date:20040310

On Tue, Mar 09, 2004 at 10:41:19PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Pra mim tem muita graça :-)
 
 Pois sempre que eu quero (sao rarissimas as vezes que acesso esta 
 enciclopedia, apesar de concordar com o projeto do autor) eu consigo criar uma 
 sequencia 
 matematica em que esta enciclopedia nao reconhece. Faco isso em segundos...Ex:
 
 1, 8, 1296, 7962624, ?
 
 Qual o proximo ?
 
 Se existem VARIAS solucoes, por que a enciclopedia nao da ao menos UMA ? 
 Ps: Criei neste momento, nao ha dificuldade alguma. 

Eu não tenho certeza se isto é uma piada ou um mal entendido.
Se for uma piada, desculpem por estar respondendo, mas por e-mail
não se vê a cara da pessoa e o :-) no topo da mensagem pode se referir
só à primeira linha.

Se o que você quer é *alguma* seqüência com os quatro primeiros termos
que te passaram pela cabeça, você sempre pode encontrar um polinômio.
O maple faz isso, veja:

interp([0,1,2,3],[1, 8, 1296, 7962624],k);
32
 7958759/6 k  - 3978739 k  + 15913717/6 k + 1

e os próximos termos ficam sendo 31842751, 79600436, 159194438, 278583516,
445726429, 668581936, 955108796.

A enciclopédia tenta encontrar alguma coisa mais interessante do que isso,
uma seqüência mais ou menos natural, algo em que alguém pudesse pensar,
uma solução de um problema de contagem, ... 

É claro que os conceitos de interessante, natural, ..., na frase acima
são muito imprecisos. É por isso que o problema ache o próximo termo
da seqüência é inadequado para muitos tipos de provas, entre elas
olimpíadas de matemática.

Note que este tipo de questão *é* usado em certas provas, por exemplos em
certos testes para medir QI: se estes testes estão ou não medindo alguma
coisa, se esta alguma coisa tem ou não a ver com inteligência, se esta
alguma coisa tem alguma relevância, são questões fascinantes mas
completamente off-topic.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] pertinência

On Tue, Mar 09, 2004 at 11:10:10PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Observem esse teste , onde só uma resposta  tem que ser correta:
 Seja S={1,3,{5},{7,8}}. É correto afirmar que:
 a) { } não pertence a S.
 b) 3 não pertence a S.
 c){7,8} está contido em S.
 d) {3,{5}} está contido em S.
 e) { 5 } não pertence a S.
 Óbviamente, a respsota d está  correta...mas..por que a  resposta a não 
 estaria, já que um conjunto pode ser elemento de um conjunto ?.

Eu vi que um monte de gente já discutiu esta questão mas quero começar
de novo por aqui.

 a) { } não pertence a S.
(a) FALSA.

Os elementos de S são 4, dois números e dois conjuntos.
Os números são 1 e 3. Os conjuntos são {5} e {7,8}.
O conjunto {} não pertence a S.

Note que {} é subconjunto de S: o vazio é subconjunto de qq conjunto.
Note também que {} pertence, por exemplo, a A = {{},{{}},{{},{{.
O vazio pode ou não pertencer a um conjunto dado A.

 b) 3 não pertence a S.
(b) FALSA.

3 pertence S sim.

 c){7,8} está contido em S.
(c) FALSA.

{7,8} pertence a S mas não está contido em S pois 7 e 8 não pertencem a S.

Note que se B = {1, 3, 7, 8, {1}, {1, 3}, {3, 7}, {7, 8}, {{}, {1}, {1, 3}} }
então {7, 8} pertence a B *e* está contido em B.

 d) {3,{5}} está contido em S.
(d) VERDADEIRA.

{3, {5}} está contido em S pois tanto 3 quanto {5} pertencem a S.
Note que 5 não pertence a S e que {3, 5} não está contido em S.

 e) { 5 } não pertence a S.
(e) FALSA.

{5} pertence a S sim. 

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] pertinência

On Wed, Mar 10, 2004 at 12:09:45PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
 On Tue, Mar 09, 2004 at 11:10:10PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Observem esse teste , onde só uma resposta  tem que ser correta:
  Seja S={1,3,{5},{7,8}}. É correto afirmar que:
  a) { } não pertence a S.
  b) 3 não pertence a S.
  c){7,8} está contido em S.
  d) {3,{5}} está contido em S.
  e) { 5 } não pertence a S.
  Óbviamente, a respsota d está  correta...mas..por que a  resposta a não 
  estaria, já que um conjunto pode ser elemento de um conjunto ?.
 
 Eu vi que um monte de gente já discutiu esta questão mas quero começar
 de novo por aqui.
 
  a) { } não pertence a S.
 (a) FALSA.
 
 Os elementos de S são 4, dois números e dois conjuntos.
 Os números são 1 e 3. Os conjuntos são {5} e {7,8}.
 O conjunto {} não pertence a S.
 
 Note que {} é subconjunto de S: o vazio é subconjunto de qq conjunto.
 Note também que {} pertence, por exemplo, a A = {{},{{}},{{},{{.
 O vazio pode ou não pertencer a um conjunto dado A.

Mil desculpas, li errado o enunciado. Como vocês podem ler na minha explicação,
O conjunto {} não pertence a S. Assim (a) é VERDADEIRA.

Assim (a) e (d) são ambas VERDADEIRAS e (b), (c) e (e) são FALSAS
e a questão está ERRADA.

Acho que o objetivo da questão não é ver se o aluno entende os conceitos
de pertence e contido, é ver se o aluno consegue responder sem se enrolar.
Pelo visto tanto eu quanto o autor da questão nos enrolamos. :-\

Mil desculpas outra vez,

[]s, N.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] pertinência

2004-03-10 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

On Wed, Mar 10, 2004 at 01:58:37AM -0300, Rafael wrote:
 Korshinói,
 
 A alternativa (a) indica que o conjunto vazio, representado por {}, não
 *pertence* ao conjunto S. Isso é falso por dois motivos. Primeiramente, pois
 a relação entre conjuntos é de continência, e não pertinência. E, em segundo
 lugar, o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. A demonstração é
 simples: se assim não fosse, existiria pelo menos um elemento x que
 pertencesse ao {} de modo que x não pertenceria a S e isto nunca ocorre,
 pois não existe x de modo que x pertença a {}, logo, {} está contido em S.

Oi Rafael,

Eu suspeito que você se enrolou com o não do texto do enunciado,
como eu me enrolei na primeira leitura. A opção (a) diz que {} *NÃO*
pertence a S = {1, 3, {5}, {7, 8}}. De fato, {} não pertence a S
e a afirmação (a) é VERDADEIRA (logo a questão está ERRADA).

