[obm-l] RE: [obm-l] [u] - Espaços Top.
Oi Duda,
Em espacos topologicos gerais, as duas condicoes nao sao equivalentes.
Eh verdade que, se um espaco topologico tem uma base numeravel, entao
ele eh separavel; a reciproca, porem, nao eh verdadeira.
Em espacos topologicos metrizaveis, entretanto, as duas condicoes sao de
fato equivalentes.
Para vermos que a primeira condicao acarreta a segunda, seja {B_n} uma
base enumeravel de X. Em cada B_n nao vazio, escolhamos um elemento a_n
(recorrendo ao nosso controverso mas bem vindo amigo Axioma da
Escolha!). Sendo A o conjunto dos a_n, temos imediatamente que A eh
numeravel. Para todo x em X, existe uma vizinhanca basica B_n que contem
x. E como B_n contem a_n, segue-se que B_n intersecta A. Logo, o fecho
de A eh o proprio X, o que nos mostra que X contem um subconjunto denso
e numeravel. Concluimos portanto que X eh separavel.
Suponhamos agora que X seja um espaco metrico separavel, com metrica d,
e seja A um subconjunto denso e numeravel do mesmo. Consideremos a
colecao B das bolas abertas de centros nos elementos de A e raios
racionais. Temos entao que B eh numeravel. Se V eh um subconjunto aberto
nao vazio de X e v pertence a V, entao existe uma bola aberta B_v, de
centro em v e raio r, contida em V. Como A eh denso em X, existe um
elemento a em A tal que d(a,v)r/2. Se s eh um racional satisfazendo a
d(a,v)sr/2 (este racional s certamente existe), entao a bola aberta
B_a, de centro em a e raio s, contem v e estah contida em B_a V. Como
B_a eh um membro de B, concluimos que B eh uma base para X, pois todo
aberto de X eh dado pela uniao de membros de B.
Logo, no caso de espacos metricos -e, portanto, de espacos topologicos
metrizaveis - as duas condicoes sao equivalentes.
Uma outra conclusao valida em todo espaco topologico X que tenha uma
base numeravel eh que toda cobertura aberta de X contem uma
sub-cobertura numeravel.
Um abraco
Artur
Olá pessoal!
Seja X um conjunto e T uma coleção de subconjuntos de X que é uma
topologia,
isto é:
1) vazio e X estão em T
2) a unição de uma coleção de elementos de T ainda está em T
3) a interseção de uma coleção finita de elementos de T está em T.
Dizemos que a topologia T tem uma base B se a coleção de todas as
unições
possíveis em B recupera (é igual a) T. Dizemos que T é uma topologia
separável se existe D enumerável, subconjunto de X, tal que todo
elemento de
T tem interseção não-vazia com D.
Minha pergunta.
Ser espaço topológico (X,T) separável é equivalente a ter uma base B
enumerável?
Abração a todos!
Duda.
