Re: [obm-l] Valores de aderencia
Oi, Artur e Will: Eu acho que a sequencia tg(n) acaba acaindo num caso muito similar aaquele que abordei ontem. Eh periodica, com periodo minimo irracional PI; Eh continua em todo seu dominio, que eh o R exceto os pontos da forma k*PI+PI/2, k inteiro. Os argumentos que dei ontem creio que provam que tg(n) eh densa em R. Concordo. A tangente so nao eh definida em um subconjunto numeravel de R, ou seja, eh definida e continua em quase todo o R, pois conjuntos numeraveis tem medida zero. Se nos pontos da forma k*PI+PI/2 definissemos a tangente no que quer que fosse, teriamos uma funcao definida em todo o R, descontinua nestes pontos e, para nosos objetivos, nada se alteraria. Estah me parecendo que talvez seja importante que a funcao seja continua em quase todo o R. (isto eh, so eh descontinua - ou nao definida - em um subconjunto de medida nula) Acho que nao. Veja abaixo. Aqui nao posso ir muito longe, nao domino a teoria de medidas. (Eh um assunto lindo, jah tentei avancar mas nunca acho tempo). Tambem acho que nao precisa chegar a tanto. No exemplo que o Will deu, f(x) = cos(x), x irrac, f(x) =1 se x = rac., f gera exatamente a sequencia cos(n), densa em [-1,1]. Esta funcao que ele deu soh nao eh continua em um conjunto numeravel, logo de medida zero. De fato, o exemplo do Will foi o oposto: f(x) = cos(x), x racional f(x) = 1, x irracional f(x) gera a sequencia cos(n) e soh eh continua nos pontos da forma x = 2*k*Pi (onde cos(x) = 1) , k inteiro, ou seja eh descontinua em quase todo ponto. Soh que f nao eh uma sobrejecao em [-1,1], afinal quem eh f^(-1)(1/2), por exemplo. Por outro lado, definindo: f(x) = 0, para x = 2*m*Pi, m inteiro; f(x) = 1, para x = n*Pi + Pi/2, n inteiro, f(x) = cos(x) para x racional nao nulo; f(x) = -cos(x) para x irracional diferente de 2*m*Pi e de (n*Pi + Pi/2), m, n inteiros, obtemos uma sobrejecao em [-1,1] que gera cos(n), eh descontinua em todo ponto e cuja imagem inversa de cada ponto de [-1,1] eh um conjunto infinito. O fato de f ser limitada nao eh mesmo relevante. Se, entretanto, f for continua e periodica em R, entao f eh automaticamente limitada e uniformemente continua em R. Abracos Artur Meus chutes... (1) deve ser irrelevante e tg(x) talvez seja um bom exemplo disso (3) deve ser irrelevante, já que posso definir f(x) = cos(x) se x é racional e f(x)=1 se x é irracional me parece que os resultados ainda valem. (4)Acho que basta que ela seja uma sobrejeção em um subconjunto enumerável denso num intervalo contendo o limite. E ainda deve ser necessário que, dado um x arbitrariamente grande, exista a sobrejeção do intervalo [x,infinito] no subconjunto da forma descrita acima. Ponto interessante. Pra mim faz sentido. Ok, fui tremendamente impreciso e chutei com toda força, mas não pude resistir :-) Aguardo as pedradas Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, September 18, 2003 7:52 PM Subject: [obm-l] Valores de aderencia Oi, pessoal: Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer ponto no intervalo [-1,1]. Pergunta: O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar sequencias com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao? Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas: 1) Ela eh limitada; 2) Ela eh periodica de periodo irracional; 3) Ela eh continua; 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1]. O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh uma condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh uma sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero. Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Revista do professor de matemática.