Ninguém nunca perguntou se {} está ou não contido em S no enunciado
da questão. É claro que {} está contido em S mas isso é irrelevante.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência

Outro exemplo e aquela aproximaçao logaritmica da serie harmonica feita por Euler.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
 on 09.03.04 11:40, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:  É claro que é bom que estas pessoas saibam que a enciclopédia existe. E problemas deste tipo podem ser muito interessantes e/ou importantes, especialmente quando a enciclopédia *não* reconhece a seqüência! Talvez valha a pena mencionar que eu usava a biblioteca profissionalmente há uns dois anos atrás quando estava trabalhando mais em coisas deste tipo.  []s, N.Um exemplo importante que me ocorreu: Gauss conjecturou o teorema dosnumeros primos ao examinar tabelas de primos existentes na epoca.Quem sabe que teorema importante pode resultar de um exame
 daenciclopedia...[]'s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html===Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!

Re: [obm-l] Livro de problemas de Calculo

2004-03-10 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Tenho um livrao (la em Sao Paulo) da Ed.Mir (aquela famosa editora moscovita), Problemas e Exercicios de Analise Matematica ,acho.niski [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal vcs poderiam, por gentileza, citar livros do tipo problemas - resoluçoes sobre calculo (que contenha os topicos vistos em calculo 3, i.e : Integrais duplas, triplas e de linha, teorema de Green e Stokes)Antes que citem, já conheco os da coleção Schaum. Procuro semelhantes.Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.-- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski"When we ask advice, we are usually looking for an accomplice."Jooseph Louis LaGrange=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!

Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo

2004-03-10 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

B tem conteudo nulo assim para todo epsilon  0 existe um numero finito
de retangulos R[1], R[2], ...,R[n] tal que
B C R[1] U R[2] U ... U R[n] e Somatoria[i=1 até n]m(R[i])  epsilon

Se A C B , então obviamente A C R[1] U R[2] U ... U R[n] e como
Somatoria[i=1 até n]m(R[i])  epsilon A tem conteudo nulo.
Será que esta certo?

Por que nao estaria?
Pra mim foi na intuição.
Quando vamos nos encontrar no IME? estou sempre nas primeiras fileiras lá
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
When we ask advice, we are usually looking for an accomplice.
Joseph Louis LaGrange
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: congruencias

Estes exercicios sao bem padrao...Mas voice pode pegar um livro de TN sobre tal.As soluçoes da lista sao boas o msuficiente (a do Claudio nem se fala!)[EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Yuri Gomes, A questao abaixo eu vi em seu artigo no site da OBM. Poderia me enviar uma RESOLUCAO ? Em uma mensagem de 9/3/2004 01:14:02 Hora padrão leste da Am. Sul, Faelccmm escreveu: 
Ola pessoal, Prove que 2^70 + 3^70 eh divisivel por 13.Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!

Re: [obm-l] congruencias

2004-03-10 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Bem, e se voces usassem sorobans?Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Calculadora? Que calculadora?on 10.03.04 00:43, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
CLARAMENTE para quem: Para voce ou para a sua calculadora ? :-)) Em uma mensagem de 9/3/2004 16:39:15 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
Realmente, ,mais humilhante nao podia ser... Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: 
on 09.03.04 01:14, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: 
Ola pessoal, Prove que 2^70 + 3^70 eh divisivel por 13. Esse eh facil. Basta ver que 2^70 + 3^70 = 2503155504994422192936289397389273, o qual eh claramente divisivel por 13. O quociente eh 192550423461109399456637645953021. []'s, Claudio. Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!

[obm-l] Um problema da OIMU

2004-03-10 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Olha so esse problema.Alguem sabe como fazer?


7. [9 pontos] Em um plano se move de qualquer maneira um ponto ( o Presuntinho) com velocidade não superior a 1 km/h, descrevendo uma curva contínua l:[0,1]=R^2 onde[0,1]é um intervalo de tempo de um hora. Sabe-se que oPresuntinho se encontra inicialmente em um quadrado de lado de 8 km. No centro deste quadrado se encontra um demônio da Tasmânia, o Roi Corroi,cego que não pode saber a posição do porquinho, porém pode mover-se com qualquer velocidade. Encontrar um curva contínua x:[0,1]=R^2( o caminho percorrido pelo demônio da Tasmânia) tal que em algum momento de tempo entre 0 e 1o demônio da Tasmânia pega o porco independente do caminho que este último escolha.Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência

2004-03-10 Por tôpico Faelccmm

Ola,

Vou dizer o que passou pela minha cabeca:

1!^2, 2!^3, 3!^4, 4!^5, 5!^6, n!^(n+1)

1, 8, 1296, 7962624, 298598400

Simples, nao ?

Nicolau, poderia me dizer qual a *logica* que o MAPLE reconheceu para os termos da sequencia ? Ou ele apenas faz as coisas algoritmamente manipulando padroes ? O MAPLE diz quantas solucoes ele reconhece para uma entrada qualquer de termos ?

Conclusao:

Na minha opiniao, a enciclopedia on-line de numeros inteiros serah muito util a longo prazo, funcionando como uma especie de banco de dados da criatividade da mente humana, haja vista que cada pessoa cria uma sequencia de uma maneira, entao vai demorar MUITO TEMPO para o autor da enciclopedia dizer:
- Podem testar a enciclopedia com os termos que voces quiserem que ela ira reconhecer !!!
Talvez isso nunca ira acontecer, a nao ser se a cibernetica e/ou inteligencia artificial se desenvolverem a tao ponto de criarem um robo que inserirah milhoes de sequencias (CRIATIVAS) por segundo na enciclopedia. TODAS as sequencias tem sua aplicabilidade, mas a mente humana nem sempre percebe isso. Ex: A SEQUENCIA DE FIBONACCI, em que ja foi percebida, por cientistas, sua presenca em plantas, animais, etc...

Em uma mensagem de 10/3/2004 12:16:16 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:

On Tue, Mar 09, 2004 at 10:41:19PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pra mim tem muita graça :-)

Pois sempre que eu quero (sao rarissimas as vezes que acesso esta
enciclopedia, apesar de concordar com o projeto do autor) eu consigo criar uma sequencia
matematica em que esta enciclopedia nao reconhece. Faco isso em segundos...Ex:

1, 8, 1296, 7962624, ?

Qual o proximo ?

Se existem VARIAS solucoes, por que a enciclopedia nao da ao menos UMA ?
Ps: Criei neste momento, nao ha dificuldade alguma.

Eu não tenho certeza se isto é uma piada ou um mal entendido.
Se for uma piada, desculpem por estar respondendo, mas por e-mail
não se vê a cara da pessoa e o :-) no topo da mensagem pode se referir
só à primeira linha.

Se o que você quer é *alguma* seqüência com os quatro primeiros termos
que te passaram pela cabeça, você sempre pode encontrar um polinômio.
O maple faz isso, veja:

interp([0,1,2,3],[1, 8, 1296, 7962624],k);
3 2
7958759/6 k - 3978739 k + 15913717/6 k + 1

e os próximos termos ficam sendo 31842751, 79600436, 159194438, 278583516,
445726429, 668581936, 955108796.

A enciclopédia tenta encontrar alguma coisa mais interessante do que isso,
uma seqüência mais ou menos natural, algo em que alguém pudesse pensar,
uma solução de um problema de contagem, ...

É claro que os conceitos de "interessante", "natural", ..., na frase acima
são muito imprecisos. É por isso que o problema "ache o próximo termo
da seqüência" é inadequado para muitos tipos de provas, entre elas
olimpíadas de matemática.