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[obm-l] Divisores de n
on 11.10.03 19:37, Marcelo Souza at [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar O numero natural n tem seus divisores x1,x2,x3...,xk ordenados de forma que x1x2x3...xk. Ache todos os n tq x5^2+x6^2-1=n []'s Alguem fez algum progresso no problema acima? O maximo que eu descobri foi: 1) mdc(x5,x6) = 1: Se p eh um primo que divide x5 e x6, entao p divide x5^2 + x6^2 = n+1. Mas p tambem divide n. Logo, p divide 1 == contradicao. 2) x5 = raiz(n/2) raiz((n+1)/2) = x6: x5 x6 == x5^2 x6^2 == n+1 = x5^2 + x6^2 2*x6^2 == 2*x6^2 = n+2 == x6 = raiz((n+1)/2). Tambem 2*x5^2 n+1 == 2*x5^2 = n == x5 = raiz(n/2). Tambem fiz umas continhas e descobri que: x5*x6 | n = x5^2 + x6^2 - 1 = (x5 + x6)^2 - 2*x5*x6 - 1 == x5*x6 | (x5 + x6)^2 - 1 = (x5 + x6 + 1)*(x5 + x6 - 1) Talvez saia alguma coisa disso ai, mas nao tenho muita certeza. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mecanica Quantica
Ola a Todos, Quem quiser ver uma excelente introducao ao formalismo da Mecanica Quantica, inclusive com uma breve ( porem clara ) exposicao dos seus fundamentos matematicos ( espacos de Hilbert ) e as discussões associadas a estes fundamentos, olhe em : http://www.ifi.unicamp.br/tesesonline/teses/IF671.pdf De maneira geral, ha teses muito boas ali. Talvez seja necessário fazer um cadastramento previo. No trabalho especifico que estou indicando, há uma obordagem bastante lucida do Teorema de Bell. Ali voce tambem vai poder verificar que a base Matematica para se entender a Mecanica Quantica de forma alguma e dificil, resumindo-se, em ultima analise, as Espacos de Hilbert ( Espacos Vetorias com produto interno completo em relacao a norma ) Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,1132,141103 OBS : O Teorema de Bell e uma das maiores conquistas humanas do seculo passado e a sua compreensao basicamente não exige conhecimento previo algum. Qualquer pessoa pode entende-lo. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Máximo
Olá a todos, Gostaria de uma sugestão... Até Bruno " Seja x, y números reais e (x^2) + 3xy + (y^2) = 60 Qual o valor máximo de xy ?
Re: [obm-l] Máximo
Title: Re: [obm-l] Máximo on 14.11.03 17:19, Bruno Souza at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá a todos, Gostaria de uma sugestão... Até Bruno Seja x, y números reais e (x^2) + 3xy + (y^2) = 60 Qual o valor máximo de xy ? Inicialmente repare que o maximo eh atingido com x 0 e y 0 ou com x 0 e y 0. Caso contrario xy seria negativo e nao-maximo, pois xy = 0 pode ser obtido com x = raiz(60) e y = 0, por exemplo. Assim, podemos supor x e y ambos positivos. Agora re-escreva a equacao como: xy = 60 - (x+y)^2 e depois use MA = MG: (x+y)/2 = raiz(xy) == (x+y)^2 = 4xy == 60 - (x+y)^2 = 60 - 4xy == xy = 60 - 4xy == xy = 12 Assim, o valor maximo de xy eh 12, que ocorre para: x = y = 2*raiz(3) ou x = y = -2*raiz(3). Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Divisores de n
eu provei q não existe nenhum n q satisfaz estas condições, mas ficou extremamente trabalhoso e por isso não vou colocar aqui. É possivel q exista algum erro na minha demostração, até pq eu não me dei ao trabalho de conferir todas as passagens, mas a ideia foi a seguinte: x5|n = x5 |x6^2 -1 = (x6 +1)(x6-1) (1) x6|n = x6 |x5^2 -1 = (x5 +1)(x5-1) (2) a ideia é levantar hipoteses tais como: x6 é primo, logo x6 = x5+1 , comm umas contas chega-se q é impossivel, pois se x5 seria par, então n seria par, e por consequencia 4|n , pois x6^2 = 1(mod4) logo n= x5^2 + x6^2 -1 é divisivel por 4. analizando x1=1, x2=2, e x3 ou x4 é 4... fazend0o mais algumas analizes baseado em (1) e (2), acaba-se chegando a uma impossibilidade... bom, depois vc levanta a hipotese de x5 ser primo e acaba chegando tb numa impossibilidade. então vc tem q x5 e x6 são compostos, e além disso (x5,x6)=1, e fazendo mais algumas análizes vemos q é impossível. obs: essas analizes está baseada sempre nos 7 primeiros divisores de n). espero q isso te leve a resposta, eu sinceramente não estou disposto a refazer ou conferir os procedimentos. __ Do you Yahoo!? Protect your identity with Yahoo! Mail AddressGuard http://antispam.yahoo.com/whatsnewfree = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] funcoes geradoras
Onde posso encontrar um material sobre FUNCOES GERATIVAS? Pelo carater urgente da situacao, preciso de um material basicamente sobre isso. Obrigado pela compreensão. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] COMO GANHAR AMIGOS SEM ENGANAR PESSOAS!