1)Certo dia, a relação entre cotações de um grama de ouro e um dolar era de 1 para 12. A partir daí, houve um aumento de 20% no preço do dolar e de 40% no preço do grama de ouro. A nova cotação é de 1 grama de ouro para?? Pra mim é de 1 para 24, mas a resposta pelo gabarito não está batendo... Para que fique mais claro, suponha que, no dia inicial, 1 US$ valesse x R$. Logo, 1 grama de ouro valia 12 x reais. Após os aumentos, 1 US$ passou a valer 1,2x R$ e 1 grama de ouro passou a valer 12x* 1,4 R$. Logo, para comprar um grama de ouro precisa-se agora de (12*1,4 x)/(1,2*x) = 12*1,4/12 = 14 US$. A relaçao eh agora de 1 para 14. Nao eh mesmo 1 para 24. Estes problemas que envolvem porcentagens exigem atencao para se evitar enganos. Na epoca da inflacao galopante, houve periodos em que a inflacao acumulada chegou a 100% sem que tivesse havido qualquer reajuste salarial.Era entao comum ouvir-se dizer que a perda salarial era de 100%. Felizmente, nao chegava a tanto, ou estariamos trabalhando literalmente de graca. As perdas eram, na realidade, de 50% - o que jah era catastrofico. 100% era quanto os salarios deveriam ser reajustados para recuperar o poder aquisitivo. O outro problema, eu penso depois. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Foi mal galera. Como várias pessoas da lista já comentaram, a solução que eu mandei para esse problema está errada. Inclusive, eu acho que vai ser difícil de fazer essa sem o postulado de Bertrand. É só dar uma olhada nessas fatorações dos n!, que vou digitar agora. Tem vários casos onde só os últimos primos tem expoentes ímpares. E para garantir que existem esses últimos primos só com o postulado de Bertrand. Mesmo a observação do Will não salva, pois toda hora o 2 está com potência par 1, 1 2, (2) 3, (2) (3) 3 4, (2) (3) 3 5, (2) (3) (5) 42 6, (2) (3) (5) 42 7, (2) (3) (5) (7) 72 8, (2) (3) (5) (7) 74 9, (2) (3) (5) (7) 842 10, (2) (3) (5) (7) 842 11, (2) (3) (5) (7) (11) 1052 12, (2) (3) (5) (7) (11) 1052 13, (2) (3) (5) (7) (11) (13) 11522 14, (2) (3) (5) (7) (11) (13) 11632 15, (2) (3) (5) (7) (11) (13) 15632 16, (2) (3) (5) (7) (11) (13) 15632 17, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) 16832 18, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) 16832 19, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) 18842 20, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) 18943 21, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) 19943 2 22, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) 19943 2 23, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 221043 2 24, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 221063 2 25, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 231063 2 2 26, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 231363 2 2 27, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 251364 2 2 28, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 251364 2 2 29, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) 261474 2 2 30, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) 261474 2 2 31, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 311474 2 2 32, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 311574 3 2 33, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 321574 3 2 2 34, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 321585 3 2 2 35, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 341785 3 2 2 36, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 341785 3 2 2 37, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) (37) 351785 3 2 2 2 38, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) (37) 351885 3 3 2 2 39, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) (37) 381895 3 3 2 2 40, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) (37) abraço -Eduardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de aderencia
Oi amigos, Existe um troco chamado teorema da equidistribuicao de Weyl, que diz o seguinte: Se uma sequencia a_n em [0,1] por exemplo, satisfizer uma serie de relacoes, entao ela eh equidistribuida. Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1]. Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve satisfazer. Eh claro que dizer que uma seq. eh equidistribuida eh muito mais forte que dizer que ela eh densa. Um abraco, Salvador On Thu, 18 Sep 2003, Claudio Buffara wrote: Oi, pessoal: Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer ponto no intervalo [-1,1]. Pergunta: O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar sequencias com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao? Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas: 1) Ela eh limitada; 2) Ela eh periodica de periodo irracional; 3) Ela eh continua; 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1]. O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh uma condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh uma sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero. Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de aderencia