Note que este tipo de questão *é* usado em certas provas, por exemplos em
certos testes para medir QI: se estes testes estão ou não medindo alguma
coisa, se esta alguma coisa tem ou não a ver com inteligência, se esta
alguma coisa tem alguma relevância, são questões fascinantes mas
completamente off-topic.

Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo


Oi, Niski:

A relação de continência (adorei esta palavra!Mefaz lembrar dos meus tempos num outro IME - o do Rio de Janeiro) é transitiva.
Logo, se A está contido em B e B está contido em UNIÃO(1=i=n) R[i], então A está contido em UNIÃO(1=i=n) R[i].
Assim, por definição, A tem conteúdo nulo.

***

Eh bem facil voce me encontrar na sala de aula de análise real: olhe pra trás e você vai ver um tipo super boa-pinta, tipo Brad Pitt só que mais bonito,extremamente bem-vestido e que faz comentários inteligentíssimos e ultra-relevantes na aula: eu vou estar sentado do lado dele.

[]´s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Wed, 10 Mar 2004 13:31:18 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo






 B tem conteudo nulo assim para todo epsilon  0 existe um numero finito
 de retangulos R[1], R[2], ...,R[n] tal que
 
 B C R[1] U R[2] U ... U R[n] e Somatoria[i=1 até n]m(R[i])  epsilon
 
 Se A C B , então obviamente A C R[1] U R[2] U ... U R[n] e como
 Somatoria[i=1 até n]m(R[i])  epsilon A tem conteudo nulo.
 
 Será que esta certo?
 
  
  Por que nao estaria?
 
 Pra mim foi na intuição.
 Quando vamos nos encontrar no IME? estou sempre nas primeiras fileiras lá
 
 -- 
 Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
 
 "When we ask advice, we are usually looking for an accomplice."
 Joseph Louis LaGrange

Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci

2004-03-10 Por tôpico Luis Lopes

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

Temos que achar a(k) tal que

{a(k) - a(k-1)}{1 + a(k)a(k-1)} = 1/F(k),

onde {x}{y} = x/y.

Assim  SOMA(k = 1)^n  arctg(1/F(k)) =

 SOMA(k = 1)^n  arctg({a(k) - a(k-1)}{1 + a(k)a(k-1)} ) =

SOMA(k = 1)^n [ arctg(a{k)) - arctg(a{k-1)) ] =

arctg(a{n)) - arctg(a{0)).

Preciso de uma dica pra achar a(k).

[]'s
Luis


-Mensagem Original-
De: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: segunda-feira, 8 de março de 2004 23:58
Assunto: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci


 Esse eh um pro Luis Lopes:

 Calcule o valor da soma:

 SOMA(n = 1) arctg(1/F(n)),

 onde F(n) eh dada por:
 F(1) = F(2) = 1  e  F(n) = F(n-1) + F(n-2).

 Um abraco,
 Claudio.

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] AB - BA = I

2004-03-10 Por tôpico Luiz Ponce





Obrigado Claudio
PONCE

Claudio Buffara escreveu:

  on 09.03.04 13:38, Luiz Ponce at [EMAIL PROTECTED] wrote:

  
  
caro amigo Claudio ,
Voc pode demonstrar   a propriedade:

Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita eh
a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I

PONCE


  
  Oi, Ponce:

A demonstracao que eu imaginei usa os seguintes fatos:

1) Uma funcao f tem inversa a esquerda == f eh injetiva;

2) Uma funcao f tem uma inversa == f eh uma bijecao

Os dois fatos acima valem pra qualquer funcao e nao apenas pra
transformacoes lineares. Os dois abaixo sao especificos de transformacoes
lineares.

3) Sejam E e F espacos vetoriais e T:E - F uma transformacao linear.
Entao T eh injetiva == Nucleo(T) = {0}

4) Teorema do Nucleo e da Imagem:
Sejam E e F espacos vetorias tais que E tem dimensao finita.
Seja T: E - F uma transformacao linear.
Entao, dim(Nucleo(T)) + dim(Imagem(T)) = dim(E)

Esse teorema eh demonstrado estendendo-se uma base do nucleo(T) ateh uma
base de E e aplicando T a uma combinacao linear arbitraria dos vetores dessa
base.

***

Vamos ao nosso resultado:

Seja E um espaco vetorial de dimensao finita e T e U operadoes nesse espaco
tais que UT = I. Entao:

U eh um inverso a esquerda de T  ==

T eh injetivo  ==

Nucleo(T) = {0}  ==

dim(Imagem(T)) = dim(E) - dim(Nucleo(T)) = dim(E) - 0 = dim(E)  ==

Imagem(T) = E  ==

T eh sobrejetiva  ==

T eh uma bijecao  ==

T tem uma inversa T' tal que TT' = T'T = I  ==

T' = IT' = (UT)T' = U(TT') = UI = U  ==

U eh inversa de T ==

TU = I

E acabou...

Repare que nao bastava tomar a inversa T' de T e escrever:
T' = IT' = (UT)T' = U(TT') = UI = U.
Antes, precisavamos provar que T tem uma inversa T'.
Finalmente, de posse desse fato, pudemos concluir que U = T'.

Espero que tenha ficado claro.


Um abraco,
Claudio.




 


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Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Mathematica x Maple x Mat-Lab

2004-03-10 Por tôpico David M. Cardoso


Pra quem conhece esses softwares:

Qual deles ganha em usabilidade?
Quero dizer: facilidade de uso, interface intuitiva, etc.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re:[obm-l] Um problema da OIMU


O que você acha disso aqui?

Inicialmente associe sub-intervalos sucessivos de [0,1] a subdivisões do quadrado em quadrados menores mas iguais entre si, da seguinte forma:
I_1 = [0,1/2] -- 4 quadrados de lado = 1/2
I_2 = [1/2,3/4] -- 16 quadrados de lado = 1/4
I_3 = [3/4,7/8] --64 quadrados de lado = 1/8
...
I_n = [ 1 - 1/2^(n-1) , 1 - 1/2^n ] -- 4^n quadrados de lado 1/2^n
...

Como o Roi Corroi pode se mover a qualquer velocidade, vai ser sempre possivel que, durante o intervalo de tempo I_n, ele percorra uma curva continua que passe por cada um dos 4^n quadrados correspondentes a I_n. Eh claro que a velocidade dele será cada vez maior. 

Por exemplo, vamos chamar os 4^n quadrados da n-esima subdivisao de:
Q(i,j) (1=i,j =2^n), com Q(1,1) sendo o quadrado situado no canto superior esquerdo do quadrado original, Q(1,2^n) o do canto superior direito e Q(2^n,2^n) o do canto inferior direito. No inicio de I_n, ele se desloca muito rapidamente para o centro de Q(1,1), desce na vertical, passando pelos centros dos Q(i,1) (1=i=2^n),vai para o centro de Q(2^n,2), sobeaté o centro de Q(1,2), vai para o centro de Q(1,3), desce...etc...e vai fazendo esse zig-zag até chegar ao centro de Q(1,2^n) (por que Q(1,2^n) e não Q(2^n,2^n)?) no instante t = 1-1/2^n. 
É importante frisar que a curva percorrida pelo Roi Corroi é contínua (apesar de sua velocidade tender a +infinito) e que,durante cada I_n, ele percorre uma distancia finita num tempo finito.