Valeu! Nicolau, Eduardo, Daniel e demais colegas, Boa Noite! Oi! Giselle, o Livro Testes com Números e de Habilidade Mental - Siegfried Moser - EDIOURO está com a edição esgotada, mas caso não encontre nos SEBOS, tenho um disponível para empréstimo e por tempo indeterminado, pois acredito nas pessoas de boa vontade. Quanto ao probleminha do Ali-Babá, vejam a engenhosa resolução enviada à punho pela Profa. Leda Maria Paulani, Doutora em Economia (FEA-USP) e ganhadora do Prêmio USP de Excelência Acadêmica pela sua tese de doutoramento Do Conceito de Dinheiro e do Dinheiro como Conceito. Suponha que B abre seu envelope e encontra $20. Ele raciocina da seguinte maneira: as probabilidades de que A tem $10 ou $40 são iguais. Portanto, minha expectativa de retorno se eu trocar envelopes é (10+40)/2=$25$20. Para apostas com tão pouco em jogo, o risco é irrelevante, de modo que trocar é interessante para mim. Seguindo raciocínio similar, A quererá trocar independentemente de encontrar em seu envelope $10 (já que ela calcula que no envelope de B haverá $5 ou $20, o que resulta numa média de $12,50) ou $40(já que ela calcula que no envelope de B haverá $20 ou $80, o que resulta numa média de $50). Há porém, alguma coisa errada. As duas partes não podem ficar em situação melhor se trocarem os envelopes, já que a troca em si não faz com que cresça a importância em dinheiro. Qual é o raciocínio incorreto? A e/ou B devem propor a troca de envelopes? Uma troca jamais deveria acontecer se ambos, A e B, fossem racionais e acreditassem que o outro também o fosse. A falha na linha de raciocínio está na suposição de que a disposição para troca da outra pessoa não revela qualquer informação. Resolvemos o problema examinando cada vez mais profundamente o que cada lado pensa sobre o processo de pensamento do outro. Tomemos inicialmente a visão que B tem do pensamento de A. A seguir, usamos o mesmo processo, agora da perspectiva de B, para imaginar o que A poderia estar pensando sobre ele. Finalmente, voltamos a A e consideramos o que ela deveria pensar acerca dos pensamentos que B tem sobre os pensamentos que A tem sobre B. Na verdade, isto tudo parece muito mais complicado do que realmente é. Usando este exemplo, fica mais fácil acompanhar as várias etapas. Suponha que A abre seu envelope e encontra $160. Neste caso, ela sabe que tem a maior importância e, portanto, não deseja participar de uma troca. Como A não quer trocar quando tem $160, B deve recusar-se a trocar quando tem $80, pois sabe que A só estaria disposta a fazer a troca se tivesse $40, caso em que seria melhor para B ficar com seus $80 originais. Se B não quer, porém, trocar quando tem $80, A não deveria querer trocar quando tem $40, já que, neste caso, B só quereria trocar se tivesse $20. Chegamos finalmente à situação concreta de nosso exemplo. Se A não quer trocar os envelopes quando tem $40, nada se ganhará na troca se B encontrar $20 em seu envelope; ele não vai querer trocar seus $20 por $10. A única pessoa disposta a fazer a troca seria a que encontrasse $5 em seu envelope, mas, é claro, a outra não aceitaria a proposta. Um Abraço e Bom Final de Semana para todos! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Integral
Pessoal, Dando uma olhada no livro Um Curso de Cálculo, Vol.3 do Guidorizzi, ele mostrava o cálculo da integral de e^(-x^2), de -infinito a +infinito. Logo no começo do cálculo, ele faz I(r) = int e^(-x^2) dx de r a -r = int e^(-y^2) dy de r a -r Não entendi direito essa passagem, ele simplesmente troca o x por y? Alguém sabe explicar? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] demonstração
