízes da eq. Z^n - 1 = 0, no conjunto dos complexos é zero! Sejam w1, w2, , wn as raizes. Imagino que voce saiba que o polinomio z^n - 1 possa ser fatorado como: z^n - 1 = (z - w1)(z - w2)...(z - wn). Nesse caso, nao eh muito dificil ver que o coeficiente de z^(n-1) eh igual a: -(w1 + w2 + ... + wn). Mas, o coeficicente de z^(n-1) no polinomio z^n - 1 'e igual a zero. Logo... * 2) A tg do ângulo que a reta normal à curva Ax + By + Cx^2 + Dxy + Ey^2 + Fx^3 = na origem, forma com o eixo 0x é? Derivando implicitamente, obtemos: A + By' + 2Cx + Dy + Dxy' + 2Eyy' + 3Fx^2 = 0 == (B + Dx + 2Ey)y' = -(A + 2Cx + Dy + 3Fx^2). Mas o coeficiente angular da normal eh igual a -1/y' == -1/y' = (B + Dx + 2Ey)/(A + 2Cx + Dy + 3Fx^2) Tomando o valor dessa expressao na origem (0,0), teremos: (-1/y') = tangente desejada = B/A * 3) Prove que a função algébrica equivalente a 2 arctgx + arctgy = (PI)/4 é (x^2 + 2x - 1) / (x^2 - 2x - 1) Inicialmente, vamos calcular o valor de tg(2arctg(x)) = 2tg(arctg(x))/(1 - tg(arctg(x))^2) = 2x/(1 - x^2) arctg(y) = pi/4 - 2arctg(x) == y = tg(pi/4 - 2arctg(x)) = (tg(pi/4) - tg(2arctg(x))/(1 + tg(pi/4)*tg(2*arctg(x))) = = (1 - 2x/(1 - x^2))/(1 + 1*2x/(1 - x^2)) = = (1 - x^2 - 2x)/(1 - x^2 + 2x) = = (x^2 + 2x - 1)/(x^2 - 2x - 1) ** 4) As equações das assíntotas da função y = cotgh(x) são as retas... y = cotgh(x) = cosh(x)/sinh(x) = (e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x)) = = (e^(2x) + 1)/(e^(2x) - 1) = 1 + 2/(e^(2x) - 1). Para determinar as assintotas, temos que verificar o comportamento de y quando x tende a + e - infinito, e quando o denominador tende a zero (o que ocorre quando x tende a zero) Quando x -- +infinito, y -- 1 == y = 1 eh assintota Quando x -- -infinito, y -- -1 == y = -1 eh assintota Quando x -- 0+, y -- +infinito Quando x -- 0-, y -- -infinito == x = 0 eh assintota ** 5) A eq. polar do círculo que passa por P( sqrt3, 75graus ) e tem centro nas retas (teta = 45graus) e (Rô sen teta - sqrt8) é: O mais seguro eh trabalhar com coordenadas cartesianas: cos(75) = cos(45+30) = cos(45)cos(30) - sen(45)sen(30) = (raiz(6) - raiz(2))/4 sen(75) = (raiz(6) + raiz(2))/4 Logo, P = ( raiz(3)*cos(75) , raiz(3)*sen(75) ) == P = ( (3*raiz(2) - raiz(6))/4 , (3*raiz(2) + raiz(6))/4 ) Reta 1: y = x Reta 2: y = 2*raiz(2) (supondo que a equacao seja R*sen(teta) = sqrt(8) (o sinal eh de igualdade)) Interseccao das retas: C = ( 2*raiz(2) , 2*raiz(2) ) Raio^2 = (Distancia de P a C)^2 = ((5*raiz(2) + raiz(6))/4)^2 + ((5*raiz(2) - raiz(6))/4)^2 = 10*raiz(3) Equacao cartesiana da circunferencia: (x - 2*raiz(2))^2 + (y - 2*raiz(2))^2 = 10*raiz(3) x^2 + y^2 - 4*raiz(2)*(x + y) + 16 - 10*raiz(3) = 0 Equacao polar: Ro^2 - 4*raiz(2)*Ro*(cos(teta) + sen(teta)) + 16 - 10*raiz(3) = 0 == Ro^2 - 8*Ro*sen(teta + Pi/4) + 16 - 10*raiz(3) = 0. * 6) Como demonstrar a relação de Euler, sendo (i = sqrt -1) ? Imagino que a relacao e Euler seja e^(i*pi) = -1. Definicao de Exponencial Complexa == e^(i*x) = cos(x) + i*sen(x). Fazendo x = Pi == e^(i*pi) = cos(pi) + i*sen(pi) = -1 + i*0 = -1. ** 7) A reta y = ax + b é perpendicular à reta tg ao gráfico da curva y = 1/(sqrt(x^2 +1) no ponto de abscissa x = 1. Nestas condições, a + b = ? y = (x^2 + 1)^(-1/2) == y' = 2x*(-1/2)*(1+x^2)^(-3/2). == -1/y' = (1 + x^2)^(3/2)/x = tg da normal x = 1 == tg da normal = raiz(2) == y = raiz(2)*x + b (a = raiz(2)) x = 1 == y = 1/raiz(2) = raiz(2)/2 == raiz(2)/2 = raiz(2)*1 + b == b = - raiz(2)/2 == a + b = raiz(2)/2. ** 8) ESSA É BRABÍSSIMA!! De quantas maneiras diferentes se pode colocar 3 anéis em 5 dedos? Existem 3 possibilidades mutuamente exclusivas: 1) 3 aneis num mesmo dedo: 5*3! = 5*6 = 30 2) 2 aneis num dedo e 1 num outro: 5*C(3,2)*2!*4 = 5*3*2*4 = 120 3) 1 anel em cada dedo: 5*4*3 = 60 Total = 30 + 120 + 60 = 210 maneiras. * 9) Sejam X,Y,Z matrizes de 3a. ordem em que XY = Z^(-1) e Y = 3X. Se Det (Z) = 12, qual o valor de Det (X)? X*(3X) = Z^(-1) == 3*X^2 = Z^(-1) == det(3*X^2) = det(Z^(-1)) == 3^3 * det(X)^2 = 1/12 == det(X)^2 = 1/324 == det(X) = 1/18 ou det(X) = -1/18 * 10) Considere os lugares geométricos do plano cartesiano definido pelas equações: E1: (x - y)^2 + x(1 + 2y) = 7/8 e E2: x - y + m = 0 Determine, caso existam, o valor de m e as cordenadas do ponto P(x,y), de modo que P(x,y) seja a única solução para E1 INTERSEÇÂO E2 x - y = -m == x = y - m m^2 + (y - m)*(1 + 2y) = 7/8 == 2y^2 + (1 - 2m)y + m^2 - m - 7/8 = 0 e essa desigualdade eh satisfeita para um unico valor de y (ou seja, a reta tangencia a elipse) == 2y^2 + (1 - 2m)y + m^2 - m - 7/8 = 0 tem uma raiz dupla == Delta = (1 - 2m)^2 - 4*2*(m^2 - m - 7/8) = 0 == 1 - 4m + 4m^2 - 8m^2 + 8m + 7 = 0 == -4m^2 + 4m + 8 = 0 == m^2 - m - 2 = 0 == m = 2 ou m = -1. m = 2 == 2y^2 - 3y + 9/8 = 0 == y = 3/4 == x = -5/4 == P =
[obm-l] Dúvida - Combinatória
Sobre uma reta r e uma outra paralela a ela , marcam-se 13 , sendo que a maioria deles sobre r . Sabendo que a razão entre o número de quadriláteros e o número de triângulos com vértices nesses pontos é 14/11, Pergunta-se , qual é o números de pontos que estão sobre a reta r ?Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
[obm-l] estatística
Oi Pessoal! Ontem estava numa aula de estatística e fiquei encasquetado com uma pergunta. A professora colocou na lousa o enunciado: Num aeroporto, os aviões chegam seguindo o modelo de Poisson numa taxa de 1 por minuto. Pergunta-se: a) qual a probabilidade de chegarem 2 aviões num minuto qualquer? b) se o aeroporto tem capacidade para receber 2 aviões por minuto, qual a probabilidade de que algum avião fique sem atendimento? O primeiro item tudo bem, sem muitos mistérios, mas no segundo eu achei estranho como ela resolveu e gostaria que vocês tentassem resolver antes que eu mande o que ela fez pra vocês não serem influenciados. Abraços, Rafael. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida - Combinatória