No entanto, como o Porco se move com v = 1, durantecada intervalo I_n (que tem duracao de 1/2^n) ele percorre uma distancia de 1/2^n, ou seja,durante esse intervalo ele passa por no máximo 2 quadrados adjacentes.

Isso significa que, em algum momento de I_n, o Roi Corroi passou a uma distancia de não mais do que raiz(2)/2^(n+1) do Porco (caso em que o Roi Corroi passava pelo centro de um dado quadrado no exato instante em que o Porco estava num dos vertices desse quadrado).

Ou seja, em cada intervalo I_n, existe um instante t_n tal que a distancia d_n entre os dois eh de, no maximo,raiz(2)/2^(n+1).

Se, para algum n, d_n = 0, então acabou: o Roi Corroi terá pego o Porco em t = t_n.

Caso contrário, teremos obtido uma sequencia bi-dimensional (t_n,d_n) tal que t_n é monotona crescente e tal que 1 - 1/2^(n-1)= t_n =1 - 1/2^n, e d_n é tal que, para todo n, 0  d_n = raiz(2)/2^(n+1). Logo, t_n tende a 1 e d_n tende a 0.
Ou seja, no pior caso, o Roi Corroi pega o Porco em t = 1.


Um abraço,
Claudio.






De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




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Data:
Wed, 10 Mar 2004 13:55:16 -0300 (ART)




Assunto:
[obm-l] Um problema da OIMU






 Olha so esse problema.Alguem sabe como fazer?
 
 
7. [9 pontos] Em um plano se move de qualquer maneira um ponto ( o Presuntinho) com velocidade não superior a 1 km/h, descrevendo uma curva contínua l:[0,1]=R^2 onde[0,1]é um intervalo de tempo de um hora. Sabe-se que oPresuntinho se encontra inicialmente em um quadrado de lado de 8 km. No centro deste quadrado se encontra um demônio da Tasmânia, o Roi Corroi,cego que não pode saber a posição do porquinho, porém pode mover-se com qualquer velocidade. Encontrar um curva contínua x:[0,1]=R^2( o caminho percorrido pelo demônio da Tasmânia) tal que em algum momento de tempo entre 0 e 1o demônio da Tasmânia pega o porco independente do caminho que este último escolha.


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Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci

2004-03-10 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet


Oi, Luis:

Eu pensei na mesma coisa, e também agradeceria uma dica.

[]´s,
Claudio.




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Wed, 10 Mar 2004 15:09:03 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci






 Sauda,c~oes,
 
 Oi Claudio,
 
 Temos que achar a(k) tal que
 
 {a(k) - a(k-1)}{1 + a(k)a(k-1)} = 1/F(k),
 
 onde {x}{y} = x/y.
 
 Assim SOMA(k = 1)^n arctg(1/F(k)) =
 
 SOMA(k = 1)^n arctg({a(k) - a(k-1)}{1 + a(k)a(k-1)} ) =
 
 SOMA(k = 1)^n [ arctg(a{k)) - arctg(a{k-1)) ] =
 
 arctg(a{n)) - arctg(a{0)).
 
 Preciso de uma dica pra achar a(k).
 
 []'s
 Luis
 
 
 -Mensagem Original-
 De: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
 Para: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
 Enviada em: segunda-feira, 8 de março de 2004 23:58
 Assunto: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
 
 
  Esse eh um pro Luis Lopes:
 
  Calcule o valor da soma:
 
  SOMA(n = 1) arctg(1/F(n)),
 
  onde F(n) eh dada por:
  F(1) = F(2) = 1 e F(n) = F(n-1) + F(n-2).
 
  Um abraco,
  Claudio.
 
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  =
 
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência

Essa e para os entusiastas da AI:voce ja viu um computador contar boas piadas?[EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola, Vou dizer o que passou pela minha cabeca: 1!^2, 2!^3, 3!^4, 4!^5, 5!^6, n!^(n+1) 1, 8, 1296, 7962624, 298598400 Simples, nao ? Nicolau, poderia me dizer qual a *logica* que o MAPLE reconheceu para os termos da sequencia ? Ou ele apenas faz as coisas algoritmamente manipulando padroes ? O MAPLE diz quantas solucoes ele reconhece para uma entrada qualquer de termos ? Conclusao: Na minha opiniao, a enciclopedia on-line de numeros inteiros serah muito util a longo prazo, funcionando como uma especie de banco de dados da criatividade da mente humana, haja vista que cada pessoa cria uma sequencia de uma maneira, entao vai demorar MUITO TEMPO para o autor da enciclopedia dizer: - Podem testar a enciclopedia com os termos que voces quiserem que ela ira reconhecer !!!
Talvez isso nunca ira acontecer, a nao ser se a cibernetica e/ou inteligencia artificial se desenvolverem a tao ponto de criarem um robo que inserirah milhoes de sequencias (CRIATIVAS) por segundo na enciclopedia. TODAS as sequencias tem sua aplicabilidade, mas a mente humana nem sempre percebe isso. Ex: A SEQUENCIA DE FIBONACCI, em que ja foi percebida, por cientistas, sua presenca em plantas, animais, etc... Em uma mensagem de 10/3/2004 12:16:16 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Tue, Mar 09, 2004 at 10:41:19PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Pra mim tem muita graça :-) Pois sempre que eu quero (sao rarissimas as vezes que acesso esta enciclopedia, apesar de concordar com o projeto do autor) eu consigo criar uma sequencia matematica em que esta enciclopedia nao reconhece. Faco isso em segundos...Ex: 1, 8, 1296, 7962624, ? Qual o proximo ? Se existem VARIAS solucoes, por que a enciclopedia nao da ao menos UMA ? Ps: Criei neste momento, nao ha dificuldade alguma. Eu não tenho certeza se isto é uma piada ou um mal entendido. Se for uma piada, desculpem por estar respondendo, mas por e-mail não se vê a cara da pessoa e o :-) no topo da mensagem pode se referir só à primeira linha. Se o que você quer é
*alguma* seqüência com os quatro primeiros termos que te passaram pela cabeça, você sempre pode encontrar um polinômio. O maple faz isso, veja: interp([0,1,2,3],[1, 8, 1296, 7962624],k); 3 2 7958759/6 k - 3978739 k + 15913717/6 k + 1 e os próximos termos ficam sendo 31842751, 79600436, 159194438, 278583516, 445726429, 668581936, 955108796. A enciclopédia tenta encontrar alguma coisa mais interessante do que isso, uma seqüência mais ou menos natural, algo em que alguém pudesse pensar, uma solução de um problema de contagem, ... É claro que os conceitos de "interessante", "natural", ..., na frase
acima são muito imprecisos. É por isso que o problema "ache o próximo termo da seqüência" é inadequado para muitos tipos de provas, entre elas olimpíadas de matemática. Note que este tipo de questão *é* usado em certas provas, por exemplos em certos testes para medir QI: se estes testes estão ou não medindo alguma coisa, se esta alguma coisa tem ou não a ver com inteligência, se esta alguma coisa tem alguma relevância, são questões fascinantes mas completamente off-topic. Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!