Esta questão é simplesmente maravilhosa, mas sua solução é muito grande, muito grande mesmo. Vou fazer um resumo da solução, tente demonstrar tudo que eu deixar indicado. 1) Prove, utilizando Pitágoras, que as distâncias entre os pontos de contatos das circunferências menores e do incírculo de ABC, sobre cada um dos lados do triângulo, são iguais a 2(r1.r)^1/2, 2(r2.r)^1/2 e 2(r3.r)^1/2. 2) Prove, utilizando semelhança de triângulos e os valores calculados em 1), que as distâncias dos pontos de contato do incírculo de ABC aos vértices de ABC, sobre cado lado, são iguais a: p - a = [2(r1.r)^1/2]/[r - r1], p - b = [2(r2.r)^1/2]/[r - r2] e p - c = [2(r3.r)^1/2]/[r - r3] 3) Observe que o semi-perímetro de ABC é igual a soma dos valores de 2); 4) Utilize a expressão da área de ABC por Hieron da forma p^2r^2 = p(p - a)(p - b)(p - c) para determinar uma equação de segundo grau (gigantesca!!!) em r. Uma das soluções é r = (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2 + (r3.r1)^1/2 Espero ter ajudado. Como disse anteriormente, a solução completa desta questão é imensa. Como curiosidade, esta questão (com valores numéricos para r1, r2 e r3) está na shortlist da IMO de 1984. Você pode conferir em http://www.kalva.demon.co.uk/short/sh84.html, questão 18. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira From: thais [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] demonstração Date: Fri, 14 Nov 2003 16:32:25 -0600 Não consigo resolver essa questão, se alguem puder me ajudar ... - Em um triângulo ABC, inscreve-se um círculo cujo raio é r. Entre esse círculo e os lados do triângulo, inscrevem-se três outros círculos cujos raios são r1, r2 e r3. Demonstrar a relação: (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2 + (r3.r1)^1/2 = r *** ( )^1/2 = raiz quadrada - Email Accounts for Dancers at http://www.danceart.com Dance with us at DanceArt.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisores de n
on 14.11.03 19:54, frança luiz at [EMAIL PROTECTED] wrote: eu provei q n?o existe nenhum n q satisfaz estas condi??es, mas ficou extremamente trabalhoso e por isso n?o vou colocar aqui. ? possivel q exista algum erro na minha demostra??o, at? pq eu n?o me dei ao trabalho de conferir todas as passagens, mas a ideia foi a seguinte: x5|n = x5 |x6^2 -1 = (x6 +1)(x6-1) (1) x6|n = x6 |x5^2 -1 = (x5 +1)(x5-1) (2) a ideia ? levantar hipoteses tais como: x6 ? primo, logo x6 = x5+1 , comm umas contas chega-se q ? impossivel, pois se x5 seria par, ent?o n seria par, e por consequencia 4|n , pois x6^2 = 1(mod4) logo n= x5^2 + x6^2 -1 ? divisivel por 4. analizando x1=1, x2=2, e x3 ou x4 ? 4... fazend0o mais algumas analizes baseado em (1) e (2), acaba-se chegando a uma impossibilidade... bom, depois vc levanta a hipotese de x5 ser primo e acaba chegando tb numa impossibilidade. ent?o vc tem q x5 e x6 s?o compostos, e al?m disso (x5,x6)=1, e fazendo mais algumas an?lizes vemos q ? imposs?vel. obs: essas analizes est? baseada sempre nos 7 primeiros divisores de n). espero q isso te leve a resposta, eu sinceramente n?o estou disposto a refazer ou conferir os procedimentos. OK. Obrigado pela resposta. Eu tinha esperanca de que a solucao envolvesse alguma sacada brilhante, mas pelo visto ela eh meio chatinha, com varios casos tendo que ser analisados e descartados. Qual a fonte desse problema? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