Oi Claudio e Will. O exemplo do Will foi de fato o contrario do que eu falei. Sem duvida, a f dele eh continua nos numeros da forma k*PI e descontinua en todos os demais. Mas um ponto importante e que esta funcao gera a sequencia (cos(n)). Acho que podemos afirmar o seguinte: Seja f uma funcao tal que, para todo inteiro n, f(n) = g(n), onde g eh uma funcao periodica em R, com periodo minimo irracional, e continua em quase todo o R. Temos entao que o conjunto dos pontos de aderencia da sequencia (f(n)) eh o intervalo [m, M], onde me M sao os valores minimo e maximo, no conjunto dos reais expandidos, que g assume em R. Abracos Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de aderencia
Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1]. Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve satisfazer. Eu gostaria. Abracos OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sequência Equidistribuída
Oi, Salvador: Esse teorema é bem interessante. Acho que ele está relacionado ao seguinte fato: Na sequência x(n) = 2^n, a probabilidade do algarismo da esquerda da representação decimal de x(n) ser igual a k (1=k=9) é igual a log_10((k+1)/k). Ou seja, nessa sequência, pouco mais de 30% dos termos começam com o algarismo 1. Por outro lado, menos de 5% deles começam com 9. Essa é a tal lei de Benford. Claro que, como log_10(2) é irracional, a sequência y(n) = log_10(x(n)) mod 1 = n*log_10(2) mod 1 é equidistribuida. Será que x(n) = cos(n) é equidistribuída? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, September 19, 2003 11:56 AM Subject: Re: [obm-l] Valores de aderencia Oi amigos, Existe um troco chamado teorema da equidistribuicao de Weyl, que diz o seguinte: Se uma sequencia a_n em [0,1] por exemplo, satisfizer uma serie de relacoes, entao ela eh equidistribuida. Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1]. Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve satisfazer. Eh claro que dizer que uma seq. eh equidistribuida eh muito mais forte que dizer que ela eh densa. Um abraco, Salvador On Thu, 18 Sep 2003, Claudio Buffara wrote: Oi, pessoal: Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer ponto no intervalo [-1,1]. Pergunta: O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar sequencias com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao? Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas: 1) Ela eh limitada; 2) Ela eh periodica de periodo irracional; 3) Ela eh continua; 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1]. O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh uma condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh uma sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero. Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de aderencia de cos(n)
Oi, Artur:
De fato, a continuidade da função cosseno é essencial (pelo menos na
demonstração que eu obtive).
Acho que dá pra provar o seguinte:
Seja X contido em R tal que X contém todos os inteiros positivos.
Seja f: R - R uma função contínua, par (f(-x) = f(x)) e periódica com
período irracional.
Então, a sequência (f(n)) tem subsequências que convergem para qualquer
ponto de f(R).
Seja p = período de f. Como p é irracional, A = {r + s*p; r,s: inteiros} é
denso em R e tal que, para cada inteiro positivo n, existem inteiros r(n)
e s(n) tais que:
0 | r(n) + s(n)*p | 1/n.
Tomemos b em f(R).
Seja a em R tal que f(a) = b.
Para cada n, tomamos um ponto z(n) do conjunto:
A inter ( a -1/n , a + 1/n )
(o qual é sempre não-vazio já que A é denso em R).
Obtemos assim uma sequencia z(n) de pontos de A que converge para a.
Seja z(n) = r(n) + s(n)*p, onde r(n) e s(n) são inteiros.
Temos que f(z(n)) = f(r(n) + s(n)*p) = f(r(n)) = f(|r(n)|).
Como z(n) - a e f é contínua, temos que f(z(n)) = f(|r(n)|) - f(a) = b.
Agora, basta tomar uma subsequência não-decrescente |r(n_i)| da sequência
|r(n)|.
|r(n_i)| também será uma subsequencia não-decrescente da sequência y(n) = n
==
f(|r(n_i)|) será uma subsequência de (f(n)) que converge para b.
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Re: [obm-l] Valores de aderencia de cos(n)
On Fri, Sep 19, 2003 at 04:01:56PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Seja f: R - R uma função contínua, par (f(-x) = f(x)) e periódica com período irracional. Então, a sequência (f(n)) tem subsequências que convergem para qualquer ponto de f(R). Sim, e também é verdade que as seqs f(p(n)) tem imagem densa em f(R) se p é um polinômio não constante de coeficientes inteiros. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de aderencia
On Fri, Sep 19, 2003 at 01:08:22PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que
quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1].
Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve
satisfazer.
Eu gostaria.
Eu sei provar que cos(n^2) é denso em [0,1] e tem tudo a ver
com distribuição uniforme.
Definimos um arco em S1 da maneira usual (um subconjunto próprio não
vazio e conexo de S1) e chamamos o comprimento de um arco A de l(A).
Dada uma seqüência a_n de pontos do círculo unitário complexo S^1
e um arco A definimos m(A) = lim inf #{k, k n, a_k in A}/n
e M(A) = lim sup
Dizemos que a seqüência é uniformemente distribuída se para qualquer
arco A temos m(A) = M(A) = l(A)/(2*pi).
Uma caracterização equivalente é a seguinte:
para todo m inteiro positivo o limite
lim_n (1/n) * soma_{k n} a_k^m
deve existir e ser igual a 0.
É fácil ver que as seqüências a_n = z^n são uniformemente distribuídas
se z = exp(2*pi*i*t), t irracional.
O resultado importante é o seguinte. Para cada k defina uma seqüência
auxiliar b_n = a_{n+k}/a_n; se para todo k estas seqüências forem
uniformemente distribuídas então a seq original a_n também é.
Usando este teorema e indução é fácil provar por indução que seqs da forma
a_n = z^{p(n)}, p um polinômio não constante de coeficientes inteiros,
são uniformemente distribuídas e em particular tem imagem densa em S^1.
A afirmação com cos(n^2) é caso particular.
[]s, N.
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[obm-l] Sequencias-questao 6 OBMU
Oi turma!!!Alguem sabe como obter a formula fechada para aquele problema 6 da OBMU, sem usar induçao,como na oficial,mais ou menos como series formais? Falando nisso, apesar de eu ser ainda nivel 3 achei a prova do nivel U o maximo!!!As questoes 1,2 e 5 poderiam cair no nivel tres e eram bem legais.A do polinomio estava otima! E entao,o que voces acham? -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Colorir grafo
Um probleminha pra vocês: Construa um grafo G = (V, E) completo (todos par de vértices é conectado por uma aresta) de 2^n vértices e pinte as arestas deste usando n cores de forma que não exista um triângulo monocromático (ie: u, v, w pert. V, cor(u, v) = cor(v, w) = cor(u, w)). Depois eu posto a minha solução! [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PRINCIPIO DA VANTAGEM COMPARATIVA
Olá, Pessoal! Um problema econômico elucidado através da matemática pura. OK! Suponha que o pecuarista e o agricultor trabalham, cada um, 40 horas semanais e podem dedicar seu tempo à criação de gado, ao cultivo de batatas ou a uma combinação das duas atividades. O agricultor pode produzir 1 kg de batatas em 10 horas e 1 kg de carne em 20 horas. O pecuarista, que é mais produtivo em ambas as atividades, pode produzir 1 kg de batatas em 8 horas e 1 kg de carne em 1 hora. Qual a estratégia para os dois obterem maiores ganhos de comércio? Como primeiro passo, quem pode produzir batatas a um custo menor - o pecuarista ou o agricultor? Há duas respostas possíveis, e é nestas duas respostas que estão tanto a solução do enigma quanto a chave para entender os ganhos de comércio. (COPPEAD/UFRJ) Bom final de semana! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequência Equidistribuída
Oi Claudio,
Nao e' nao. De fato, n (mod 2.pi) e' uniformemente distribuida em
[0,2.pi], e isso implica que cos(n) e' distribuido em [-1,1] de acordo com a
imagem da medida de Lebesgue normalizada em [0,pi] pela funcao cos(x), ou
seja, a probabilidade de termos -1=a=cos(n)=b=1 e'
(arccos(a)-arccos(b))/pi. Falando nisso ha' um teorema segundo o qual se
P(x) e' um polinomio com algum coeficiente nao-constante irracional entao
({P(n)}),n natural e' uniformemente distribuida em [0,1]. Em particular n^2
(mod 2.pi) e' uniformemente distribuida em [0,2.pi] (compare com
(n/2.pi)^2, que e' uniformemente distribuida em [0,1]). Isso implicva a sua
conjectura sobre essa sequencia com cos(n^2), nao ?