Re:[obm-l] Um problema da OIMU

2004-03-10 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

OtimoNunca teria, em tanto tempo, uma ideia tao boa..."claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote:


O que você acha disso aqui?

Inicialmente associe sub-intervalos sucessivos de [0,1] a subdivisões do quadrado em quadrados menores mas iguais entre si, da seguinte forma:
I_1 = [0,1/2] -- 4 quadrados de lado = 1/2
I_2 = [1/2,3/4] -- 16 quadrados de lado = 1/4
I_3 = [3/4,7/8] --64 quadrados de lado = 1/8
...
I_n = [ 1 - 1/2^(n-1) , 1 - 1/2^n ] -- 4^n quadrados de lado 1/2^n
...

Como o Roi Corroi pode se mover a qualquer velocidade, vai ser sempre possivel que, durante o intervalo de tempo I_n, ele percorra uma curva continua que passe por cada um dos 4^n quadrados correspondentes a I_n. Eh claro que a velocidade dele será cada vez maior. 

Por exemplo, vamos chamar os 4^n quadrados da n-esima subdivisao de:
Q(i,j) (1=i,j =2^n), com Q(1,1) sendo o quadrado situado no canto superior esquerdo do quadrado original, Q(1,2^n) o do canto superior direito e Q(2^n,2^n) o do canto inferior direito. No inicio de I_n, ele se desloca muito rapidamente para o centro de Q(1,1), desce na vertical, passando pelos centros dos Q(i,1) (1=i=2^n),vai para o centro de Q(2^n,2), sobeaté o centro de Q(1,2), vai para o centro de Q(1,3), desce...etc...e vai fazendo esse zig-zag até chegar ao centro de Q(1,2^n) (por que Q(1,2^n) e não Q(2^n,2^n)?) no instante t = 1-1/2^n. 
É importante frisar que a curva percorrida pelo Roi Corroi é contínua (apesar de sua velocidade tender a +infinito) e que,durante cada I_n, ele percorre uma distancia finita num tempo finito.

No entanto, como o Porco se move com v = 1, durantecada intervalo I_n (que tem duracao de 1/2^n) ele percorre uma distancia de 1/2^n, ou seja,durante esse intervalo ele passa por no máximo 2 quadrados adjacentes.

Isso significa que, em algum momento de I_n, o Roi Corroi passou a uma distancia de não mais do que raiz(2)/2^(n+1) do Porco (caso em que o Roi Corroi passava pelo centro de um dado quadrado no exato instante em que o Porco estava num dos vertices desse quadrado).

Ou seja, em cada intervalo I_n, existe um instante t_n tal que a distancia d_n entre os dois eh de, no maximo,raiz(2)/2^(n+1).

Se, para algum n, d_n = 0, então acabou: o Roi Corroi terá pego o Porco em t = t_n.

Caso contrário, teremos obtido uma sequencia bi-dimensional (t_n,d_n) tal que t_n é monotona crescente e tal que 1 - 1/2^(n-1)= t_n =1 - 1/2^n, e d_n é tal que, para todo n, 0  d_n = raiz(2)/2^(n+1). Logo, t_n tende a 1 e d_n tende a 0.
Ou seja, no pior caso, o Roi Corroi pega o Porco em t = 1.


Um abraço,
Claudio.






De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




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Data:
Wed, 10 Mar 2004 13:55:16 -0300 (ART)




Assunto:
[obm-l] Um problema da OIMU






 Olha so esse problema.Alguem sabe como fazer?
 
  
7. [9 pontos] Em um plano se move de qualquer maneira um ponto ( o Presuntinho) com velocidade não superior a 1 km/h, descrevendo uma curva contínua l:[0,1]=R^2 onde[0,1]é um intervalo de tempo de um hora. Sabe-se que oPresuntinho se encontra inicialmente em um quadrado de lado de 8 km. No centro deste quadrado se encontra um demônio da Tasmânia, o Roi Corroi,cego que não pode saber a posição do porquinho, porém pode mover-se com qualquer velocidade. Encontrar um curva contínua x:[0,1]=R^2( o caminho percorrido pelo demônio da Tasmânia) tal que em algum momento de tempo entre 0 e 1o demônio da Tasmânia pega o porco independente do caminho que este último escolha.


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] pertinência

2004-03-10 Por tôpico Rafael

Nicolau,

Para ser bem sincero, quando li o seu raciocínio e o do Márcio, percebi que
eu havia deixado passar algo. O fato é que realmente o conjunto vazio pode
ser interpretado como elemento de S ou subconjunto de S, e somente julguei
possível fazê-lo como subconjunto, por isso a minha argumentação anterior. O
seu exemplo é bastante convincente, realmente se pode ter um conjunto que
tenha o vazio como elemento, além de obviamente tê-lo como subconjunto.
Embora sempre tenha me parecido natural que um conjunto fosse elemento de
outro, ainda não havia pensado que o conjunto vazio, como qualquer conjunto,
também pode ser um elemento. De fato, foi o meu erro.

Por fim, um comentário: não sei por que a primeira alternativa de um teste
de múltipla escolha, quando está certa, muitas vezes passa desapercebida na
primeira leitura. (Isso é off-topic, claro.)

Mais uma vez, desculpo-me pelo descuido, concordo que a questão está errada,
por apresentar duas alternativas verdadeiras.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 10, 2004 12:23 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] pertinência



Oi Rafael,

Eu suspeito que você se enrolou com o não do texto do enunciado,
como eu me enrolei na primeira leitura. A opção (a) diz que {} *NÃO*
pertence a S = {1, 3, {5}, {7, 8}}. De fato, {} não pertence a S
e a afirmação (a) é VERDADEIRA (logo a questão está ERRADA).

Ninguém nunca perguntou se {} está ou não contido em S no enunciado
da questão. É claro que {} está contido em S mas isso é irrelevante.

[]s, N.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência

2004-03-10 Por tôpico Faelccmm

Eu nao falei isso. Voce esta confundindo as coisas.

Em uma mensagem de 10/3/2004 17:02:06 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:

Essa e para os entusiastas da AI:voce ja viu um computador contar boas piadas?
[EMAIL PROTECTED] wrote:

Ola,

Vou dizer o que passou pela minha cabeca:

1!^2, 2!^3, 3!^4, 4!^5, 5!^6, n!^(n+1)

1, 8, 1296, 7962624, 298598400

Simples, nao ?

Conclusao:

Em uma mensagem de 10/3/2004 12:16:16 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:

On Tue, Mar 09, 2004 at 10:41:19PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pra mim tem muita graça :-)

1, 8, 1296, 7962624, ?

Qual o proximo ?

Se existem VARIAS solucoes, por que a enciclopedia nao da ao menos UMA ?
Ps: Criei neste momento, nao ha dificuldade alguma.