Title: Re: [obm-l] Dúvida - Combinatória on 15.08.03 08:17, Celso Junior dos Santos Francisco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Sobre uma reta r e uma outra paralela a ela , marcam-se 13 , sendo que a maioria deles sobre r . Sabendo que a razão entre o número de quadriláteros e o número de triângulos com vértices nesses pontos é 14/11, Pergunta-se , qual é o números de pontos que estão sobre a reta r ? OBSERVACAO: O enunciado deveria dizer numero de quadrilateros CONVEXOS, pois dados os pontos A e B sobre r e C e D sobre a paralela (supondo as retas horizontais, B a direita de A e D a direita de C), os quadrilateros possiveis tendo estes pontos como vertices sao: ABDC (convexo), ABCD e ACBD (nao-convexos - em forma de gravata borboleta). Com essa hipotese adicional (se admitirmos quadrilateros nao convexos, o problema nao tem solucao), teremos: n pontos sobre r, 13-n sobre a paralela, com n = 7. NTri = C(n,2)*(13-n) + C(13-n,2)*n = [n(n-1)(13-n) + (13-n)(12-n)n]/2 = n(13-n)*11/2 NQua = C(n,2)*C(13-n,2) = n(n-1)(13-n)(12-n)/4 NQua/Ntri = (n(n-1)(13-n)(12-n)/4) / (11n(13-n)/2) = (n-1)(12-n)/22 = 14/11 == (n-1)(12-n) = 28 == n = 5 ou n = 8 == n = 8. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] sistemas
on 15.08.03 09:44, elton francisco ferreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: como resolvo estes sistemas x+y+z+t=0 3y+2z+4t=0 z-t=0 3x+2y+3z+t=1 2z-t=1 Use eliminacao. []'s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] sistemas
como resolvo estes sistemas x+y+z+t=0 3y+2z+4t=0 z-t=0 3x+2y+3z+t=1 2z-t=1 ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_ENQUETE_-_BELEZA_MATEMÁTICA
Exatamente isso... --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Thu, Aug 14, 2003 at 02:54:19PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: A demonstraçao que 3eu escrevi evitara este mal-entendido. Alias o Tengan me disse que este e um problema em aberto muito chato e de que ninguem conseguiu uma ideia muito esperançosa... Desculpe, mas qual exatamente é o problema em aberto? Talvez decidir se 2*3*5*...*p + 1 é primos infinitas vezes? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:_[obm-l]_ENQUETE_-_BELEZA_MATEM_ÁTICA
Isto ate que e facil mas nao sera facil a turma se acostumar com tudo isso...Eu concordo com a ideia --- Henrique_Patrício_Sant'Anna_Branco [EMAIL PROTECTED] escreveu: Por falar nisso, esta prova aparentemente induz um dos erros mais comuns. As pessoas incorretamente entendem que foi provado que 2*3*...*p + 1 é primo. Isto é falso mas o primeiro contraexemplo demora o suficiente para aparecer para convencer os mais afoitos de que sim, estes números são primos: (...) Nicolau, Foi muito válida sua observação. No caso, a primeira vez que vi essa demonstração foi no seu livro virtual, sobre primos de Mersenne e outros primos muito grandes. Lá você cita isso também, com esses contra-exemplos. Como você cita lá: Não existe nenhuma fórmula simples conhecida que gere sempre números primos. Aproveitando a mensagem, não quero causar nenhum tipo de polêmica, mas acho que os participantes da lista deviam tomar mais cuidado com certas