1) Prove, utilizando Pitágoras, que as distâncias entre os pontos de contatos das circunferências menores e do incírculo de ABC, sobre cada um dos lados do triângulo, são iguais a 2(r1.r)^1/2, 2(r2.r)^1/2 e 2(r3.r)^1/2.
2) Prove, utilizando semelhança de triângulos e os valores calculados em 1), que as distâncias dos pontos de contato do incírculo de ABC aos vértices de ABC, sobre cado lado, são iguais a:
p - a = [2(r1.r)^1/2]/[r - r1], p - b = [2(r2.r)^1/2]/[r - r2] e p - c = [2(r3.r)^1/2]/[r - r3]
3) Observe que o semi-perímetro de ABC é igual a soma dos valores de 2);
4) Utilize a expressão da área de ABC por Hieron da forma p^2r^2 = p(p - a)(p - b)(p - c) para determinar uma equação de segundo grau (gigantesca!!!) em r.
Uma das soluções é r = (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2 + (r3.r1)^1/2
Espero ter ajudado. Como disse anteriormente, a solução completa desta questão é imensa. Como curiosidade, esta questão (com valores numéricos para r1, r2 e r3) está na shortlist da IMO de 1984. Você pode conferir em http://www.kalva.demon.co.uk/short/sh84.html, questão 18.
Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira
From: thais <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] demonstração Date: Fri, 14 Nov 2003 16:32:25 -0600
Não consigo resolver essa questão, se alguem puder me ajudar ...
- Em um triângulo ABC, inscreve-se um círculo cujo raio é r. Entre esse círculo e os lados do triângulo, inscrevem-se três outros círculos cujos raios são r1, r2 e r3. Demonstrar a relação: (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2 + (r3.r1)^1/2 = r
*** ( )^1/2 = raiz quadrada ----------------------------------------------------- Email Accounts for Dancers at http://www.danceart.com Dance with us at DanceArt.com
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