Se o que você quer é *alguma* seqüência com os quatro primeiros termos
que te passaram pela cabeça, você sempre pode encontrar um polinômio.
O maple faz isso, veja:

interp([0,1,2,3],[1, 8, 1296, 7962624],k);
3 2
7958759/6 k - 3978739 k + 15913717/6 k + 1

e os próximos termos ficam sendo 31842751, 79600436, 159194438, 278583516,
445726429, 668581936, 955108796.

A enciclopédia tenta encontrar alguma coisa mais interessante do que isso,
uma seqüência mais ou menos natural, algo em que alguém pudesse pensar,
uma solução de um problema de contagem, ...

RE: [obm-l] Estudo da integral de Lebesgue

2004-03-10 Por tôpico Leandro Recova

Arthur,

Havera um curso de Medida e Integracao na UnB esse semestre. Porque voce
nao se matricula como aluno especial ? Geralmente, na primeira semana voce
pode efetuar a matricula.

Eu estudei pelo livro do Royden e do Rudin (Analise Funcional e o Real
Complex Analysis).

Na minha opiniao pessoal, eu achei o curso de Analise Funcional e Medida
como um dos melhores que eu ja fiz.

Saudacoes Rubro-Negras,

Leandro
Los Angeles, CA.

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Artur Costa Steiner
Sent: Wednesday, March 10, 2004 12:18 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Estudo da integral de Lebesgue


Eu gostaria de ter a opiniao dos professores bem como de quem jah tenha se
aprofundado no assunto se, para estudar a integral de Lebesgue, eh
preferivel seguir a linha baseda na Teoria de Medidas ou se,
alternativamente, eh preferivel seguir outras linhas que nao se baseiam em
tal assunto. O excelente livro de Analise do Apostol, por exemplo, tem uma
abordagem bem diversa da adotada em Teoria de Medidas. Hah tambem um livro
do Bartle/Sherbert que trata a integral de Lebesgue atraves da Integral
Generalizada de Riemann, que parece ter sido desenvolvida por Henstock .
Mas eu creio que a forma natural, ainda que mais dificil, eh de fato a
baseada na T. de Medidas.
Obrigado.
Artur


OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] Estudo da integral de Lebesgue

2004-03-10 Por tôpico Paulo Santa Rita

Oi Artur,

Vou dar a minha opiniao, sem querer assim deixar subtendido que sou Prof 
e/ou profundo
conhecedor do tema. E apenas a opiniao de quem ja estudou isso e enfrentou 
esta mesma
duvida que voce esta manifestando ...

A sequencia que me parece a mais adequada e INTEGRAL DE RIEMANN, TEORIA DA 
MEDIDA
e so entao INTEGRAL DE LEBESQUE. Explico :

A integral de Lebesque abrange um conjunto maior de funcoes porque o 
Lebesque Generalizou
o conceito de integracao, mostrando que aquilo que davamos como acabado e 
definitivo ( a teoria
da integracao ) era apenas a ponta de um iceberg. Essa generalizacao 
permitiu dar tratamento
elegante a questoes ( por exemplo, em Analise de Fourier ) que outrora eram 
muito dificeis ou/e
intrataveis.

O trabalho do Lebesque, inclusive, e um exemplo direto do fato de que as 
grandes obras cientificas
se caracterizam, sobretudo, por serem uma apreciacao inusitada ( inspirada 
em outras fontes ) de conceitos ja bem mastigados, que passam a adquirir uma 
nova roupagem diante de uma conceituacao mais plastica e globalizante : 
preservando o passado, abre-se novas possibilidades
para o futuro. Mal comparando, O Grande Matematico parece ser aquele macaco 
que nao se satisfaz em ficar permanentemente trepado na arvore que conhece 
bem, mas que visita outras arvores tambem e assim adquire uma percepção 
satisfatoria da floresta.

Mas Lebesque, como todo descobridorr, apenas vislumbrava alguns conceitos 
que so posteriormente
vieram a sofrer uma definicao precisa : a teoria da Medida. Assim, estudar 
previamente esta teoria
( da medida ) e, a meu ver, a forma mais direta que aprender o que ha de 
essencial no pensamento do Lebesque ...

Eis a razao de eu sugerir a sequencia acima.

Um Abracao
Paulo Santa Rita
4,1807,100304
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Estudo da integral de Lebesgue
Date: Wed, 10 Mar 2004 17:18:24 -0300
Eu gostaria de ter a opiniao dos professores bem como de quem jah tenha se
aprofundado no assunto se, para estudar a integral de Lebesgue, eh
preferivel seguir a linha baseda na Teoria de Medidas ou se,
alternativamente, eh preferivel seguir outras linhas que nao se baseiam em
tal assunto. O excelente livro de Analise do Apostol, por exemplo, tem uma
abordagem bem diversa da adotada em Teoria de Medidas. Hah tambem um livro
do Bartle/Sherbert que trata a integral de Lebesgue atraves da Integral
Generalizada de Riemann, que parece ter sido desenvolvida por Henstock .
Mas eu creio que a forma natural, ainda que mais dificil, eh de fato a
baseada na T. de Medidas.
Obrigado.
Artur

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[obm-l] Re:[obm-l] Estat: Provar que variavel aleatoria tem distribu ição geometrica







De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Wed, 10 Mar 2004 17:26:35 -0300




Assunto:
[obm-l] Estat: Provar que variavel aleatoria tem distribu ição geometrica






 Me deparei com o seguinte problema:
 
 "Seja X uma variavel aleatoria assumindo valores no conjunto {1,2,3,...} 
 e tendo a seguinte propriedade ("falta de memoria")
 P[X = s + t | X  t] = P[X = s] para s,t pertencente a {1,2,3,...}. 
 Mostre que X é uma geometrica de parametro p , 0= p = 1."
 
 Primeiro uma observação, o modo como o problema foi enunciado não é um 
 pouco estranho? Não seria mais apropriado algo do tipo
 "Mostre que se X é uma geometrica de parametro p, então P[X = s + t 
 |..."? Bom, para mim é o unico jeito de resolver. Ainda há outra 
 observação então acompanhem a minha resolução:
 
São dois problemas diferentes. 
O primeiro é: dada uma propriedade de uma variável aleatória X, provar que X tem uma certa distribuição. 
O segundo é: dada uma variável aleatória X com uma dada distribuição, provar que X tem uma certa propriedade. 
Ambos são problemas válidos e eu diria que o primeiro é em geral mais difícil de se resolver.

Talvez um outro exemplo seja ilustrativo:
Problema 1: 
Uma função f: Q -- Q é tal que, para quaisquer x, y em Q:
f(x+y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
Prove que f eh a identidade (f(x) = x para todo x em Q).

Problema 2:
Prove que f: Q -- Q dada por f(x) = x obedece a:
f(x+y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).

Ambos são problemas legítimos e o segundo é trivial. O primeiro, nem tanto (minha opinião).

[]´s,
Claudio.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência

On Wed, Mar 10, 2004 at 01:00:15PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Ola,
 
 Vou dizer o que passou pela minha cabeca:
 
 1!^2, 2!^3, 3!^4, 4!^5, 5!^6, n!^(n+1)
 
 1, 8, 1296, 7962624, 298598400
 
 Simples, nao ?