Abracos,
Gugu
Oi, Salvador:
Esse teorema é bem interessante.
Acho que ele está relacionado ao seguinte fato:
Na sequência x(n) = 2^n, a probabilidade do algarismo da esquerda da
representação decimal de x(n) ser igual a k (1=k=9) é igual a
log_10((k+1)/k). Ou seja, nessa sequência, pouco mais de 30% dos termos
começam com o algarismo 1. Por outro lado, menos de 5% deles começam com
9. Essa é a tal lei de Benford.
Claro que, como log_10(2) é irracional, a sequência y(n) = log_10(x(n)) mod
1 = n*log_10(2) mod 1 é equidistribuida.
Será que x(n) = cos(n) é equidistribuída?
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED]
To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, September 19, 2003 11:56 AM
Subject: Re: [obm-l] Valores de aderencia
Oi amigos,
Existe um troco chamado teorema da equidistribuicao de Weyl, que diz o
seguinte: Se uma sequencia a_n em [0,1] por exemplo, satisfizer uma serie
de relacoes, entao ela eh equidistribuida.
Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que
quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1].
Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve
satisfazer. Eh claro que dizer que uma seq. eh equidistribuida eh muito
mais forte que dizer que ela eh densa.
Um abraco,
Salvador
On Thu, 18 Sep 2003, Claudio Buffara wrote:
Oi, pessoal:
Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer
ponto no intervalo [-1,1].
Pergunta:
O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou
seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar
sequencias
com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao?
Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas:
1) Ela eh limitada;
2) Ela eh periodica de periodo irracional;
3) Ela eh continua;
4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1].
O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao
suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem
subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh
uma
condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh
uma
sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero.
Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Pontuaçao por países na Ibero 2003
Oi pessoal, O Morgado acabou de mandar as medalhas da equipe da Ibero, e eu complemento com a soma dos pontos de cada país: ARG 151 BRA 146 COL 130 MEX 127 []s do Fábio, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] triangulo
1)No triângulo ABC, se o ângulo A é obtuso(respct. agudo) então a área do quadrado construido sobre o lado BC é maior (respec. menor) do que a soma das áreas do quadrado construídos sobre os lados AB e AC. Conclua daí a recíproca do Teorema de Pitágoras. 2)Sejam A,B,C e D vértices consecutivos de um polígono com n lados. Pelo ponto B, trace uma paralela à diagonal AC. Seja E a interseção dessa paralela com o prolongamento do lado DC. Suubstitua os lados AB, BC e CD por AE e ED. Mostre que assim se obtém um polígono de n-1 lados, de mesma área que o anterior. Prossiga, até concluir que se pode construir geometricamente um triângulo com mesma área que um polígono convexo dado. ë isso. Edu
Re: [obm-l] Resultados da Ibero 2003
Parabens a todos, especialmente Fabio e Alex que gabaritaram a prova (o ponto que la banquita tirou do Alex na no. 2 deve ter sido soh pra nao ter 2 brasileiros com nota maxima - aposto que o Morgado quase bateu em algum hermano porte~no por causa disso - sou bairrista, sim, e dai?...) Um abraco, Claudio. on 18.09.03 19:59, Fábio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal, Já saíram os resultados da Ibero 2003: Aluno Problema 1 2 3 4 5 6 Total BRA1 (Alex) 7 6 7 7 7 7 41 BRA2 (Davi) 5 7 6 2 7 7 34 BRA3 (Fábio)7 7 7 7 7 7 42 BRA4 (Samuel) 7 7 0 5 7 3 29 Vocês podem ver a prova em http://www.campus-oei.org/oim/xviiioim.htm []s do Alex, Davi, Fábio, Samuel, Morgado e Luzinalva, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