sutilezas em seus e-mails. Por exemplo, tentem diminuir a linha de Assunto. Como ilustração, a mensagem ENQUETE - BELEZA MATEMÁTICA, depois de sucessivos replys, virou Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Re:_[obm-l]_ENQUETE_-_BELEZA_MATEMÁTICA, com esses tantos Re: [obm-l] repetidos. Tentem também dar uma chance aos expoentes fracionários ao invés de usar os próprios sinais de fraçao. Raiz cubica de 2 pode ser escrita como 2^(1/3). Para facilitar a visualização. São apenas sugestões para tornar a leitura dos e-mails mais simples. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PROBLEMAS NA CAIXA DE E-MAIL
Olá pessoal, tudo bem! Estive fora do ar por alguns dias e devo ter perdido muita coisa interessante, como por exemplo: o tiro de misericórdia no enigma da escolha racional entre as duas opções, cuja resposta correta, ou melhor, a resposta que consta no livro TEORIA DA DECISÃO - HOWARD RAIFFA, é a inacreditável escolha da Opção 1 (PASMEM!). Gostaria muito da ajuda de vocês no probleminha abaixo: Uma revista afirma que a média de carros por família assinante é 1,2. Se 20% das famílias assinantes não têm carro, qual é o número médio de carros, por família, das famílias que têm um ou mais carros? Um abraço e desculpem o transtorno das mensagens devolvidas! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Limite fund.
O limite com n a infinito de (1+1/n)^n=e. Resolvendo um exercicio, vi a seguinte afirmacao: lim(1+k/n)^n=e^k. comn no inf. Isso e verdade Alguem tem uma dem. disso ?
Re: [obm-l] Limite fund.
Em 16/8/2003, 00:37, Luiz ([EMAIL PROTECTED]) disse: lim(1+k/n)^n=e^k. com n no inf. Isso e verdade Alguem tem uma dem. disso ? k/n = 1/a = n = ka lim[n-inf] (1 + k/n)^n lim[a-inf] (1 + 1/a)^(ka) lim[a-inf] ((1 + 1/a)^a)^k) = e^k Ateh Igor GomeZZ ICQ#: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 16/8/2003 (01:22) # Pare para pensar: Se A é o sucesso, então A é igual a X mais Y mais Z. O trabalho é X; Y é o lazer; e Z é manter a boca fechada. (Albert Einstein) # = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite fund.
Oi Luiz Ricardo.
Vamos supor que você já sabe que lim{ (1 + 1/n)^n }
= e quando n tende ao infinito. Aqui estou considerando este limite sendo tomado
no sentido da função real n - (1 + 1/n)^n e não no sentido daseqüência
de números reais (a_n) onde a_n = (1 + 1/n)^n para n= 1, 2, 3, ... Agora
considere a função n - (1 + k/n)^n = ((1 + k/n)^(n/k))^k. Voce sabe que
quando n tende ao infinito, também tende n/k, de forma que lim { (1 + k/n)^(n/k)
} = e quando n tende ao infinito. Logo o limite que você está tentando calcular
é e^k.
Espero que esta resposta lhe
satisfaça.
Abraço,
Duda.
- Original Message -
From:
Luiz
Ricardo Delgado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, August 16, 2003 12:37
AM
Subject: [obm-l] Limite fund.
O limite com n a infinito de
(1+1/n)^n=e.
Resolvendo um exercicio, vi a seguinte
afirmacao:
lim(1+k/n)^n=e^k. comn no inf. Isso e
verdade
Alguem tem uma dem. disso
?