Ok, eu entendi errado, achei que você estava escrevendo qualquer coisa.

Quando for assim, vale a pena ter mais termos (quatro é muito pouco).
A enciclopédia tem um serviço chamado superseeker: você manda a seq
para um certo e-mail e depois de um certo tempo o superseeker diz
o que foi que ele conseguiu.
 
 Nicolau, poderia me dizer qual a *logica* que o MAPLE reconheceu para os 
 termos da sequencia ? Ou ele apenas faz as coisas algoritmamente manipulando 
 padroes ? O MAPLE diz quantas solucoes ele reconhece para uma entrada
 qualquer de termos ?

Dados n pontos (x1, y1), ..., (xn, yn) no plano com xis distintos,
sempre existe um único polinômio p de grau  n tal que p(xi) = yi.

 Na minha opiniao, a enciclopedia on-line de numeros inteiros serah muito util 
 a longo prazo, funcionando como uma especie de banco de dados da criatividade 
 da mente humana, haja vista que cada pessoa cria uma sequencia de uma
 maneira, entao vai demorar MUITO TEMPO para o autor da enciclopedia dizer: -
 Podem testar a enciclopedia com os termos que voces quiserem que ela ira
 reconhecer !!!  Talvez isso nunca ira acontecer, a nao ser se a cibernetica
 e/ou inteligencia artificial se desenvolverem a tao ponto de criarem um robo
 que inserirah milhoes de sequencias (CRIATIVAS) por segundo na enciclopedia.
 TODAS as sequencias tem sua aplicabilidade, mas a mente humana nem sempre
 percebe isso. Ex: A SEQUENCIA DE FIBONACCI, em que ja foi percebida, por
 cientistas, sua presenca em plantas, animais, etc...

Certamente que quanto mais tempo passar, melhor ficará a enciclopédia.
Mas mesmo hoje, aliás mesmo há alguns anos atrás, ela já é (foi) muito
útil para muita gente, eu inclusive.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Estat: Provar que variavel aleatoria tem distribu ição geometrica

Eu sei que sao problemas distintos Claudio.
Mas desconfiei que estivesse errado pois nunca tinha visto isso (ou 
seja, dada uma propriedade descobrir a distribuição) e acredito que 
existam outras distribuiçoes que possam ter a mesma propriedade.  Por 
isso desconfiei da validade do enunciado.

claudio.buffara wrote:

 
De: 	[EMAIL PROTECTED]

Para: 	[EMAIL PROTECTED]

Cópia: 	

Data: 	Wed, 10 Mar 2004 17:26:35 -0300

Assunto: 	[obm-l] Estat: Provar que variavel aleatoria tem distribu ição 
geometrica

  	 

  Me deparei com o seguinte problema:
 
  Seja X uma variavel aleatoria assumindo valores no conjunto {1,2,3,...}
  e tendo a seguinte propriedade (falta de memoria)
  P[X = s + t | X  t] = P[X = s] para s,t pertencente a {1,2,3,...}.
  Mostre que X é uma geometrica de parametro p , 0= p = 1.
 
  Primeiro uma observação, o modo como o problema foi enunciado não é um
  pouco estranho? Não seria mais apropriado algo do tipo
  Mostre que se X é uma geometrica de parametro p, então P[X = s + t
  |...? Bom, para mim é o unico jeito de resolver. Ainda há outra
  observação então acompanhem a minha resolução:
 
São dois problemas diferentes.
O primeiro é: dada uma propriedade de uma variável aleatória X, provar 
que X tem uma certa distribuição.
O segundo é: dada uma variável aleatória X com uma dada distribuição, 
provar que X tem uma certa propriedade.
Ambos são problemas válidos e eu diria que o primeiro é em geral mais 
difícil de se resolver.
 
Talvez um outro exemplo seja ilustrativo:
Problema 1:
Uma função f: Q -- Q é tal que, para quaisquer x, y em Q:
f(x+y) = f(x) + f(y)   e   f(xy) = f(x)f(y).
Prove que f eh a identidade (f(x) = x para todo x em Q).
 
Problema 2:
Prove que f: Q -- Q dada por f(x) = x obedece a:
f(x+y) = f(x) + f(y)   e   f(xy) = f(x)f(y).
 
Ambos são problemas legítimos e o segundo é trivial. O primeiro, nem 
tanto (minha opinião).
 
[]´s,
Claudio.
 
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
When we ask advice, we are usually looking for an accomplice.
Joseph Louis LaGrange
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Matrizes que Comutam

Oi, pessoal:

Estou com uma duvida meio amplasobre matrizes que comutam.

Seja A uma matriz nxn inversivel com coeficientes num dado corpo F.
O conjunto de tais matrizes forma um grupo não-abeliano GL(n,F) com relação ao produto de matrizes.
O que podemos dizer em geral sobre o tamanho e a estrutura de C(A), o centralizador de A = subgrupo das matrizes de GL(n,F) que comutam com A?

Por exemplo, num problema da obm-u de 2003, o grupo era GL(4,Z_p) e as matrizes satisfaziam a A^2 = I == um caso extremamente particular, mas que deu origemà minha dúvida.

Será que fica mais fácil trabalhar com a totalidade das matrizes nxn e não apenas as inversíveis e, nesse caso, tentar analisar o subespaco das matrizes que comutam com uma dada matriz A?

Nesse caso eu tenho uma conjectura (mas com baixíssima convicção): se os autovalores de A são distintos, então as matrizes que comutam com A são justamente os polinômios em A e a dimensão do subespaço dessas matrizes é n.

[]´s,
Claudio.

[obm-l] Re: [obm-l] Duvida de inequação

2004-03-10 Por tôpico Bruno Bonagura




Olá,
Vou me apresentar para a lista e aproveitar 
para responder a pergunta.
Tenho 19 anos, e conheci a lista por 
indicação do Ponce, soualuno dele no anglo, na turma preparatória para o 
vestibular do ITA. Espero aprender muito com esta lista.

___

Respondendo a pergunta

(x-1)(x-2)(x+3)  0
basta estudar o sinal dos fatores 
separadamente, e descobrir em quais intervalos a função é menor que 
zero.
podemos usar a famosa "regra do 
varal"

f(x) = x-1 , g(x) = x - 2 
e h(x) = x + 3

f(x).g(x).h(x)  0
agora aplicarei a regra.
 
-312
  
---oo-o---
f(x) 
- 
- 
+ +

 
---oo-o---
g(x) 
- 
-- 
+

 
---oo-o---
h(x)- 
++ 
+

 
---oo-o---
produto 
- 
+ 
-+

 
///oo/o---


logo o intervalo de x pedido é ]-oo, -3[ U 
]1,2[

(-oodenota menos infinito, U denota 
União)

Bruno Bonagura


  - Original Message 
  - 
  From: Fabio 
  Contreiras 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  
  Sent: Tuesday, 
  March 09, 2004 9:54 PM
  Subject: [obm-l] 
  Duvida de inequação
  
  Ache o intervalo no qual :
  
  (x-1)(x-2)(x+3)  0
  
  
  abraços!!!

[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Estat : Provar que variavel aleatoria tem distrib u ição geometrica


Esse tipo de problema é típico da matemática e normalmente tem duas partes:

1. Dada uma propriedade, provar que existe (ou que não existe - um problema igualmente válido) um objeto que tem esta propriedade.

2. Dado que existe pelo menos um objeto com a tal propriedade, então:
2-a) Ou: Provar que este objeto é único;
2-b) Ou: Determinar todos os objetos que tem esta propriedade.

Por exemplo, eu acabei de mandar pra lista um problema do tipo 2-b: determinar todas as matrizes que comutam com uma dada matriz. Nesse caso, a parte 1 é trivial e sabemos que existe mais de um objeto com a propriedade (A e I comutam com A), de modo que 2-a não se aplica.

[]´s,
Claudio.







De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Wed, 10 Mar 2004 19:00:05 -0300




Assunto:
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Estat : Provar que variavel aleatoria tem distrib u ição geometrica






 Eu sei que sao problemas distintos Claudio.
 Mas desconfiei que estivesse errado pois nunca tinha visto isso (ou 
 seja, dada uma propriedade descobrir a distribuição) e acredito que 
 existam outras distribuiçoes que possam ter a mesma propriedade. Por 
 isso desconfiei da validade do enunciado.
 
 claudio.buffara wrote:
 
  
  De: [EMAIL PROTECTED]
  
  Para: [EMAIL PROTECTED]
  
  Cópia: 
  
  Data: Wed, 10 Mar 2004 17:26:35 -0300
  
  Assunto: [obm-l] Estat: Provar que variavel aleatoria tem distribu ição 
  geometrica
  
  
  
   Me deparei com o seguinte problema:
  
   "Seja X uma variavel aleatoria assumindo valores no conjunto {1,2,3,...}
   e tendo a seguinte propriedade ("falta de memoria")
   P[X = s + t | X  t] = P[X = s] para s,t pertencente a {1,2,3,...}.
   Mostre que X é uma geometrica de parametro p , 0= p = 1."
  
   Primeiro uma observação, o modo como o problema foi enunciado não é um
   pouco estranho? Não seria mais apropriado algo do tipo
   "Mostre que se X é uma geometrica de parametro p, então P[X = s + t
   |..."? Bom, para mim é o unico jeito de resolver. Ainda há outra
   observação então acompanhem a minha resolução:
  
  São dois problemas diferentes.
  O primeiro é: dada uma propriedade de uma variável aleatória X, provar 
  que X tem uma certa distribuição.
  O segundo é: dada uma variável aleatória X com uma dada distribuição, 
  provar que X tem uma certa propriedade.
  Ambos são problemas válidos e eu diria que o primeiro é em geral mais 
  difícil de se resolver.
  
  Talvez um outro exemplo seja ilustrativo:
  Problema 1:
  Uma função f: Q -- Q é tal que, para quaisquer x, y em Q:
  f(x+y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
  Prove que f eh a identidade (f(x) = x para todo x em Q).
  
  Problema 2:
  Prove que f: Q -- Q dada por f(x) = x obedece a:
  f(x+y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
  
  Ambos são problemas legítimos e o segundo é trivial. O primeiro, nem 
  tanto (minha opinião).
  
  []´s,
  Claudio.
  
 
 -- 
 Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
 
 "When we ask advice, we are usually looking for an accomplice."
 Joseph Louis LaGrange
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duvida de inequação

Olá Bruno, já que voce esta no Anglo, pergunte ao prof. Ponce sobre o 
metodo da marcha ré, desenvolvido pelo grande professor (tb do anglo) 
Abram Bloch. Voce vai resolver questoes desse tipo sem a necessidade de 
construir esse varal.

Um abraço e bons estudos

Bruno Bonagura wrote:

Olá,
Vou me apresentar para a lista e aproveitar para responder a pergunta.
Tenho 19 anos, e conheci a lista por indicação do Ponce, sou aluno dele 
no anglo, na turma preparatória para o vestibular do ITA. Espero 
aprender muito com esta lista.
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
When we ask advice, we are usually looking for an accomplice.
Joseph Louis LaGrange
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matrizes que Comutam

On Wed, Mar 10, 2004 at 07:11:45PM -0300, claudio.buffara wrote:
 Oi, pessoal:
 
 Estou com uma duvida meio ampla sobre matrizes que comutam.
 
 Seja A uma matriz nxn inversivel com coeficientes num dado corpo F.
 O conjunto de tais matrizes forma um grupo não-abeliano GL(n,F) com relação
 ao produto de matrizes.  O que podemos dizer em geral sobre o tamanho e a
 estrutura de C(A), o centralizador de A = subgrupo das matrizes de GL(n,F)
 que comutam com A?
 
 Por exemplo, num problema da obm-u de 2003, o grupo era GL(4,Z_p) e as
 matrizes satisfaziam a A^2 = I == um caso extremamente particular, mas que
 deu origem à minha dúvida.
 
 Será que fica mais fácil trabalhar com a totalidade das matrizes nxn e não
 apenas as inversíveis e, nesse caso, tentar analisar o subespaco das matrizes
 que comutam com uma dada matriz A?
 
 Nesse caso eu tenho uma conjectura (mas com baixíssima convicção): se os
 autovalores de A são distintos, então as matrizes que comutam com A são
 justamente os polinômios em A e a dimensão do subespaço dessas matrizes é n.

De certa forma sim, é melhor olhar para o anel de todas as matrizes nxn
em vez do grupo. A sua conjectura é verdadeira: se uma matriz tem todos
os autovalores distintos então ela é diagonalizável (em algum corpo)
e as únicas matrizes que comutam com uma matriz diagonal com entradas
diagonais distintas são outras matrizes diagonais. Ora, qualquer matriz
diagonal é um polinômio de uma matriz diagonal com entradas distintas.
Assim, desfazendo a conjugação, se B comuta com A então B = p(A).
Na verdade a conclusão vale com uma hipótese um pouco mais fraca:
se o polinômio característico de A é igual ao polinômio mínimo
então as matrizes que comutam com A são exatamente os polinômios em A:
a demonstração é basicamente a mesma, usando Jordan.

Nos casos acima, o conjunto das matrizes que comutam com A e o subanel
gerado por A coincidem, e ambos têm dimensão n (como espaço vetorial).
Se os polinômios mínimo e característico forem diferentes, então
a dimensão do subanel gerado por A é m  n, o grau do polinômio mínimo.
Eu não tenho certeza se existe uma fórmula interessante relacionando
m, n e l, a dimensão do subanel das matrizes que comutam com A:
acho que não, mas certamente temos l  n.

Você começou com a pergunta em GL, ou seja, você quer olhar para a interseção
entre o subanel acima com GL. Eu faço a seguinte observação, que fica como
problema. Suponha que o polinômio característico de A seja irredutível
no corpo no qual estamos trabalhando e seja p um polinômio não nulo de
grau menor do que n: então p(A) é inversível. Assim, se o corpo tem q
elementos então este grupo tem q^n - 1 elementos. Segundo problema:
prove que este grupo é cíclico.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Estat : Provar que variavel aleatoria tem distrib u ição geometrica